Compresión por pulsos

El modelo ideal para el tipo de señales más simple, y históricamente el primero que puede transmitir un radar de pulsos o un sonar, es un pulso sinusoidal truncado (también llamado pulso CW — onda portadora — ), de amplitud${\displaystyle A}$y frecuencia portadora ,${\displaystyle f_{0}}$, truncado por una función rectangular de ancho,${\displaystyle T}$El pulso se transmite periódicamente, pero ese no es el tema principal de este artículo; consideraremos solo un único pulso.${\displaystyle s}$Si suponemos que el pulso comienza en el tiempo${\displaystyle t=0}$La señal se puede escribir de la siguiente manera, utilizando la notación compleja :

${\displaystyle s(t)={\begin{cases}e^{2i\pi f_{0}t}&{\text{if}}\;0\leq t<T\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Vamos a determinar la resolución de rango que se puede obtener con dicha señal. La señal de retorno, escrita${\displaystyle r(t)}$es una copia atenuada y desplazada en el tiempo de la señal transmitida original (en realidad, el efecto Doppler también puede influir, pero esto no es importante aquí). También hay ruido en la señal entrante, tanto en el canal imaginario como en el real. Se supone que el ruido tiene ancho de banda limitado, es decir, que tiene frecuencias solo en${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$(esto generalmente se cumple en la realidad, donde un filtro de paso de banda se usa generalmente como una de las primeras etapas en la cadena de recepción); escribimos${\displaystyle N(t)}$para denotar ese ruido. Para detectar la señal entrante, se suele utilizar un filtro adaptado . Este método es óptimo cuando se va a detectar una señal conocida entre ruido aditivo con distribución normal .

En otras palabras, se calcula la correlación cruzada de la señal recibida con la señal transmitida. Esto se logra mediante la convolución de la señal entrante con una versión conjugada e invertida en el tiempo de la señal transmitida. Esta operación se puede realizar tanto en software como en hardware. Escribimos${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)}$para esta correlación cruzada. Tenemos:

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=\int _{t'\,=\,0}^{+\infty }s^{\star }(t')r(t+t')dt'}$

Si la señal reflejada regresa al receptor en el tiempo${\displaystyle t_{r}}$y se ve atenuado por el factor${\displaystyle A}$, esto produce:

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Dado que conocemos la señal transmitida, obtenemos:

${\displaystyle \langle s,r\rangle (t)=A\Lambda \left({\frac {t-t_{r}}{T}}\right)e^{2i\pi f_{0}(t\,-\,t_{r})}+N'(t)}$

dónde${\displaystyle N'(t)}$es el resultado de la intercorrelación entre el ruido y la señal transmitida. Función${\displaystyle \Lambda }$es la función triangular, su valor es 0 en${\textstyle [-\infty ,-{\frac {1}{2}}]\cup [{\frac {1}{2}},+\infty ]}$aumenta linealmente en${\textstyle [-{\frac {1}{2}},0]}$donde alcanza su máximo 1, y disminuye linealmente en${\textstyle [0,{\frac {1}{2}}]}$hasta que vuelva a llegar a 0. Las figuras al final de este párrafo muestran la forma de la intercorrelación para una señal de muestra (en rojo), en este caso un seno truncado real, de duración${\displaystyle T=1}$segundos, de amplitud unitaria y frecuencia${\textstyle f_{0}=10}$Hertz. Dos ecos (en azul) regresan con retardos de 3 y 5 segundos y amplitudes iguales a 0,5 y 0,3 veces la amplitud del pulso transmitido, respectivamente; estos son solo valores aleatorios para el ejemplo. Dado que la señal es real, la intercorrelación se pondera con un factor adicional de 1/2 .

Si dos pulsos regresan (casi) al mismo tiempo, la intercorrelación es igual a la suma de las intercorrelaciones de las dos señales elementales. Para distinguir una envolvente "triangular" de la del otro pulso, es claramente visible que los tiempos de llegada de los dos pulsos deben estar separados por al menos${\displaystyle T}$para que los máximos de ambos pulsos puedan separarse. Si no se cumple esta condición, ambos triángulos se mezclarán y será imposible separarlos.

