Ley de Planck

Las formas de la ley que expresan la frecuencia y la longitud de onda son funciones diferentes. La correspondencia implica relaciones diferenciales y las unidades de longitud de onda y frecuencia son recíprocas. Ambas formas expresan una cantidad de energía por paso de la variable independiente, pero los tamaños de los pasos difieren. Por lo tanto, las dos formas de la ley de Planck no se relacionan sustituyendo una variable por otra, ya que esto no tendría en cuenta que las diferentes formas tienen unidades diferentes. ^{[ 9 ]}

Para convertir las formas correspondientes de manera que expresen la misma cantidad en las mismas unidades, multiplicamos por el incremento espectral. Entonces, para un incremento espectral particular, el incremento de energía física particular se puede escribir $${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda ),T)\,d\nu ,}$$ lo que lleva a $${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda ),T).}$$El signo menos indica que un incremento de frecuencia corresponde a una disminución de la longitud de onda.

Dado que ν ( λ ) = ⁠ c / λ ⁠ , la razón ⁠ dν / dλ ⁠ = − ⁠ c / λ ² ⁠ . La sustitución da la correspondencia entre las formas de frecuencia y longitud de onda, con sus diferentes dimensiones y unidades: ^{[ 16 ] [ 18 ]}$${\displaystyle {\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.}$$

La ubicación del pico de la distribución espectral para la ley de Planck depende de la elección de la variable espectral.

La forma de ancho de banda fraccional está relacionada con las otras formas por ^{[ 9 ].}

${\displaystyle B_{\ln x}=\nu B_{\nu }=\lambda B_{\lambda }}$.

En las variantes anteriores de la ley de Planck, las variantes de longitud de onda y número de onda utilizan los términos 2 hc ² y ⁠ hc / k _B ⁠ que comprenden únicamente constantes físicas. En consecuencia, estos términos pueden considerarse como constantes físicas en sí mismos, ^{[ 19 ]} y por lo tanto se denominan primera constante de radiación c _{1 L} y segunda constante de radiación c ₂ con

y

Utilizando las constantes de radiación, la variante de longitud de onda de la ley de Planck se puede simplificar a: $${\displaystyle L(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$ y la variante del número de onda se puede simplificar en consecuencia.

Aquí se usa L en lugar de B porque es el símbolo del SI para la radiancia espectral .La L en c _{1 L} se refiere a eso. Esta referencia es necesaria porque la ley de Planck se puede reformular para dar la emitancia radiante espectral M ( λ , T ) en lugar de la radiancia espectral L ( λ , T ) , en cuyo caso c ₁ reemplaza a c _{1 L} , con

de modo que la ley de Planck para la emitancia radiante espectral se puede escribir como $${\displaystyle M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$$

A medida que las técnicas de medición han mejorado, la Conferencia General de Pesas y Medidas ha revisado su estimación de c ₂ ; véase el lugar geométrico de Planck §  Escala Internacional de Temperatura para más detalles.

La explicación teórica cuántica de la ley de Planck considera la radiación como un gas de partículas bosónicas sin masa ni carga, es decir, fotones, en equilibrio termodinámico . Los fotones se consideran los portadores de la interacción electromagnética entre partículas elementales con carga eléctrica. El número de fotones no se conserva. Los fotones se crean o aniquilan en la cantidad y con la energía adecuadas para llenar la cavidad descrita por la distribución de Planck. Para un gas de fotones en equilibrio termodinámico, la densidad de energía interna está completamente determinada por la temperatura; además, la presión también está completamente determinada por la densidad de energía interna. Esto difiere del equilibrio termodinámico de los gases materiales, para los cuales la energía interna está determinada no solo por la temperatura, sino también, independientemente, por la cantidad respectiva de las diferentes moléculas y, de nuevo, independientemente, por las características específicas de estas. Para diferentes gases materiales a una temperatura dada, la presión y la densidad de energía interna pueden variar independientemente, ya que las diferentes moléculas pueden transportar energías de excitación diferentes.

La ley de Planck surge como un límite de la distribución de Bose-Einstein , la distribución de energía que describe los bosones no interactivos en equilibrio termodinámico. En el caso de bosones sin masa, como fotones y gluones , el potencial químico es cero y la distribución de Bose-Einstein se reduce a la distribución de Planck. Existe otra distribución de energía de equilibrio fundamental: la distribución de Fermi-Dirac , que describe los fermiones , como los electrones, en equilibrio térmico. Las dos distribuciones difieren porque múltiples bosones pueden ocupar el mismo estado cuántico , mientras que múltiples fermiones no. A bajas densidades, el número de estados cuánticos disponibles por partícula es grande, y esta diferencia se vuelve irrelevante. En el límite de baja densidad, tanto la distribución de Bose-Einstein como la de Fermi-Dirac se reducen a la distribución de Maxwell-Boltzmann .

