Campo ordenado

En matemáticas , un cuerpo ordenado es un cuerpo junto con un ordenamiento total de sus elementos que es compatible con las operaciones del cuerpo. Ejemplos básicos de cuerpos ordenados son los números racionales y los números reales , ambos con sus ordenamientos estándar.

Todo subcampo de un campo ordenado es también un campo ordenado en el orden heredado. Todo campo ordenado contiene un subcampo ordenado isomorfo a los números racionales . Todo campo ordenado Dedekind-completo es isomorfo a los números reales. Los cuadrados son necesariamente no negativos en un campo ordenado. Esto implica que los números complejos no pueden ordenarse, ya que el cuadrado de la unidad imaginaria i es −1 (que es negativo en cualquier campo ordenado). Los campos finitos no pueden ordenarse.

Históricamente, la axiomatización de un cuerpo ordenado fue abstraída gradualmente de los números reales por matemáticos como David Hilbert , Otto Hölder y Hans Hahn . Esto finalmente derivó en la teoría de Artin-Schreier de cuerpos ordenados y cuerpos formalmente reales .

Hay dos definiciones comunes equivalentes de un campo ordenado. La definición de orden total apareció primero históricamente y es una axiomatización de primer orden del ordenamiento.${\displaystyle \leq }$como predicado binario . Artin y Schreier dieron la definición en términos de cono positivo en 1926, que axiomatiza la subcolección de elementos no negativos. Si bien este último es de orden superior, considerar los conos positivos como conos prepositivos máximos proporciona un contexto más amplio en el que los ordenamientos de cuerpos son ordenamientos parciales extremos .

Ejemplos de campos ordenados son:

• el campo${\displaystyle \mathbb {Q} }$de números racionales con su orden estándar (que también es su único orden);
• el campo${\displaystyle \mathbb {R} }$de números reales con su orden estándar (que también es su único orden);
• Cualquier subcampo de un campo ordenado, como los números algebraicos reales o los números computables , se convierte en un campo ordenado al restringir el ordenamiento al subcampo;
• el campo${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$de funciones racionales${\displaystyle p(x)/q(x)}$, dónde${\displaystyle p(x)}$y${\displaystyle q(x)}$son polinomios con coeficientes racionales y${\displaystyle q(x)\neq 0}$, se puede convertir en un campo ordenado fijando un número real trascendental${\displaystyle \alpha }$y definiendo${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$si y solo si${\displaystyle p(\alpha )/q(\alpha )>0}$Esto es equivalente a incrustar${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$en${\displaystyle \mathbb {R} }$a través de${\displaystyle x\mapsto \alpha }$y restringiendo la ordenación de${\displaystyle \mathbb {R} }$a una ordenación de la imagen de${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$De esta manera, obtenemos muchos pedidos diferentes de${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$.
• el campo${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$de funciones racionales${\displaystyle p(x)/q(x)}$, dónde${\displaystyle p(x)}$y${\displaystyle q(x)}$son polinomios con coeficientes reales y${\displaystyle q(x)\neq 0}$, se puede convertir en un campo ordenado definiendo${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$para significar que${\displaystyle p_{n}/q_{m}>0}$, dónde${\displaystyle p_{n}\neq 0}$y${\displaystyle q_{m}\neq 0}$son los coeficientes principales de${\displaystyle p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}}$y${\displaystyle q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}}$, respectivamente. Equivalentemente: para funciones racionales${\displaystyle f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)}$tenemos${\displaystyle f(x)<g(x)}$si y solo si${\displaystyle f(t)<g(t)}$para todos suficientemente grandes${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. En este campo ordenado el polinomio${\displaystyle p(x)=x}$es mayor que cualquier polinomio constante y el campo ordenado no es arquimediano .
• El campo${\displaystyle \mathbb {R} ((x))}$de series de Laurent formales con coeficientes reales, donde x se toma como infinitesimal y positivo
• la serie trans
• campos cerrados reales
• los números hiperreales
• los números hiperreales

Los números surrealistas forman una clase propia, no un conjunto , pero por lo demás cumplen los axiomas de un cuerpo ordenado. Todo cuerpo ordenado puede incrustarse en los números surrealistas.