Dado que la distancia recorrida por una onda durante${\displaystyle T}$es${\displaystyle cT}$(donde c es la velocidad de la onda en el medio), y dado que esta distancia corresponde a un tiempo de ida y vuelta, obtenemos:

La potencia instantánea del pulso recibido es${\displaystyle P(t)=|r|^{2}(t)}$La energía que se introduce en esa señal es:

${\displaystyle E=\int _{0}^{T}P(t)dt=A^{2}T}$

Si${\displaystyle \sigma }$es la desviación estándar del ruido, que se supone que tiene el mismo ancho de banda que la señal, la relación señal-ruido (SNR) en el receptor es:

${\displaystyle SNR={\frac {E_{r}}{\sigma ^{2}}}={\frac {A^{2}T}{\sigma ^{2}}}}$

La relación señal/ruido es proporcional a la duración del pulso.${\displaystyle T}$, si se mantienen constantes los demás parámetros. Esto introduce una disyuntiva: aumentar${\displaystyle T}$Mejora la relación señal/ruido, pero reduce la resolución, y viceversa.

Para obtener un pulso lo suficientemente grande y, al mismo tiempo, mantener una buena relación señal/ruido en el receptor, sin una resolución deficiente, se puede utilizar la compresión de pulsos. El principio básico es el siguiente:

• Se transmite una señal con una longitud suficiente para que el presupuesto energético sea correcto.
• Esta señal está diseñada de manera que, tras el filtrado adaptado, el ancho de las señales intercorrelacionadas sea menor que el ancho obtenido con el pulso sinusoidal estándar, como se explicó anteriormente (de ahí el nombre de la técnica: compresión de pulsos).

En aplicaciones de radar o sonar , los chirps lineales son las señales más utilizadas para lograr la compresión de pulsos. Dado que el pulso tiene una longitud finita, la amplitud es una función rectangular . Si la señal transmitida tiene una duración${\displaystyle T}$, comienza en${\displaystyle t=0}$y barre linealmente la banda de frecuencia${\displaystyle \Delta f}$centrado en el portador${\displaystyle f_{0}}$, se puede escribir:

${\displaystyle s_{c}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}e^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}&{\mbox{if}}\;0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

La definición de chirrido anterior significa que la fase de la señal chirriada (es decir, el argumento de la exponencial compleja) es la cuadrática:

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)t\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}\,\right)}$

Por lo tanto, la frecuencia instantánea es (por definición):

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\left[{\frac {d\phi }{dt}}\right]_{t}=f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}+{\frac {\Delta f}{T}}t}$

que es la rampa lineal prevista que va desde${\displaystyle f_{0}-{\frac {\Delta f}{2}}}$en${\displaystyle t=0}$a${\textstyle f_{0}+{\frac {\Delta f}{2}}}$en${\displaystyle t=T}$.

La relación de fase a frecuencia se utiliza a menudo en la dirección opuesta, comenzando con la deseada.${\displaystyle f(t)}$y escribiendo la fase chirriante mediante la integración de la frecuencia:

${\displaystyle \phi (t)=2\pi \int _{0}^{t}f(u)\,du}$

Esta señal transmitida suele ser reflejada por el objetivo y sufre atenuación debido a diversas causas, por lo que la señal recibida es una versión atenuada y retardada de la señal transmitida más un ruido aditivo de densidad espectral de potencia constante .${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$y cero en todas partes:

${\displaystyle r(t)=\left\{{\begin{array}{ll}Ae^{i2\pi \left(\left(f_{0}\,-\,{\frac {\Delta f}{2}}\right)(t-t_{r})\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}(t-t_{r})^{2}\,\right)}+N(t)&{\mbox{if}}\;t_{r}\leq t<t_{r}+T\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Para calcular la correlación de la señal recibida con las señales transmitidas, se deben tomar dos medidas:

- La primera acción consiste en una simplificación. En lugar de calcular la correlación cruzada, se puede calcular la autocorrelación, asumiendo que el pico de autocorrelación está centrado en cero. Esto no modificará la resolución ni las amplitudes.

${\displaystyle r'(t)={\begin{cases}Ae^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}+N(t)&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\N(t)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

- La segunda acción es, como se muestra a continuación, establecer una amplitud para la señal de referencia que no sea una, sino${\displaystyle \rho \neq 1}$. Constante${\displaystyle \rho }$debe determinarse de manera que la energía se conserve a través de la correlación.

${\displaystyle s_{c}'(t)={\begin{cases}\rho e^{2i\pi \left(f_{0}\,+\,{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}&{\mbox{if}}\;-{\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

Ahora bien, se puede demostrar ^{[ 2 ]} que la función de correlación de${\displaystyle s_{c}'}$con${\displaystyle r'}$es:

${\displaystyle \langle s_{c}',r'\rangle (t)=\rho A{\sqrt {T}}\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\mathrm {sinc} \left[\Delta ft\Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right]e^{2i\pi f_{0}t}+N'(t)}$

dónde${\displaystyle N'(t)}$es la correlación de la señal de referencia con el ruido recibido.