La ley de radiación térmica de Kirchhoff ofrece una explicación concisa y breve de una situación física compleja. A continuación, se presenta un esbozo introductorio de dicha situación, lejos de ser un argumento físico riguroso. El propósito aquí es simplemente resumir los principales factores físicos involucrados y las conclusiones más importantes.

En física, se considera un cuerpo negro ideal, aquí denominado B , definido como aquel que absorbe completamente toda la radiación electromagnética incidente a cada frecuencia ν (de ahí el término "negro"). Según la ley de radiación térmica de Kirchhoff, esto implica que, para cada frecuencia ν , en equilibrio termodinámico a temperatura T , se cumple que α _{ν , B} ( T ) = ε _{ν , B} ( T ) = 1 , de modo que la radiación térmica de un cuerpo negro siempre es igual a la cantidad total especificada por la ley de Planck. Ningún cuerpo físico puede emitir radiación térmica que exceda la de un cuerpo negro, ya que si estuviera en equilibrio con un campo de radiación, emitiría más energía de la que incide sobre él.

Aunque no existen materiales perfectamente negros, en la práctica se puede aproximar con precisión una superficie negra. ^{[ 2 ]} En cuanto a su interior material, un cuerpo de materia condensada, líquido, sólido o plasma, con una interfaz definida con su entorno, es completamente negro a la radiación si es completamente opaco. Esto significa que absorbe toda la radiación que penetra la interfaz del cuerpo con su entorno y entra en el cuerpo. Esto no es demasiado difícil de lograr en la práctica. Por otro lado, una interfaz perfectamente negra no se encuentra en la naturaleza. Una interfaz perfectamente negra no refleja radiación, sino que transmite toda la que incide sobre ella, desde cualquier lado. La mejor manera práctica de crear una interfaz efectivamente negra es simular una "interfaz" mediante un pequeño orificio en la pared de una gran cavidad en un cuerpo rígido completamente opaco de material que no refleja perfectamente en ninguna frecuencia, con sus paredes a una temperatura controlada. Más allá de estos requisitos, el material componente de las paredes no tiene restricciones. La radiación que entra por el orificio casi no tiene posibilidad de escapar de la cavidad sin ser absorbida por múltiples impactos con sus paredes. ^{[ 25 ]}

Como explicó Planck, ^{[ 26 ]} un cuerpo radiante tiene un interior compuesto de materia y una interfaz con su medio material vecino contiguo, que suele ser el medio desde el cual se observa la radiación de la superficie del cuerpo. La interfaz no está compuesta de materia física, sino que es una concepción teórica, una superficie matemática bidimensional, una propiedad conjunta de los dos medios contiguos, que, estrictamente hablando, no pertenece a ninguno por separado. Dicha interfaz no puede absorber ni emitir, porque no está compuesta de materia física; pero es el sitio de reflexión y transmisión de radiación, porque es una superficie de discontinuidad de propiedades ópticas. La reflexión y transmisión de radiación en la interfaz obedecen al principio de reciprocidad de Stokes-Helmholtz .

En cualquier punto del interior de un cuerpo negro situado dentro de una cavidad en equilibrio termodinámico a temperatura T, la radiación es homogénea, isotrópica y no polarizada. Un cuerpo negro absorbe toda la radiación electromagnética incidente y no la refleja. Según el principio de reciprocidad de Helmholtz, la radiación del interior de un cuerpo negro no se refleja en su superficie, sino que se transmite completamente hacia el exterior. Debido a la isotropía de la radiación en el interior del cuerpo, la radiancia espectral de la radiación transmitida desde su interior hacia el exterior a través de su superficie es independiente de la dirección. ^{[ 27 ]}

Esto se expresa diciendo que la radiación de la superficie de un cuerpo negro en equilibrio termodinámico obedece la ley del coseno de Lambert. ^{[ 28 ] [ 29 ]} Esto significa que el flujo espectral d Φ( dA , θ , d Ω, dν ) de un elemento infinitesimal dado de área dA de la superficie emisora ​​real del cuerpo negro, detectado desde una dirección dada que forma un ángulo θ con la normal a la superficie emisora ​​real en dA , en un elemento de ángulo sólido de detección d Ω centrado en la dirección indicada por θ , en un elemento de ancho de banda de frecuencia dν , puede representarse como ^{[ 30 ]}$${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=L^{0}(dA,d\nu )\,dA\,d\nu \,\cos \theta }$$ donde L ⁰ ( dA , dν ) denota el flujo, por unidad de área por unidad de frecuencia por unidad de ángulo sólido, que mostraría el área dA si se midiera en su dirección normal θ = 0 .

