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bucle de Polyakov

En la teoría cuántica de campos , el bucle de Polyakov es el análogo térmico del bucle de Wilson , que actúa como un parámetro de orden para el confinamiento en teorías de gauge...

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En la teoría cuántica de campos , el bucle de Polyakov es el análogo térmico del bucle de Wilson , que actúa como un parámetro de orden para el confinamiento en teorías de gauge puras a temperaturas distintas de cero . En particular, es un bucle de Wilson que se enrolla alrededor de la dirección temporal euclidiana compactificada de una teoría cuántica de campos térmica . Indica confinamiento porque su valor esperado en el vacío debe anularse en la fase confinada debido a su no invariancia bajo transformaciones de gauge centrales. Esto también se deduce del hecho de que el valor esperado está relacionado con la energía libre de los quarks individuales , que diverge en esta fase. Introducidos por Alexander M. Polyakov en 1975, [ 1 ] también pueden usarse para estudiar el potencial entre pares de quarks a temperaturas distintas de cero.

Definición

La teoría cuántica de campos térmicos se formula en el espaciotiempo euclidiano con una dirección temporal imaginaria compactificada de longitudβ{\displaystyle \beta }Esta longitud corresponde a la temperatura inversa del campo.β∝1/T{\displaystyle \beta \propto 1/T}. La compactificación conduce a una clase especial de bucles de Wilson topológicamente no triviales que se enrollan alrededor de la dirección compacta, conocidos como bucles de Polyakov. [ 2 ] EnSU(norte){\displaystyle {\text{SU}}(N)}teorías de un bucle de Polyakov recto en una coordenada espacialincógnita{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}es dado por

Φ(incógnita)=1nortetr PAGexp⁡[∫0βdincógnita4A4(incógnita,incógnitaF)],{\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{N}}{\text{tr}}\ {\mathcal {P}}\exp {\bigg [}\int _{0}^{\beta }dx_{4}A_{4}({\boldsymbol {x}},x_{f}){\bigg ]},}

dóndePAG{\displaystyle {\mathcal {P}}}es el operador de ordenación de caminos yA4{\displaystyle A_{4}}es la componente temporal euclidiana del campo de gauge. En la teoría de campos reticulares, este operador se reformula en términos de campos de enlace temporal.U4(metro,j){\displaystyle U_{4}({\boldsymbol {m}},j)}en una posición espacialmetro{\displaystyle {\boldsymbol {m}}}como [ 3 ]

Φ(metro)=1nortetr[∏j=0norteT−1U4(metro,j)].{\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {m}})={\frac {1}{N}}{\text{tr}}{\bigg [}\prod _{j=0}^{N_{T}-1}U_{4}({\boldsymbol {m}},j){\bigg ]}.}

El límite continuo de la red debe tomarse con cuidado para asegurar que la dirección compacta tenga una extensión fija. Esto se hace asegurando que el número finito de puntos de la red temporalnorteT{\displaystyle N_{T}}es tal queβ=norteTa{\displaystyle \beta =N_{T}a}es constante al igual que el espaciado de la red.a{\displaystyle a}va a cero.

Parámetro de orden

Diagrama de dispersión bidimensional de las componentes real e imaginaria del valor esperado del bucle de Polyakov. Presenta numerosos valores agrupados alrededor del origen y de las tres raíces cúbicas de la unidad, correspondientes al valor esperado en la fase confinada y desconfinada.
Diagrama de dispersión del valor esperado de la línea de Polyakov en una simulación de unaSU(3){\displaystyle {\text{SU}}(3)}Teoría de gauge en torno a la transición de fase de confinamiento. El círculo rojo denota la fase de confinamiento, mientras que los círculos azul y verde denotan los valores esperados distintos de cero en la fase desconfinada. Hay tres grupos en la fase desconfinada debido a laZ3{\displaystyle \mathbb {Z} _ {3}}centro del grupo de calibre. [ 4 ]

