Polymake

polymake es un software para el tratamiento algorítmico de poliedros convexos . ^{[ 1 ]}

Aunque inicialmente se utilizaba principalmente como herramienta para estudiar la combinatoria y la geometría de politopos y poliedros convexos , ^{[ 2 ]} ahora también es capaz de trabajar con complejos simpliciales , matroides , abanicos poliédricos, grafos , objetos tropicales , variedades tóricas y otros objetos. En particular, su capacidad para calcular la envoltura convexa y los puntos reticulares de un politopo ha demostrado ser muy útil para diferentes tipos de investigación. ^{[ 3 ]}

polymake ha sido citado en más de 300 artículos recientes indexados por Zentralblatt MATH , como puede verse en su entrada en la base de datos swMATH. ^{[ 4 ]}

Polymake presenta algunas particularidades que hacen que trabajar con él sea especial.

En primer lugar, polymake se puede usar dentro de un script de Perl . Además, los usuarios pueden extender polymake y definir nuevos objetos, propiedades, reglas para calcular propiedades y algoritmos. ^{[ 5 ]}

En segundo lugar, presenta un esquema interno cliente-servidor para adaptarse al uso de Perl para la gestión de objetos e interfaces, así como a C++ para algoritmos matemáticos. ^{[ 6 ]} El servidor almacena información sobre cada objeto (por ejemplo, un politopo), y el cliente envía solicitudes para calcular propiedades. El servidor tiene la tarea de determinar cómo completar cada solicitud a partir de la información ya conocida sobre cada objeto mediante un sistema basado en reglas. Por ejemplo, existen muchas reglas sobre cómo calcular las facetas de un politopo. Las facetas se pueden calcular a partir de una descripción de vértices del politopo y de una descripción de desigualdad (posiblemente redundante). polymake construye un grafo de dependencias que describe los pasos para procesar cada solicitud y selecciona la mejor ruta mediante un algoritmo de tipo Dijkstra. ^{[ 6 ]}

polymake divide su colección de funciones y objetos en 10 grupos diferentes llamados aplicaciones. Se comportan como espacios de nombres de C++. La aplicación polytope fue la primera en desarrollarse y es la más grande. ^{[ 7 ]}

• Común: funciones "auxiliares" utilizadas en otras aplicaciones. ^{[ 8 ]}

• Abanico: funciones para complejos poliédricos (que generalizan los complejos simpliciales ), dibujos planares de 3-politopos, abanicos poliédricos y subdivisiones de puntos o vectores. ^{[ 9 ]}

• Fulton: cálculos con variedades tóricas normales . Recibe su nombre de William Fulton , autor de "Introducción a las variedades tóricas". ^{[ 10 ]}

• Grafo: manipulación de grafos dirigidos y no dirigidos. ^{[ 11 ]}

• Grupo: enfoque en grupos de permutaciones finitas. Las propiedades básicas de un grupo se pueden calcular como caracteres y clases de conjugación. ^{[ 12 ]}

• Ideal: cálculos sobre ideales polinomiales: base de Gröbner , polinomio de Hilbert y radicales . ^{[ 13 ]}

• Matroide: cálculo de propiedades estándar de un matroide , como bases y circuitos. Esta aplicación también puede calcular propiedades más avanzadas, como el polinomio de Tutte de un matroide y la realización del matroide con un politopo. ^{[ 14 ]}

• Politopo: más de 230 funciones o cálculos que se pueden realizar con un politopo. Estas funciones varían en complejidad, desde el cálculo de información básica sobre un politopo (p. ej., número de vértices, número de facetas, pruebas para politopos simpliciales y conversión de una descripción de vértice a una descripción de desigualdad) hasta propiedades combinatorias o algebraicas (p. ej., vector H , polinomio de Ehrhart , base de Hilbert y diagramas de Schlegel ). ^{[ 7 ]} También hay muchas opciones de visualización.

• Topaz: funciones relacionadas con complejos simpliciales abstractos . ^{[ 15 ]} Se pueden realizar muchos cálculos topológicos avanzados sobre complejos simpliciales, como grupos de homología , orientación y grupo fundamental . También existe una colección combinatoria de propiedades que se pueden calcular, como diagramas de capas y de Hasse .

• Tropical: funciones para explorar la geometría tropical ; en particular, hipersuperficies tropicales y conos tropicales. ^{[ 16 ]}

La versión 1.0 de polymake apareció por primera vez en las actas del seminario DMV "Polítopos y optimización" celebrado en Oberwolfach en noviembre de 1997. ^{[ 2 ]} La versión 1.0 solo contenía la aplicación de politopos, pero el sistema de "aplicaciones" aún no estaba desarrollado. La versión 2.0 se publicó en julio de 2003, ^{[ 17 ]} y la versión 3.0 se publicó en 2016. ^{[ 18 ]} La última gran revisión, la versión 4.0, se publicó en enero de 2020. ^{[ 19 ]}

Polymake tiene una estructura altamente modular y, por lo tanto, muestra una gran interacción con paquetes de software de terceros para cálculos especializados, proporcionando así una interfaz común y un puente entre diferentes herramientas. Un usuario puede cambiar fácilmente (y sin darse cuenta) entre el uso de diferentes paquetes de software durante el proceso de cálculo de las propiedades de un politopo. ^{[ 20 ]}