Gráfico Q-Q

En estadística, un gráfico Q-Q ( gráfico cuantil-cuantil ) es un gráfico de probabilidad, un método gráfico para comparar dos distribuciones de probabilidad mediante la representación gráfica de sus cuantiles . ^{[ 1 ]} Un punto $(x, y)$ en el gráfico corresponde a uno de los cuantiles de la segunda distribución ( coordenada $y$ ) representado frente al mismo cuantil de la primera distribución ( coordenada $x$ ). Esto define una curva paramétrica donde el parámetro es el índice del intervalo cuantil.

Si las dos distribuciones que se comparan son similares, los puntos en el gráfico Q-Q se ubicarán aproximadamente sobre la línea de identidad $y = x$ . Si las distribuciones están relacionadas linealmente, los puntos en el gráfico Q-Q se ubicarán aproximadamente sobre una línea, pero no necesariamente sobre la línea $y = x$ . Los gráficos Q-Q también pueden utilizarse como un medio gráfico para estimar parámetros en una familia de distribuciones de localización-escala .

El gráfico AQ-Q se utiliza para comparar las formas de las distribuciones, proporcionando una vista gráfica de cómo propiedades como la ubicación , la escala y la asimetría son similares o diferentes en las dos distribuciones. Los gráficos Q-Q se pueden utilizar para comparar conjuntos de datos o distribuciones teóricas . El uso de gráficos Q-Q para comparar dos muestras de datos puede verse como un enfoque no paramétrico para comparar sus distribuciones subyacentes. El gráfico AQ-Q es generalmente más diagnóstico que la comparación de los histogramas de las muestras , pero es menos conocido. Los gráficos Q-Q se utilizan comúnmente para comparar un conjunto de datos con un modelo teórico. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Esto puede proporcionar una evaluación de la bondad de ajuste que es gráfica, en lugar de reducirla a una estadística resumen numérica . Dado que los gráficos Q-Q comparan distribuciones, no es necesario que los valores se observen en pares, como en un diagrama de dispersión , ni siquiera que el número de valores en los dos grupos que se comparan sea igual.

El término "gráfico de probabilidad" a veces se refiere específicamente a un gráfico Q-Q, a veces a una clase más general de gráficos y a veces al gráfico P-P, menos común . El gráfico de coeficiente de correlación de probabilidad (gráfico PPCC) es una magnitud derivada de la idea de los gráficos Q-Q, que mide la concordancia de una distribución ajustada con los datos observados y que a veces se utiliza como un medio para ajustar una distribución a los datos.

Definición y construcción

El gráfico AQ-Q representa los cuantiles de dos distribuciones entre sí, o bien se basa en estimaciones de los cuantiles. El patrón de puntos en el gráfico se utiliza para comparar las dos distribuciones.

El paso principal para construir un gráfico Q-Q es calcular o estimar los cuantiles que se van a representar. Si uno o ambos ejes de un gráfico Q-Q se basan en una distribución teórica con una función de distribución acumulativa (FDA) continua, todos los cuantiles están definidos de forma única y se pueden obtener invirtiendo la FDA. Si una distribución de probabilidad teórica con una FDA discontinua es una de las dos distribuciones que se comparan, es posible que algunos cuantiles no estén definidos, por lo que se puede representar un cuantil interpolado. Si el gráfico Q-Q se basa en datos, se utilizan varios estimadores de cuantiles. Las reglas para formar gráficos Q-Q cuando se deben estimar o interpolar los cuantiles se denominan posiciones de representación .

Un caso sencillo es cuando se tienen dos conjuntos de datos del mismo tamaño. En ese caso, para crear el gráfico Q-Q, se ordena cada conjunto de forma ascendente, se emparejan y se grafican los valores correspondientes. Una construcción más compleja se da cuando se comparan dos conjuntos de datos de tamaños diferentes. Para construir el gráfico Q-Q en este caso, es necesario utilizar una estimación de cuantiles interpolada para poder construir cuantiles que correspondan a la misma probabilidad subyacente.

De forma más abstracta, ^{[ 5 ]} dadas dos funciones de distribución de probabilidad acumulada $F$ y $G$ , con funciones cuantil asociadas $F -1$ y $G -1$ (la función inversa de la CDF es la función cuantil), el gráfico Q–Q dibuja el $q$ -ésimo cuantil de $F$ frente al $q$ -ésimo cuantil de $G$ para un rango de valores de $q$ . Por lo tanto, el gráfico Q–Q es una curva paramétrica indexada sobre [0,1] con valores en el plano real $R 2$ .

Normalmente, para un análisis de normalidad, el eje vertical muestra los valores de la variable de interés, digamos $x$ con CDF $F (x)$ , y el eje horizontal representa $N -1 (F (x))$ , donde $N -1 (.)$ representa la función de distribución normal acumulativa inversa.