La energía de la señal no varía durante la compresión del pulso. Sin embargo, ahora se encuentra en el lóbulo principal del seno cardinal, cuyo ancho es aproximadamente${\textstyle T'\approx {\frac {1}{\Delta f}}}$. Si${\displaystyle P}$es la potencia de la señal antes de la compresión, y${\displaystyle P'}$la potencia de la señal después de la compresión, energía${\displaystyle E}$se conserva:

${\displaystyle E=P\times T=P'\times T'}$

lo que produce un aumento de potencia tras la compresión del pulso:

${\displaystyle P'=P\times {\frac {T}{T'}}}$

En el dominio espectral, el espectro de potencia del chirp tiene una densidad espectral casi constante.${\displaystyle D=P/\Delta f}$en intervalo${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$y cero en cualquier otro lugar, de modo que la energía se expresa de forma equivalente como${\displaystyle E=P\times T=D.\Delta f.T}$Esta densidad espectral permanece igual después del filtrado adaptado.

Imaginemos ahora un pulso sinusoidal (CW) equivalente de duración${\displaystyle T'=1/\Delta f}$y con una potencia de entrada idéntica, este pulso sinusoidal equivalente tiene una energía:

${\displaystyle E'=P\times T'=E{\frac {T'}{T}}}$

Tras el filtrado adaptado, el pulso sinusoidal equivalente se convierte en una señal triangular con el doble de ancho que la original, pero con la misma potencia máxima. La energía se conserva. El dominio espectral se aproxima mediante una densidad espectral casi constante.${\displaystyle D'}$en intervalo${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$dónde${\displaystyle \Delta f\approx 1/T'}$Mediante la conservación de la energía , tenemos:

${\displaystyle E'=E{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT{\frac {T'}{T}}=D\Delta fT'}$

Dado que por definición:${\displaystyle E'=D'\Delta fT'}$Resulta que:${\displaystyle D'=D}$lo que significa que las densidades espectrales del pulso modulado en frecuencia y del pulso CW equivalente son casi idénticas y equivalentes a las de un filtro de paso de banda.${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$. El efecto de filtrado de la correlación también actúa sobre el ruido, lo que significa que la banda de referencia para el ruido es${\displaystyle \Delta f}$y desde${\displaystyle D=D'}$En ambos casos, tras la correlación, se obtiene el mismo efecto de filtrado sobre el ruido. Esto significa que el efecto neto de la compresión de pulsos es que, en comparación con el pulso CW equivalente, la relación señal-ruido (SNR) ha mejorado en un factor.${\displaystyle T/T'}$porque la señal se amplifica pero no el ruido.

Como consecuencia:  

Por razones técnicas , la correlación no se realiza necesariamente para los pulsos CW recibidos reales como para los pulsos chirpeados. Sin embargo, durante el desplazamiento de banda base, la señal sufre un filtrado de paso de banda en${\displaystyle [f_{0}-\Delta f/2,f_{0}+\Delta f/2]}$lo cual tiene el mismo efecto neto sobre el ruido que la correlación, por lo que el razonamiento general sigue siendo el mismo (es decir, la relación señal/ruido solo tiene sentido para el ruido definido en un ancho de banda determinado, que en este caso es el de la señal).

Esta ganancia en la relación señal/ruido parece mágica, pero recuerde que la densidad espectral de potencia no representa la fase de la señal. En realidad, las fases son diferentes para el pulso CW equivalente, el pulso CW después de la correlación, el pulso chirpeado original y el pulso chirpeado correlacionado, lo que explica las diferentes formas de las señales (especialmente las longitudes variables) a pesar de tener (casi) el mismo espectro de potencia en todos los casos. Si la potencia de transmisión máxima${\displaystyle P}$y el ancho de banda${\displaystyle \Delta f}$Al estar restringidas, la compresión de pulsos logra una mejor potencia pico (pero la misma resolución) al transmitir un pulso más largo (es decir, más energía), en comparación con un pulso CW equivalente de la misma potencia pico.${\displaystyle P}$y ancho de banda${\displaystyle \Delta f}$y comprimiendo el pulso mediante correlación. Esto funciona mejor solo para un número limitado de tipos de señales que, después de la correlación, tienen un pico más estrecho que la señal original y lóbulos laterales bajos.