Los campos de calibre deben satisfacer la condición de periodicidad.Aμ(incógnita,incógnita4+β)=Aμ(incógnita,incógnita4){\displaystyle A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4})}en la dirección compactificada. Mientras tanto, las transformaciones de calibre solo necesitan satisfacer esto hasta un término central de grupo.h{\displaystyle h}comoΩ(incógnita,incógnita4+β)=hΩ(incógnita,incógnita4){\displaystyle \Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=h\Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4})}. Un cambio de base siempre puede diagonalizar esto de modo queh=zI{\displaystyle h=zI}para un número complejoz{\displaystyle z}El bucle de Polyakov es topológicamente no trivial en la dirección temporal, por lo que, a diferencia de otros bucles de Wilson, se transforma comoΦ(incógnita)→zΦ(incógnita){\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rightarrow z\Phi ({\boldsymbol {x}})}bajo estas transformaciones. [ 5 ] Dado que esto hace que el calibre del bucle dependa dez≠1{\displaystyle z\neq 1}, por el teorema de Elitzur, valores esperados no nulos de⟨Φ⟩{\displaystyle \langle \Phi \rangle }implican que el grupo central debe romperse espontáneamente , lo que implica confinamiento en la teoría de gauge pura. Esto convierte al bucle de Polyakov en un parámetro de orden para el confinamiento en la teoría de gauge pura térmica, con una fase de confinamiento que ocurre cuando⟨Φ⟩=0{\displaystyle \langle \Phi \rangle =0}y fase de desconfinamiento cuando⟨Φ⟩≠0{\displaystyle \langle \Phi \rangle \neq 0}. [ 6 ] Por ejemplo, los cálculos de red de la cromodinámica cuántica con quarks infinitamente pesados ​​que se desacoplan de la teoría muestran que la transición de fase de desconfinamiento ocurre alrededor de una temperatura de270{\displaystyle 270}MeV. [ 7 ] Mientras tanto, en una teoría de gauge con quarks, estos rompen el grupo central y, por lo tanto, el confinamiento debe deducirse del espectro de estados asintóticos, los hadrones neutros en color .

Para las teorías de gauge que carecen de un centro de grupo no trivial que pueda romperse en la fase de confinamiento, los valores esperados del bucle de Polyakov son distintos de cero incluso en esta fase. Sin embargo, siguen siendo un buen indicador de confinamiento, ya que generalmente experimentan un salto brusco en la transición de fase . Este es el caso, por ejemplo, en el modelo de Higgs con el grupo de gauge excepcional.GRAMO2{\displaystyle G_{2}}. [ 8 ]

El modelo de Nambu-Jona-Lasinio carece de simetría de color local y, por lo tanto, no puede capturar los efectos del confinamiento. Sin embargo, los bucles de Polyakov pueden utilizarse para construir el modelo de Nambu-Jona-Lasinio extendido con bucles de Polyakov, que trata tanto el condensado quiral como los bucles de Polyakov como campos homogéneos clásicos que se acoplan a los quarks según las simetrías y los patrones de ruptura de simetría de la cromodinámica cuántica. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

energía libre de quarks

La energía libreF{\displaystyle F}denorte{\displaystyle N}quarks ynorte¯{\displaystyle {\bar {N}}}antiquarks , restando la energía del vacío , se da en términos de las funciones de correlación de los bucles de Polyakov [ 12 ].

mi−βF=⟨Φ(incógnita1)…Φ(incógnitanorteq)Φ†(incógnita1′)⋯Φ†(incógnitanorte¯′)⟩.{\displaystyle e^{-\beta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\dots \Phi ({\boldsymbol {x}}_{N_{q}})\Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}'_{1})\cdots \Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}_{\bar {N}}')\rangle .}

Esta energía libre es otra forma de ver que el bucle de Polyakov actúa como un parámetro de orden para el confinamiento, ya que la energía libre de un solo quark viene dada pormi−βΔF=⟨Φ(incógnita)⟩{\displaystyle e^{-\beta \Delta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rangle }. [ 13 ] El confinamiento de quarks significa que se necesitaría una cantidad infinita de energía para crear una configuración con un solo quark libre, por lo tanto, su energía libre debe ser infinita y, por consiguiente, el valor esperado del bucle de Polyakov debe desaparecer en esta fase, de acuerdo con el argumento de la ruptura de la simetría del centro.