Interpretación

Los puntos representados en un gráfico Q-Q siempre tienen una pendiente positiva, es decir, aumentan al observarlos de izquierda a derecha. Si las dos distribuciones que se comparan son idénticas, el gráfico Q-Q sigue la línea de 45° $y = x$ . Si las dos distribuciones coinciden después de transformar linealmente los valores de una de ellas, entonces el gráfico Q-Q sigue alguna línea, pero no necesariamente la línea $y = x$ . Si la tendencia general del gráfico Q-Q es más plana que la línea $y = x$ , la distribución representada en el eje horizontal está más dispersa que la representada en el eje vertical. Por el contrario, si la tendencia general del gráfico Q-Q es más pronunciada que la línea $y = x$ , la distribución representada en el eje vertical está más dispersa que la representada en el eje horizontal. Los gráficos Q-Q suelen tener forma de arco o de S, lo que indica que una de las distribuciones está más sesgada que la otra, o que una de las distribuciones tiene colas más pesadas que la otra.

Aunque un gráfico Q-Q se basa en cuantiles, en un gráfico Q-Q estándar no es posible determinar qué punto del gráfico define un cuantil dado. Por ejemplo, no es posible determinar la mediana de ninguna de las dos distribuciones que se comparan simplemente observando el gráfico Q-Q. Algunos gráficos Q-Q indican los deciles para que este tipo de determinaciones sean posibles.

La intersección y la pendiente de una regresión lineal entre los cuantiles proporcionan una medida de la ubicación relativa y la escala relativa de las muestras. Si la mediana de la distribución representada en el eje horizontal es 0, la intersección de una línea de regresión es una medida de ubicación, y la pendiente es una medida de escala. La distancia entre medianas es otra medida de ubicación relativa que se refleja en un gráfico Q-Q. El " coeficiente de correlación del gráfico de probabilidad " (gráfico PPCC) es el coeficiente de correlación entre los cuantiles de las muestras emparejadas. Cuanto más cerca esté el coeficiente de correlación de uno, más se aproximarán las distribuciones a ser versiones desplazadas y escaladas una de la otra. Para distribuciones con un único parámetro de forma, el gráfico de coeficiente de correlación del gráfico de probabilidad proporciona un método para estimar dicho parámetro: simplemente se calcula el coeficiente de correlación para diferentes valores del parámetro de forma y se utiliza el que mejor se ajusta, como si se compararan distribuciones de diferentes tipos.

Otro uso común de los gráficos Q-Q es comparar la distribución de una muestra con una distribución teórica, como la distribución normal estándar $N (0,1)$ , como en un gráfico de probabilidad normal . Al igual que cuando se comparan dos muestras de datos, se ordenan los datos (formalmente, se calculan las estadísticas de orden) y luego se representan gráficamente frente a ciertos cuantiles de la distribución teórica. ^{[ 3 ]}

Posiciones de trazado

La elección de cuantiles de una distribución teórica puede depender del contexto y del propósito. Una opción, dada una muestra de tamaño $n$ , es $k / n$ para $k = 1, \dots, n$ , ya que estos son los cuantiles que realiza la distribución muestral . El último de estos, $n / n$ , corresponde al percentil 100, el valor máximo de la distribución teórica, que a veces es infinito. Otras opciones son el uso de $(k - 0,5) / n$ , o bien espaciar los $n$ puntos de manera que haya una distancia igual entre todos ellos y también entre los dos puntos más externos y los bordes de la distribución. $[0,1]$ intervalo, usando $k / (n + 1)$ . ^{[ 6 ]}

Se han sugerido muchas otras opciones, tanto formales como heurísticas, basadas en teorías o simulaciones relevantes en el contexto. Las siguientes subsecciones analizan algunas de ellas. Una cuestión más específica es la elección de un máximo (estimación de un máximo poblacional), conocida como el problema del tanque alemán , para el cual existen soluciones similares de "máximo muestral, más un intervalo", la más simple es $m + m / n - 1.$ Una aplicación más formal de esta uniformización del espaciado se da en la estimación del espaciado máximo de los parámetros.

Valor esperado del estadístico de orden para una distribución uniforme

El método $k / (n + 1)$ equivale a trazar los puntos según la probabilidad de que el último de los ( $n + 1$ ) valores extraídos aleatoriamente no supere el $k$ -ésimo valor más pequeño de los primeros $n$ valores extraídos aleatoriamente. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Valor esperado del estadístico de orden para una distribución normal estándar.

Al utilizar un gráfico de probabilidad normal , los cuantiles que se utilizan son los rankits , el cuantil del valor esperado del estadístico de orden de una distribución normal estándar.