El factor cos θ está presente porque el área a la que se refiere directamente la radiancia espectral es la proyección, del área real de la superficie emisora, sobre un plano perpendicular a la dirección indicada por θ . Esta es la razón por la que se denomina ley del coseno .

Teniendo en cuenta la independencia de la dirección de la radiancia espectral de la radiación desde la superficie de un cuerpo negro en equilibrio termodinámico, se tiene L ⁰ ( dA , dν ) = B _ν ( T ) y por lo tanto $${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=B_{\nu }(T)\,dA\,d\nu \,\cos \theta .}$$

Así, la ley del coseno de Lambert expresa la independencia de la dirección de la radiancia espectral B _ν ( T ) de la superficie de un cuerpo negro en equilibrio termodinámico.

La potencia total emitida por unidad de área en la superficie de un cuerpo negro ( P ) se puede encontrar integrando el flujo espectral del cuerpo negro obtenido a partir de la ley de Lambert sobre todas las frecuencias y sobre los ángulos sólidos correspondientes a un hemisferio ( h ) sobre la superficie. $${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{h}d\Omega \,B_{\nu }\cos(\theta )}$$

El ángulo sólido infinitesimal se puede expresar en coordenadas polares esféricas : $${\displaystyle d\Omega =\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi .}$$ De modo que: $${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma T^{4}}$$ dónde$${\displaystyle \sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670374419\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}} }$$se conoce como la constante de Stefan-Boltzmann . ^{[ 31 ]}

La ecuación de transferencia radiativa describe cómo se ve afectada la radiación al propagarse a través de un medio material. En el caso particular en que el medio material se encuentra en equilibrio termodinámico en las proximidades de un punto del mismo, la ley de Planck cobra especial importancia.

Para simplificar, podemos considerar el estado estacionario lineal, sin dispersión . La ecuación de transferencia radiativa establece que para un haz de luz que recorre una pequeña distancia d s , la energía se conserva: El cambio en la radiancia (espectral) de ese haz ( I _ν ) es igual a la cantidad extraída por el medio material más la cantidad ganada del medio material. Si el campo de radiación está en equilibrio con el medio material, estas dos contribuciones serán iguales. El medio material tendrá un cierto coeficiente de emisión y un coeficiente de absorción .

El coeficiente de absorción α es el cambio fraccional en la intensidad del haz de luz a medida que recorre la distancia d s , y tiene unidades de longitud ⁻¹ . Está compuesto por dos partes: la disminución debida a la absorción y el aumento debido a la emisión estimulada . La emisión estimulada es la emisión del cuerpo del material causada por la radiación incidente y es proporcional a ella. Se incluye en el término de absorción porque, al igual que la absorción, es proporcional a la intensidad de la radiación incidente. Dado que la cantidad de absorción generalmente varía linealmente con la densidad ρ del material, podemos definir un "coeficiente de absorción másica" κ _ν = ⁠ α / ρ ⁠ que es una propiedad del material mismo. El cambio en la intensidad de un haz de luz debido a la absorción a medida que recorre una pequeña distancia d s será entonces ^{[ 7 ].}$${\displaystyle dI_{\nu }=-\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }\,ds}$$

El "coeficiente de emisión másica" j _ν es igual a la radiancia por unidad de volumen de un pequeño elemento de volumen dividida por su masa (ya que, al igual que para el coeficiente de absorción másica, la emisión es proporcional a la masa emisora) y tiene unidades de potencia⋅ángulo sólido ⁻¹ ⋅frecuencia ⁻¹ ⋅densidad ⁻¹ . Al igual que el coeficiente de absorción másica, también es una propiedad del propio material. El cambio en un haz de luz al recorrer una pequeña distancia d s será entonces ^{[ 32 ]}$${\displaystyle dI_{\nu }=j_{\nu }\rho \,ds}$$

La ecuación de transferencia radiativa será entonces la suma de estas dos contribuciones: ^{[ 33 ]}$${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=j_{\nu }\rho -\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }.}$$

Si el campo de radiación está en equilibrio con el medio material, entonces la radiación será homogénea (independiente de la posición) de modo que dI _ν = 0 y: $${\displaystyle \kappa _{\nu }B_{\nu }=j_{\nu }}$$ que es otra formulación de la ley de Kirchhoff, que relaciona dos propiedades materiales del medio, y que produce la ecuación de transferencia radiativa en un punto alrededor del cual el medio se encuentra en equilibrio termodinámico: $${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=\kappa _{\nu }\rho (B_{\nu }-I_{\nu }).}$$

El principio de equilibrio detallado establece que, en el equilibrio termodinámico, cada proceso elemental está en equilibrio con su proceso inverso.