Para cada a , b , c , d en F :

• O bien − a ≤ 0 ≤ a o bien a ≤ 0 ≤ − a .
• Se pueden "añadir desigualdades": si a ≤ b y c ≤ d , entonces a + c ≤ b + d .
• Se pueden "multiplicar desigualdades con elementos positivos": si a ≤ b y 0 ≤ c , entonces ac ≤ bc .
• "Multiplicar por negativos invierte una desigualdad": si a ≤ b y c ≤ 0, entonces ac ≥ bc .
• Si a < b y a , b > 0, entonces 1/ b < 1/ a .
• Los cuadrados son no negativos: 0 ≤ a² para todo a en F. En particular, dado que 1 = 1² ^, se deduce que 0 ≤ 1. Dado que 0 ≠ 1, concluimos que 0 < 1 ^.
• Un cuerpo ordenado tiene característica 0. (Como 1 > 0, entonces 1 + 1 > 0, y 1 + 1 + 1 > 0, etc., y ninguna suma finita de unos puede ser igual a cero). En particular, los cuerpos finitos no pueden ser ordenados.
• Toda suma de cuadrados no trivial es distinta de cero. Equivalentemente:${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.}$^{[ 2 ] [ 3 ]}

Todo subcampo de un campo ordenado es también un campo ordenado (que hereda el orden inducido). El subcampo más pequeño es isomorfo a los racionales (como ocurre con cualquier otro campo de característica 0), y el orden en este subcampo racional es el mismo que el orden de los racionales mismos.

Si cada elemento de un cuerpo ordenado se encuentra entre dos elementos de su subcuerpo racional, entonces se dice que el cuerpo es arquimediano . De lo contrario, dicho cuerpo es un cuerpo ordenado no arquimediano y contiene infinitesimales , así como infinitos elementos mayores que cualquier racional. Por ejemplo, los números reales forman un cuerpo arquimediano, pero los números hiperreales forman un cuerpo no arquimediano, porque extienden los números reales con elementos mayores que cualquier número natural estándar . ^{[ 4 ]}

Un cuerpo ordenado F es isomorfo al cuerpo de los números reales R si y solo si todo subconjunto no vacío de F con una cota superior en F tiene una cota superior mínima en F. Esta propiedad implica que el cuerpo es arquimediano. 

Todo cuerpo ordenado es un cuerpo formalmente real , es decir, 0 no puede escribirse como una suma de cuadrados distintos de cero. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Por el contrario, todo cuerpo formalmente real puede dotarse de un orden total compatible que lo convierta en un cuerpo ordenado. (Este orden no tiene por qué estar determinado de forma única). La demostración utiliza el lema de Zorn . ^{[ 5 ]}

Los cuerpos finitos y, más generalmente, los cuerpos de característica positiva no pueden convertirse en cuerpos ordenados, como se muestra arriba. Los números complejos tampoco pueden convertirse en un cuerpo ordenado, ya que −1 es el cuadrado de la unidad imaginaria i . Además, los números p -ádicos no pueden ordenarse, puesto que, según el lema de Hensel, Q ₂ contiene una raíz cuadrada de −7, por lo que 1 ²  +  1 ²  +  1 ²  +  2 ²  + √ −7 ² = 0, y Q _p ( p > 2) contiene una raíz cuadrada de 1 − p , por lo que ( p − 1) ⋅ 1 ² + ( √ 1 − p ) ² = 0. ^{[ 6 ]}               

Si F está equipado con la topología de orden que surge del orden total ≤, entonces los axiomas garantizan que las operaciones + y × son continuas , de modo que F es un campo topológico .

La topología de Harrison es una topología sobre el conjunto de ordenaciones X _F de un cuerpo formalmente real F. Cada orden puede considerarse como un homomorfismo de grupo multiplicativo de F ^∗ sobre ±1. Al asignar a ±1 la topología discreta y a ±1 ^F la topología producto, se induce la topología de subespacio en X _F. Los conjuntos de Harrison${\displaystyle H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}}$forman una subbase para la topología de Harrison. El producto es un espacio booleano ( compacto , de Hausdorff y totalmente disconexo ), y X _F es un subconjunto cerrado, por lo tanto, también booleano. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Un abanico en F es un preordenamiento T con la propiedad de que si S es un subgrupo de índice 2 en F ^∗ que contiene T  −  {0} y no contiene  −1, entonces S es un ordenamiento (es decir, S es cerrado bajo la suma). ^{[ 9 ]} Un cuerpo superordenado es un cuerpo totalmente real en el que el conjunto de sumas de cuadrados forma un abanico. ^{[ 10 ]}

• Grupo ordenado linealmente : grupo con orden total invariante traslacionalmente. 
• Campo exponencial ordenado : campo ordenado con una función que generaliza la función exponencial. 
• Grupo ordenado : grupo con un orden parcial compatible. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 
• Anillo pedido
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado – Espacio vectorial con un orden parcial 
• Anillo parcialmente pedido – Anillo con un pedido parcial compatible 
• Espacio parcialmente ordenado – Espacio topológico parcialmente ordenado 
• Campo de preorden : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 
• Espacio de Riesz : espacio vectorial parcialmente ordenado, organizado como una red. 

• Lam, TY (1983), Ordenamientos, valoraciones y formas cuadráticas , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol.  52, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol.  67. Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 . 
• Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera  ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001