En términos más generales, la prueba de Shapiro-Wilk utiliza los valores esperados de las estadísticas de orden de la distribución dada; el gráfico y la línea resultantes proporcionan la estimación de mínimos cuadrados generalizados para la ubicación y la escala (a partir de la intersección y la pendiente de la línea ajustada). ^{[ 9 ]} Si bien esto no es demasiado importante para la distribución normal (la ubicación y la escala se estiman mediante la media y la desviación estándar, respectivamente), puede ser útil para muchas otras distribuciones.

Sin embargo, esto requiere calcular los valores esperados del estadístico de orden, lo cual puede resultar difícil si la distribución no es normal.

Mediana de las estadísticas de orden

Alternativamente, se pueden utilizar estimaciones de la mediana de las estadísticas de orden, que se pueden calcular a partir de estimaciones de la mediana de las estadísticas de orden de una distribución uniforme y la función cuantil de la distribución; esto fue sugerido por Filliben (1975) . ^{[ 9 ]}

Esto se puede generar fácilmente para cualquier distribución para la cual se pueda calcular la función cuantil, pero, a la inversa, las estimaciones resultantes de ubicación y escala ya no son precisamente las estimaciones de mínimos cuadrados, aunque estas solo difieren significativamente para $n$ pequeño.

Heurísticas

Se han utilizado o propuesto varias fórmulas diferentes como posiciones de trazado simétricas afines . Dichas fórmulas tienen la forma $($ $k$ $-$ $a$ $) / ($ $n$ $+ 1 - 2$ $a$ $)$ para algún valor de $a$ en el rango de 0 a 1, lo que da un rango entre $k$ $/ ($ $n$ $+ 1)$ y $($ $k$ $- 1) / ($ $n$ $-$ $1)$ .

Las expresiones incluyen:

$k / (n + 1)$
$(k - 0,3) / (n + 0,4)$ . ^{[ 10 ]}
$(k - 0,3175) / (n + 0,365)$ . ^{[ 11 ]}^{[ nota 1 ]}
$(k - 0,326) / (n + 0,348)$ . ^{[ 12 ]}
$(k - ⅓) / (n + ⅓)$ . ^{[ nota 2 ]}
$(k - 0,375) / (n + 0,25)$ . ^{[ nota 3 ]}
$(k - 0,4) / (n + 0,2)$ .
$(k - 0,44) / (n + 0,12)$ . ^{[ nota 4 ]}
$(k - 0,5) / n$ . ^{[ 14 ]}
$(k - 0,567) / (n - 0,134)$ .
$(k - 1) / (n - 1)$ . ^{[ nota 5 ]}

Para un tamaño de muestra grande, $n$ , hay poca diferencia entre estas diversas expresiones.

Estimación de Filliben

Las medianas de las estadísticas de orden son las medianas de las estadísticas de orden de la distribución. Estas pueden expresarse en términos de la función cuantil y las medianas de las estadísticas de orden para la distribución uniforme continua mediante: $N(i)=G(U(i))$ donde $U (i)$ son las medianas de la estadística de orden uniforme y $G$ es la función cuantil para la distribución deseada. La función cuantil es la inversa de la función de distribución acumulativa (probabilidad de que $X$ sea menor o igual a algún valor). Es decir, dada una probabilidad, queremos el cuantil correspondiente de la función de distribución acumulativa.

James J. Filliben utiliza las siguientes estimaciones para las medianas de la estadística de orden uniforme: ^{[ 15 ]} $m(i)={\begin{cases}1-0.5^{1/n}&i=1\\[2ex]{\dfrac {i-0.3175}{n+0.365}}&i=2,3,\ldots ,n-1\\[2ex]0.5^{1/n}&i=n.\end{cases}}$ La razón de esta estimación es que las medianas de las estadísticas de orden no tienen una forma simple.

Software

El lenguaje de programación R incluye funciones para crear gráficos Q-Q, concretamente qqnorm y qqplot del statspaquete. Este fastqqpaquete permite una representación gráfica más rápida para un gran número de puntos de datos.

Véase también

Función de distribución empírica
El análisis probit fue desarrollado por Chester Ittner Bliss en 1934.

Notas

↑ Tenga en cuenta que esto también utiliza una expresión diferente para el primer y último punto.cita el trabajo original de Filliben (1975) . Esta expresión es una estimación de las medianas de $U (k)$ .
↑ Una fórmula sencilla (y fácil de recordar) para representar gráficamente posiciones; utilizada en el paquete estadístico BMDP .
↑ Esta esla aproximación anterior de Blom (1958) y es la expresión utilizada en MINITAB .
↑ Esta posición de trazado fue utilizada por Irving I. Gringorten^{[ 13 ]} para trazar puntos en pruebas para la distribución de Gumbel .
↑ Utilizados por Filliben (1975) , estos puntos de trazado son iguales a los modos de $U (k)$ .