En 1916, Albert Einstein aplicó este principio a nivel atómico al caso de un átomo que irradia y absorbe radiación debido a transiciones entre dos niveles de energía particulares, ^{[ 34 ]} lo que proporcionó una comprensión más profunda de la ecuación de transferencia radiativa y la ley de Kirchhoff para este tipo de radiación. Si el nivel 1 es el nivel de energía inferior con energía E ₁ , y el nivel 2 es el nivel de energía superior con energía E ₂ , entonces la frecuencia ν de la radiación irradiada o absorbida estará determinada por la condición de frecuencia de Bohr: ^{[ 35 ] [ 36 ]}$${\displaystyle E_{2}-E_{1}=h\nu .}$$

Si n ₁ y n ₂ son las densidades numéricas del átomo en los estados 1 y 2 respectivamente, entonces la tasa de cambio de estas densidades en el tiempo se deberá a tres procesos:

Emisión espontánea

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}}$

Emisión estimulada

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{\nu }}$

Fotoabsorción

${\displaystyle \left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{\nu }}$

donde u _ν es la densidad de energía espectral del campo de radiación. Los tres parámetros A ₂₁ , B ₂₁ y B ₁₂ , conocidos como coeficientes de Einstein, están asociados con la frecuencia del fotón ν producida por la transición entre dos niveles de energía (estados). Como resultado, cada línea en un espectro tiene su propio conjunto de coeficientes asociados. Cuando los átomos y el campo de radiación están en equilibrio, la radiancia vendrá dada por la ley de Planck y, por el principio de balance detallado, la suma de estas tasas debe ser cero: $${\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)-B_{12}n_{1}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}$$

Dado que los átomos también están en equilibrio, las poblaciones de los dos niveles están relacionadas por el factor de Boltzmann : $${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-h\nu /k_{\mathrm {B} }T}}$$ donde g ₁ y g ₂ son las multiplicidades de los respectivos niveles de energía. Combinando las dos ecuaciones anteriores con el requisito de que sean válidas a cualquier temperatura, se obtienen dos relaciones entre los coeficientes de Einstein: $${\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}}$$$${\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$$ de modo que el conocimiento de un coeficiente permitirá obtener los otros dos.

Para el caso de absorción y emisión isotrópicas, el coeficiente de emisión ( jν ₎ y el coeficiente de absorción ( _κν ) definidos en la sección de transferencia radiativa anterior, pueden expresarse en términos de los coeficientes de Einstein. Las relaciones entre los coeficientes de Einstein darán como resultado la expresión de la ley de Kirchhoff expresada en la sección de transferencia radiativa anterior, a saber, que$${\displaystyle j_{\nu }=\kappa _{\nu }B_{\nu }.}$$

Estos coeficientes se aplican tanto a átomos como a moléculas.

Las distribuciones B _ν , B _ω , B _ν̃ y B _k alcanzan su máximo en una energía fotónica de ^{[ 37 ].}$${\displaystyle E=\left[3+W\left(-3e^{-3}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T,}$$donde W es la función W de Lambert y e es el número de Euler .

Sin embargo, la distribución B _λ alcanza su máximo en una energía diferente ^{[ 37 ].}$${\displaystyle E=\left[5+W\left(-5e^{-5}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T,}$$La razón de esto es que, como se mencionó anteriormente, no se puede pasar de (por ejemplo) B _ν a B _λ simplemente sustituyendo ν por λ . Además, también hay que multiplicar por${\textstyle \left|{d\nu }/{d\lambda }\right|=c/{\lambda ^{2}}}$, lo que desplaza el pico de la distribución a energías más altas. Estos picos son la energía modal de un fotón, cuando se agrupan utilizando intervalos de igual tamaño de frecuencia o longitud de onda, respectivamente. Dividiendo hc (14 387 .770  μm·K ) mediante estas expresiones de energía da la longitud de onda del pico.