Si bien la compresión de pulsos puede garantizar una buena relación señal/ruido y una resolución de rango fina al mismo tiempo, el procesamiento de señales digitales en dicho sistema puede ser difícil de implementar debido al alto ancho de banda instantáneo de la forma de onda (${\displaystyle \Delta f}$puede ser de cientos de megahercios o incluso superar 1  GHz.) El procesamiento de estiramiento es una técnica para el filtrado adaptado de formas de onda chirriantes de banda ancha y es adecuada para aplicaciones que buscan una resolución de rango muy fina en intervalos de rango relativamente cortos. ^{[ 3 ]}

La imagen de arriba muestra el escenario para analizar el procesamiento de estiramiento. El punto de referencia central (CRP) está en el medio de la ventana de rango de interés en el rango de${\displaystyle R_{0}}$, correspondiente a un retardo de tiempo de ${\displaystyle t_{0}}$.

Si la forma de onda transmitida es la forma de onda chirp:

${\displaystyle x(t)=\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t)^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t)),0\leq t\leq T}$

luego el eco del objetivo a distancia${\displaystyle R_{b}}$se puede expresar como:

${\displaystyle {\bar {x}}(t)=\rho \exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{b})^{2}\right)\exp(j2\pi f_{0}(t-t_{b})),0\leq t-t_{b}\leq T}$

dónde${\displaystyle \rho }$es proporcional a la reflectividad del dispersor. Luego multiplicamos el eco por${\textstyle \exp(-j2\pi f_{0}t)\exp \left(-j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(t-t_{0})^{2}\right)}$y el eco se convertirá en:

${\displaystyle y(t)=\rho \exp \left(-j{\frac {4\pi R_{b}}{\lambda }}\right)\exp \left(-j2\pi {\frac {\Delta f}{T}}\delta t_{b}(t-t_{0})\right)\exp \left(j\pi {\frac {\Delta f}{T}}(\delta t_{b})^{2}\right),t_{0}\leq t-\delta t_{b}\leq t_{0}+T}$

dónde${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda de la onda electromagnética en el aire.

Después de realizar el muestreo y la transformada discreta de Fourier en y(t), la frecuencia sinusoidal${\displaystyle F_{b}}$se puede resolver:

${\displaystyle F_{b}=-\delta t_{b}{\frac {\Delta f}{T}}(Hz)}$

y el rango diferencial${\displaystyle \delta R_{b}}$se puede obtener:

${\displaystyle \delta R_{b}=-{\frac {cTF_{b}}{2\Delta f}}}$

Para demostrar que el ancho de banda de y(t) es menor que el ancho de banda de la señal original.${\displaystyle \Delta f}$, suponemos que la ventana de rango es${\displaystyle R_{w}={\frac {cT_{w}}{2}}}$largo. Si el objetivo está en el límite inferior de la ventana de rango, el eco llegará${\displaystyle t_{0}-T_{w}/2}$segundos después de la transmisión; de manera similar, si el objetivo está en el límite superior de la ventana de rango, el eco llegará${\displaystyle t_{0}+T_{w}/2}$segundos después de la transmisión. El tiempo de llegada del diferencial${\displaystyle \delta t_{b}}$para cada caso es${\displaystyle -T_{w}/2}$y${\displaystyle T_{w}/2}$, respectivamente.

Podemos entonces obtener el ancho de banda considerando la diferencia en la frecuencia sinusoidal para los objetivos en el límite inferior y superior de la ventana de rango: $${\displaystyle \Delta f_{s}=F_{b,{\text{near}}}-F_{b,{\text{far}}}=-{\frac {\Delta f}{T}}(-T_{w}/2-T_{w}/2)={\frac {T_{w}}{T}}\Delta f}$$ Como consecuencia:  

  Para demostrar que el procesamiento de estiramiento preserva la resolución de rango, necesitamos entender que y(t) es en realidad un tren de impulsos con duración de pulso T y período${\displaystyle T_{trans}}$, que es igual al período del tren de impulsos transmitido. Como resultado, la transformada de Fourier de y(t) es en realidad una función sinc con resolución de Rayleigh.${\textstyle {\frac {1}{T}}}$. Es decir, el procesador podrá resolver dispersores cuyas${\displaystyle F_{b}}$son al menos${\displaystyle \Delta F_{b}=1/T}$aparte.