Referencias

Citas

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Fuentes

Este artículo incorpora material de dominio público del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología.
Blom, G. (1958), Estimaciones estadísticas y variables beta transformadas , Nueva York: John Wiley and Sons
Chambers, John; Cleveland, William ; Kleiner, Beat; Tukey, Paul (1983), Métodos gráficos para el análisis de datos , Wadsworth
Cleveland, WS (1994) Los elementos de la representación gráfica de datos , Hobart Press ISBN 0-9634884-1-4
Filliben, JJ (febrero de 1975), "The Probability Plot Correlation Coefficient Test for Normality", Technometrics , 17 (1), American Society for Quality: 111–117 , doi : 10.2307/1268008 , JSTOR 1268008 .
Gibbons, Jean Dickinson ; Chakraborti, Subhabrata (2003), Inferencia estadística no paramétrica (4.ª ed.), CRC Press, ISBN 978-0-8247-4052-8
Gnanadesikan, R. (1977). Métodos para el análisis estadístico de observaciones multivariadas . Wiley. ISBN 0-471-30845-5.
Thode, Henry C. (2002), Pruebas de normalidad , Nueva York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-9613-6

Enlaces externos

Gráfico de probabilidad
Manuel Gimond, El gráfico QQ empírico (y el gráfico de diferencia media de Tukey derivado)

[12] Tenga en cuenta que esto también utiliza una expresión diferente para el primer y último punto.cita el trabajo original de Filliben (1975) . Esta expresión es una estimación de las medianas de $U (k)$ .

[14] Una fórmula sencilla (y fácil de recordar) para representar gráficamente posiciones; utilizada en el paquete estadístico BMDP .

[15] Esta esla aproximación anterior de Blom (1958) y es la expresión utilizada en MINITAB .

[17] Esta posición de trazado fue utilizada por Irving I. Gringorten^{[ 13 ]} para trazar puntos en pruebas para la distribución de Gumbel .

[19] Utilizados por Filliben (1975) , estos puntos de trazado son iguales a los modos de $U (k)$ .

[1] Wilk, MB; Gnanadesikan, R. (1968), "Métodos de trazado de probabilidad para el análisis de datos", Biometrika , 55 (1), Biometrika Trust: 1– 17, doi : 10.1093/biomet/55.1.1 , JSTOR 2334448 , PMID 5661047 .

[FOOTNOTEGnanadesikan1977199-2] Gnanadesikan (1977) , pág. 199.

[thode21-3] 1 2 Thode (2002) , Sección 2.2.2, Gráficos cuantil-cuantil, pág. 21

[closure-4] "SR 20 – Carretera North Cascades – Historial de apertura y cierre" . Pasos de North Cascades . Departamento de Transporte del Estado de Washington. Octubre de 2009. Consultado el 8 de febrero de 2009 .

[gibbons-5] Gibbons y Chakraborti (2003) , pág. 144

[6] Weibull, Waloddi (1939), "La teoría estadística de la resistencia de los materiales", IVA Handlingar, Real Academia Sueca de Ciencias de la Ingeniería (151)

[7] Madsen, HO; et al. (1986), Métodos de seguridad estructural

[8] Makkonen, L. (2008), "Resolviendo la controversia sobre la posición de trazado", Communications in Statistics – Theory and Methods , 37 (3): 460– 467, doi : 10.1080/03610920701653094 , S2CID 122822135

[thode31-9] 1 2 Pruebas de normalidad , por Henry C. Thode, CRC Press, 2002, ISBN 978-0-8247-9613-6pág . 31

[10] Benard, A.; Bos-Levenbach, EC (septiembre de 1953). "La representación gráfica de observaciones en papel de probabilidad" . Statistica Neerlandica (en neerlandés). 7 : 163–173 . doi : 10.1111/j.1467-9574.1953.tb00821.x .

[11] "1.3.3.21. Gráfico de probabilidad normal" . itl.nist.gov . Consultado el 16 de febrero de 2022 .

[13] Posición de trazado libre de distribución , Yu y Huang

[16] Gringorten, Irving I. (1963). "Una regla de trazado para artículos de probabilidad extrema" . Journal of Geophysical Research . 68 (3): 813– 814. Bibcode : 1963JGR....68..813G . doi : 10.1029/JZ068i003p00813 . ISSN 2156-2202 .

[18] Hazen, Allen (1914), "Almacenamiento que debe proporcionarse en los embalses para el suministro de agua municipal", Transactions of the American Society of Civil Engineers (77): 1547– 1550

[FOOTNOTEFilliben1975-20] Filliben (1975) .

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