La radiancia espectral en estos picos viene dada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\nu ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}x^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\[1ex]&\approx 1.896\times 10^{-19}\mathrm {\frac {W}{m^{2}\cdot Hz\cdot sr}} \times {\left({\frac {T}{\mathrm {K} }}\right)}^{3}\end{aligned}}}$

con${\displaystyle x=3+W(-3e^{-3}),}$y$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\lambda ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}x^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\[1ex]&\approx 4.096\times 10^{-6}\mathrm {\frac {W}{m^{3}\cdot sr}} \times {\left({\frac {T}{\mathrm {K} }}\right)}^{5}\end{aligned}}}$$con${\displaystyle x=5+W(-5e^{-5}).}$

Mientras tanto, la energía promedio de un fotón de un cuerpo negro es$${\displaystyle E=\left[{\frac {\pi ^{4}}{30\ \zeta (3)}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.701\ k_{\mathrm {B} }T,}$$dónde${\displaystyle \zeta }$es la función zeta de Riemann .

En el límite de bajas frecuencias (es decir, longitudes de onda largas), la ley de Planck se convierte en la ley de Rayleigh-Jeans ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\nu }(T)&\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T,&B_{\lambda }(T)&\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T.\end{aligned}}}$$

La radiancia aumenta con el cuadrado de la frecuencia, lo que ilustra la catástrofe ultravioleta . En el límite de altas frecuencias (es decir, longitudes de onda pequeñas), la ley de Planck tiende a la aproximación de Wien : ^{[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\nu }(T)&\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}},&B_{\lambda }(T)&\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}.\end{aligned}}}$$

La ley de desplazamiento de Wien, en su forma más fuerte, establece que la forma de la ley de Planck es independiente de la temperatura . Por lo tanto, es posible enumerar los puntos percentiles de la radiación total, así como los picos de longitud de onda y frecuencia, en una forma que da la longitud de onda λ cuando se divide por la temperatura T. ^{[ 43 ]} La segunda columna de la siguiente tabla enumera los valores correspondientes de λT , es decir, aquellos valores de x para los cuales la longitud de onda λ es ⁠ x / T ⁠ micrómetros en el punto percentil de radiancia dado por la entrada correspondiente en la primera columna.

Es decir, el 0,01% de la radiación está en una longitud de onda inferior a 910 / T μm , el 20% inferior a 2676 / T μm , etc. Los picos de longitud de onda y frecuencia están en negrita y ocurren en 25,0% y 64,6% respectivamente. El punto del 41,8% es el pico neutro de longitud de onda-frecuencia (es decir, el pico en potencia por unidad de cambio en el logaritmo de la longitud de onda o frecuencia). Estos son los puntos en los que las respectivas funciones de la ley de Planck 1 / λ 5 , ν 3 ^y ν 2 ^/ λ 2 ^, respectivamente , ^divididas por exp ( hν / k B T ₎ − 1 alcanzan sus máximos . La diferencia mucho menor en la relación de longitudes de onda entre el 0,1% y el 0,01% (1110 es un 22% más que 910) que entre el 99,9% y el 99,99% (113374 es un 120% más que 51613) refleja la disminución exponencial de la energía en longitudes de onda cortas (extremo izquierdo) y la disminución polinómica en longitudes de onda largas. 

La elección del pico depende de la aplicación. La opción convencional es el pico de longitud de onda al 25,0%, según la ley de desplazamiento de Wien en su formulación débil. Para ciertos fines, la mediana o el punto del 50% que divide la radiación total en dos mitades puede ser más adecuado. Este último se encuentra más cerca del pico de frecuencia que del pico de longitud de onda, ya que la radiancia disminuye exponencialmente en longitudes de onda cortas y solo polinómicamente en longitudes de onda largas. El pico neutro se produce a una longitud de onda menor que la mediana por la misma razón.

Consideremos un cubo de lado L con paredes conductoras, lleno de radiación electromagnética en equilibrio térmico a temperatura T. Si hay un pequeño orificio en una de las paredes, la radiación emitida por dicho orificio será característica de un cuerpo negro perfecto . Primero calcularemos la densidad espectral de energía dentro de la cavidad y luego determinaremos la radiancia espectral de la radiación emitida.