La fórmula para la energía libre también se puede utilizar para calcular el potencial entre un par de quarks de masa infinita separados espacialmente porr=|incógnita1−incógnita2|{\displaystyle r=|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|}Aquí está el potencialV(r){\displaystyle V(r)}es el primer término en la energía libre, de modo que la función de correlación de dos bucles de Polyakov es

⟨Φ(incógnita1)Φ(incógnita2)⟩∝mi−βV(r)(1+O(mi−βΔmi(r))),{\displaystyle \langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\Phi ({\boldsymbol {x}}_{2})\rangle \propto e^{-\beta V(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-\beta \Delta E(r)})),}

dóndeΔmi{\displaystyle \Delta E}es la diferencia de energía entre el potencial y el primer estado excitado . En la fase de confinamiento, el potencial es lineal.V(r)=σr{\displaystyle V(r)=\sigma r}donde la constante de proporcionalidad se conoce como la tensión de la cuerda. La tensión de la cuerda obtenida del bucle de Polyakov siempre está limitada superiormente por la tensión de la cuerda obtenida del bucle de Wilson. [ 14 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Polyakov, AM (1975). "Campos de gauge compactos y la catástrofe infrarroja". Physics Letters B . 59 (1): 82– 84. doi : 10.1016/0370-2693(75)90162-8 .
  2. ↑ Wipf, A. [en alemán] (2021). "16". Enfoque estadístico de la teoría cuántica de campos (2.ª ed.). Springer. págs. 456–459 . ISBN   978-3-642-33104-6.
  3. ↑ Gattringer, C.; Lang, CB (2009). "3". Cromodinámica cuántica en la red: una presentación introductoria . Lecture Notes in Physics 788. Springer. pp. 57–58 . doi : 10.1007/978-3-642-01850-3 . ISBN  978-3-642-01849-7.
  4. ↑ Kovacs, TG (2021). "Localización en la transición de fase SU(3) templada". Actas del 38.º Simposio Internacional sobre Teoría de Campos de Red — PoS(LATTICE2021) . p. 238. arXiv : 2112.05454 . doi : 10.22323/1.396.0238 . S2CID 245117767 .  
  5. ^ Bellwied, R.; Ratti, C. (2021). "2". La transición de desconfinamiento de QCD . Saltador. págs. 25 a 32. ISBN  978-3-030-67234-8.
  6. ↑ Greensite, J. (2020). "4". Introducción al problema del confinamiento (2.ª ed.). Springer. págs. 42–43 . ISBN   978-3-030-51562-1.
  7. ↑ Kogut, J.; Stephanov, M. (2003). "7". Las fases de la cromodinámica cuántica . Cambridge: Cambridge University Press. pág. 178. ISBN  978-0-521-80450-9.
  8. ↑ Holland, K.; et al. (2003). "Confinamiento excepcional en la teoría de gauge G(2)". Nucl. Phys. B . 668 ( 1– 2): 207– 236. arXiv : hep-lat/0302023 . Bibcode : 2003NuPhB.668..207H . doi : 10.1016/S0550-3213(03)00571-6 . S2CID 119554796 .  
  9. ↑ Friman, B.; et al. (2011). "4". The CBM Physics Book: Compressed Baryonic Matter in Laboratory Experiments . Springer. p. 239. ISBN   978-3-642-13292-6.
  10. ↑ Ratti, C.; Thaler, MA; Weise, W. [en alemán] (2006). "Fases de QCD: Termodinámica reticular y un modelo teórico de campo" . Phys. Rev. D. 73 ( 1) 014019. arXiv : hep-ph/0506234 . Bibcode : 2006PhRvD..73a4019R . doi : 10.1103/PhysRevD.73.014019 . S2CID 15677961 . 
  11. ↑ Roessner, S.; Ratti, C.; Weise, W. [en alemán] (2007). "Lazo de Polyakov, diquarks y el diagrama de fases de dos sabores" . Phys. Rev. D. 75 ( 3) 034007. arXiv : hep-ph/0609281 . Bibcode : 2007PhRvD..75c4007R . doi : 10.1103/PhysRevD.75.034007 . S2CID 14960863 . 
  12. ↑ McLarren, LD; Svetitsky, B. (1981). "Liberación de quarks a alta temperatura: un estudio de Monte Carlo de la teoría de gauge SU(2)" . Phys. Rev. D. 24 ( 2): 450– 460. Bibcode : 1981PhRvD..24..450M . doi : 10.1103/PhysRevD.24.450 .
  13. ↑ Makeenko, Y. (2002). "9". Métodos de la teoría de gauge contemporánea . Monografías de Cambridge sobre física matemática. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 168–169 . doi : 10.1017/CBO9780511535147 . ISBN  978-0-521-80911-5.
  14. ↑ Borgs, C.; Seiler, E. (1983). "Teoría de Yang-Mills reticular a temperatura distinta de cero y el problema del confinamiento". Communications in Mathematical Physics . 91 (3): 329– 380. Bibcode : 1983CMaPh..91..329B . doi : 10.1007/BF01208780 . S2CID 121126988 . 
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