Como consecuencia,

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=\left\vert {\frac {\Delta f}{T}}\Delta (\delta t_{b})\right\vert \Rightarrow \left\vert \Delta (\delta t_{b})\right\vert ={\frac {1}{\Delta f}}}$

y,

${\displaystyle \Delta (\delta R_{b})={\frac {c\Delta (\delta t_{b})}{2}}={\frac {c}{2\Delta f}}}$

que es la misma que la resolución de la forma de onda de modulación de frecuencia lineal original.

Aunque el procesamiento de estiramiento puede reducir el ancho de banda de la señal de banda base recibida, todos los componentes analógicos en los circuitos frontales de RF aún deben poder soportar un ancho de banda instantáneo de${\displaystyle \Delta f}$Además, la longitud de onda efectiva de la onda electromagnética cambia durante el barrido de frecuencia de una señal chirp, por lo que la dirección de observación de la antena cambiará inevitablemente en un sistema de arreglo de fase .

Las formas de onda de frecuencia escalonada son una técnica alternativa que puede preservar la resolución de rango fino y la relación señal/ruido de la señal recibida sin un gran ancho de banda instantáneo. A diferencia de la forma de onda chirriante, que barre linealmente a través de un ancho de banda total de${\displaystyle \Delta f}$En un solo pulso, la forma de onda de frecuencia escalonada emplea un tren de impulsos donde la frecuencia de cada pulso aumenta en${\displaystyle \Delta F}$a partir del pulso precedente. La señal de banda base se puede expresar como:

${\displaystyle x(t)=\sum _{m=0}^{M-1}x_{p}(t-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-mT)}}$

dónde${\displaystyle x_{p}(t)}$es un impulso rectangular de longitud${\displaystyle \tau }$y M es el número de pulsos en un único tren de pulsos. El ancho de banda total de la forma de onda sigue siendo igual a${\displaystyle \Delta f=M\Delta F}$Sin embargo, los componentes analógicos pueden reiniciarse para admitir la frecuencia del siguiente pulso durante el tiempo entre pulsos. De esta manera, se puede evitar el problema mencionado anteriormente.

Para calcular la distancia del objetivo correspondiente a un retardo${\displaystyle t_{l}+\delta t}$Los pulsos individuales se procesan mediante un filtro de adaptación de pulsos simple:

${\displaystyle h_{p}(t)=x_{p}^{*}(-t)}$

y la salida del filtro adaptado es:

${\displaystyle y_{m}(t)=s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)e^{j2\pi m\Delta F(t-(t_{l}+\delta t)-mT)}}$

dónde

${\displaystyle s_{p}^{*}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)=x_{p}(t-(t_{l}+\delta t)-mT)*h_{p}(t)}$

Si tomamos una muestra${\displaystyle y_{m}(t)}$en${\displaystyle t=t_{l}+mT}$, podemos obtener:

${\displaystyle y[l,m]=s_{p}^{*}(\delta t)e^{j2\pi m\Delta F\delta t}}$

donde l significa el intervalo l. Realizamos la DTFT (m se utiliza aquí como tiempo) y podemos obtener:

${\displaystyle Y[l,\omega ]=\sum _{m=0}^{M-1}y[l,m]e^{-j\omega m}=s_{p}^{*}(\delta t)\sum _{m=0}^{M-1}e^{j(\omega -2\pi \Delta F\delta t)m}}$

y el pico de la suma se produce cuando${\displaystyle \omega =2\pi \Delta F\delta t}$.

En consecuencia, la DTFT de${\displaystyle y[l,m]}$Proporciona una medida del retraso del objetivo en relación con el retraso del intervalo de alcance.${\displaystyle t_{l}}$: $${\displaystyle \delta t={\frac {\omega _{p}}{2\pi \Delta F}}={\frac {f_{p}}{\Delta F}}}$$ y se puede obtener el rango diferencial:

${\displaystyle \delta R={\frac {cf_{p}}{2\Delta F}}}$

donde c es la velocidad de la luz .

Para demostrar que la forma de onda de frecuencia escalonada conserva la resolución de rango, cabe señalar que${\displaystyle Y[l,\omega ]}$es una función tipo sinc y, por lo tanto, tiene una resolución de Rayleigh de${\displaystyle \Delta f_{p}=1/M}$. Como resultado:

${\displaystyle \Delta (\delta t)={\frac {1}{M\Delta F}}={\frac {1}{\Delta f}}}$

y por lo tanto la resolución de rango diferencial es  :

${\displaystyle \Delta (\delta R)={\frac {c}{2\Delta f}}}$

que es la misma resolución que la de la forma de onda de modulación de frecuencia lineal original.