En las paredes del cubo, la componente paralela del campo eléctrico y la componente ortogonal del campo magnético deben anularse. De forma análoga a la función de onda de una partícula en una caja , se observa que los campos son superposiciones de funciones periódicas. Las tres longitudes de onda λ ₁ , λ ₂ , y λ ₃ , en las tres direcciones ortogonales a las paredes, pueden ser:$${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},}$$donde los n _i son enteros positivos. Para cada conjunto de enteros n _i existen dos soluciones linealmente independientes (conocidas como modos). Los dos modos para cada conjunto de estos n _i corresponden a los dos estados de polarización del fotón que tiene un espín de 1. Según la teoría cuántica, la energía total de un modo viene dada por:

El número r puede interpretarse como el número de fotones en el modo. Para r = 0, la energía del modo no es cero. Esta energía del vacío del campo electromagnético es la responsable del efecto Casimir . A continuación , calcularemos la energía interna de la caja a temperatura absoluta T.

Según la mecánica estadística , la distribución de probabilidad de equilibrio sobre los niveles de energía de un modo particular viene dada por la distribución de Boltzmann :$${\displaystyle P_{r}={\frac {e^{-\beta E\left(r\right)}}{Z\left(\beta \right)}}.}$$donde utilizamos la temperatura recíproca$${\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}$$El denominador Z ( β ) , es la función de partición de un solo modo. Hace que P _r esté correctamente normalizado y se puede evaluar como$${\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}},}$$con

siendo la energía de un solo fotón. La energía promedio en un modo se puede obtener a partir de la función de partición :$${\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.}$$Esta fórmula, a excepción del primer término de energía del vacío, es un caso particular de la fórmula general para partículas que obedecen la estadística de Bose-Einstein . Dado que no existe ninguna restricción en el número total de fotones, el potencial químico es cero.

Si medimos la energía relativa al estado fundamental, la energía total en la caja se obtiene sumando ⟨ E ⟩ − ⁠ ε / 2 ⁠ sobre todos los estados de un solo fotón permitidos. Esto se puede hacer exactamente en el límite termodinámico cuando L tiende a infinito. En este límite, ε se vuelve continuo y podemos entonces integrar ⟨ E ⟩ − ⁠ ε / 2 ⁠ sobre este parámetro. Para calcular la energía en la caja de esta manera, necesitamos evaluar cuántos estados de fotones hay en un rango de energía dado. Si escribimos el número total de estados de un solo fotón con energías entre ε y ε + dε como g ( ε ) dε , donde g ( ε ) es la densidad de estados (que se evalúa más adelante), entonces la energía total viene dada por

Para calcular la densidad de estados, reescribimos la ecuación ( 2 ) de la siguiente manera:$${\displaystyle \varepsilon \ {=}\ {\frac {hc}{2L}}n,}$$donde n es la norma del vector n = ( n ₁ , n ₂ , n ₃ ) .

Para cada vector n con componentes enteras mayores o iguales a cero, existen dos estados de fotones. Esto significa que el número de estados de fotones en una determinada región del espacio n es el doble del volumen de dicha región. Un rango de energía dε corresponde a una capa de espesor dn = 2 L / hc d ε en el espacio n . Dado que las componentes de n deben ser positivas, esta capa abarca un octante de una esfera. El número de estados de fotones g ( ε ) dε , en un rango de energía dε , viene dado por:$${\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .}$$Al sustituir esto en la ecuación ( 3 ) y dividir por el volumen V = L3 ^, se obtiene la densidad de energía total.$${\displaystyle {\frac {U}{V}}=\int _{0}^{\infty }u_{\nu }(T)\,d\nu ,}$$donde la densidad de energía espectral dependiente de la frecuencia u _ν ( T ) viene dada por$${\displaystyle u_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}.}$$Dado que la radiación es la misma en todas las direcciones y se propaga a la velocidad de la luz, la radiancia espectral de la radiación que sale del pequeño orificio es$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {u_{\nu }(T)c}{4\pi }},}$$lo que da lugar a la ley de Planck.$${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}}.}$$Se pueden obtener otras formas de la ley mediante un cambio de variables en la integral de energía total. La derivación anterior se basa en Brehm y Mullin (1989) .

Para el caso no degenerado, los coeficientes A y B pueden calcularse utilizando la aproximación dipolar en la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo en mecánica cuántica. El cálculo de A también requiere la segunda cuantización, ya que la teoría semiclasica no puede explicar la emisión espontánea, que no tiende a cero cuando el campo perturbador tiende a cero. Por lo tanto, las tasas de transición calculadas son (en unidades del SI): ^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]}

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{s.emi}={\frac {\omega _{if}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=A_{if}}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{abs}={\frac {u(\omega _{fi})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{abs}u(\omega _{fi})}$

${\displaystyle w_{i\rightarrow f}^{emi}={\frac {u(\omega _{if})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{emi}u(\omega _{if})}$

Nótese que la fórmula de la tasa de transición depende del operador del momento dipolar. Para aproximaciones de orden superior, involucra el momento cuadrupolar y otros términos similares. Por lo tanto, los coeficientes A y B (que corresponden a la distribución de energía de frecuencia angular) son:

${\displaystyle A_{ab}={\frac {\omega _{ab}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

${\displaystyle B_{ab}={\frac {\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$

dónde${\displaystyle \omega _{ab}={\frac {E_{a}-E_{b}}{\hbar }}}$y los coeficientes A y B satisfacen las razones dadas para el caso no degenerado:

${\displaystyle {\frac {B_{12}}{B_{21}}}=1}$y ${\displaystyle {\frac {A_{if}}{B}}={\frac {\omega _{if}^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}}$.

Otra relación útil proviene de la distribución de Maxwell-Boltzmann, que dice que el número de partículas en un nivel de energía${\displaystyle E}$es proporcional al exponente${\displaystyle \beta E}$Matemáticamente:

${\displaystyle {\frac {N_{a}}{N_{b}}}={\frac {e^{-E_{a}\beta }}{e^{-E_{b}\beta }}}=e^{\omega _{ba}\hbar \beta }}$

dónde${\displaystyle N_{a}}$y${\displaystyle N_{b}}$son el número de niveles de energía ocupados de${\displaystyle E_{a}}$y${\displaystyle E_{b}}$respectivamente, donde${\displaystyle E_{b}>E_{a}}$. Luego, usando:${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=-A_{ba}N_{b}-N_{b}u(\omega _{ba})B_{ba}+N_{a}u(\omega _{ba})B_{ab}=-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{s.emi}-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{emi}+N_{a}w_{a\rightarrow b}^{abs}}$

Resolver para${\displaystyle u}$para la condición de equilibrio${\displaystyle {\frac {dN_{b}}{dt}}=0}$y utilizando las proporciones derivadas, obtenemos la Ley de Planck:

${\displaystyle u_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\omega \hbar \beta }-1}}}$.

En 1858, Balfour Stewart describió sus experimentos sobre los poderes de emisión y absorción térmica radiativa de placas pulidas de diversas sustancias, comparándolos con los de superficies de negro de humo a la misma temperatura. ^{[ 10 ]} Stewart eligió las superficies de negro de humo como referencia debido a diversos hallazgos experimentales previos, especialmente los de Pierre Prevost y John Leslie . Escribió: «El negro de humo, que absorbe todos los rayos que inciden sobre él y, por lo tanto, posee el mayor poder de absorción posible, también poseerá el mayor poder de radiación posible».

Stewart midió la potencia radiada con una termopila y un galvanómetro sensible, cuya lectura se realizó con un microscopio. Su interés se centraba en la radiación térmica selectiva, la cual investigó con placas de sustancias que irradiaban y absorbían selectivamente diferentes calidades de radiación, en lugar de hacerlo de forma máxima para todas ellas. Describió los experimentos en términos de rayos que podían reflejarse y refractarse, y que obedecían al principio de reciprocidad de Helmholtz (aunque no utilizó un epónimo para ello). En este artículo no mencionó que las calidades de los rayos pudieran describirse mediante sus longitudes de onda, ni empleó aparatos de resolución espectral como prismas o redes de difracción. Su trabajo fue cuantitativo dentro de estas limitaciones. Realizó sus mediciones a temperatura ambiente y con rapidez para capturar las muestras en un estado cercano al equilibrio térmico, en el que se habían preparado calentándolas hasta alcanzar el equilibrio con agua hirviendo. Sus mediciones confirmaron que las sustancias que emiten y absorben selectivamente respetan el principio de igualdad selectiva de emisión y absorción en el equilibrio térmico.

Stewart ofreció una prueba teórica de que esto debería ser así por separado para cada cualidad seleccionada de radiación térmica, pero sus matemáticas no eran rigurosamente válidas. Según el historiador DM Siegel: «No era un practicante de las técnicas más sofisticadas de la física matemática del siglo XIX; ni siquiera utilizó la notación funcional al tratar con distribuciones espectrales». ^{[ 48 ]} No mencionó la termodinámica en este artículo, aunque sí se refirió a la conservación de vis viva . Propuso que sus mediciones implicaban que la radiación era absorbida y emitida por partículas de materia a lo largo de las profundidades del medio en el que se propagaba. Aplicó el principio de reciprocidad de Helmholtz para explicar los procesos de la interfaz material como distintos de los procesos en el material interior. Concluyó que sus experimentos mostraban que, en el interior de un recinto en equilibrio térmico, el calor radiante, reflejado y emitido combinado, que salía de cualquier parte de la superficie, independientemente de su sustancia, era el mismo que habría salido de esa misma porción de la superficie si hubiera estado compuesta de negro de humo. No mencionó la posibilidad de paredes idealmente perfectamente reflectantes; en particular, señaló que los metales físicos reales altamente pulidos absorben muy poca luz.

En 1859, sin conocer el trabajo de Stewart, Gustav Robert Kirchhoff informó sobre la coincidencia de las longitudes de onda de las líneas de absorción y emisión de luz visible resueltas espectralmente. Algo importante para la física térmica fue que también observó que las líneas brillantes u oscuras se manifestaban dependiendo de la diferencia de temperatura entre el emisor y el absorbedor. ^{[ 49 ]}

A continuación , Kirchhoff consideró cuerpos que emiten y absorben radiación térmica, en un recinto o cavidad opaca, en equilibrio a temperatura T.

Aquí se utiliza una notación diferente a la de Kirchhoff. En este caso, la potencia de emisión E ( T , i ) denota una magnitud dimensional, la radiación total emitida por un cuerpo etiquetado con el índice i a la temperatura T . La relación de absorción total a ( T , i ) de ese cuerpo es adimensional, la relación entre la radiación absorbida y la incidente en la cavidad a la temperatura T . (A diferencia de Balfour Stewart, la definición de Kirchhoff de su relación de absorción no se refería en particular a una superficie de negro de humo como fuente de la radiación incidente). Por lo tanto, la relación E ( T , i ) / a ( T , i ) de potencia de emisión a relación de absorción es una magnitud dimensional, con las dimensiones de la potencia de emisión, porque a ( T , i ) es adimensional. Aquí también la potencia de emisión específica de la longitud de onda del cuerpo a temperatura T se denota por E ( λ , T , i ) y la relación de absorción específica de la longitud de onda por a ( λ , T , i ) . Nuevamente, la relación ⁠ E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) ⁠ de potencia de emisión a relación de absorción es una cantidad dimensional, con las dimensiones de la potencia de emisión.

En un segundo informe realizado en 1859, Kirchhoff anunció un nuevo principio general o ley para el cual ofreció una prueba teórica y matemática, aunque no ofreció mediciones cuantitativas de potencias de radiación. ^{[ 50 ]} Su prueba teórica fue y sigue siendo considerada por algunos autores como inválida. ^{[ 48 ] [ 51 ]} Sin embargo, su principio ha perdurado: era que para rayos de calor de la misma longitud de onda, en equilibrio a una temperatura dada, la relación específica de la longitud de onda entre la potencia de emisión y la relación de absorción tiene un mismo valor común para todos los cuerpos que emiten y absorben en esa longitud de onda. En símbolos, la ley establecía que la relación específica de la longitud de onda ⁠ E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) ⁠ tiene un mismo valor para todos los cuerpos, es decir, para todos los valores del índice i . En este informe no se mencionaban los cuerpos negros.

En 1860, sin conocer aún las mediciones de Stewart para determinadas calidades de radiación, Kirchhoff señaló que se había establecido experimentalmente desde hacía tiempo que, para la radiación térmica total, de calidad no seleccionada, emitida y absorbida por un cuerpo en equilibrio, la relación de radiación total dimensionada ⁠ E ( T , i ) / a ( T , i ) ⁠ , tiene un único valor común a todos los cuerpos, es decir, para cada valor del índice material i . ^{[ 52 ]} De nuevo sin mediciones de potencias radiativas ni otros nuevos datos experimentales, Kirchhoff ofreció entonces una nueva prueba teórica de su nuevo principio de la universalidad del valor de la relación específica de longitud de onda ⁠ E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) ⁠ en equilibrio térmico. Su nueva prueba teórica fue y sigue siendo considerada por algunos autores como inválida. ^{[ 48 ] [ 51 ]}

Pero, más importante aún, se basaba en un nuevo postulado teórico de "cuerpos perfectamente negros" , razón por la cual se habla de la ley de Kirchhoff. Dichos cuerpos negros mostraban una absorción completa en su superficie más superficial, infinitamente delgada. Corresponden a los cuerpos de referencia de Balfour Stewart, con radiación interna, recubiertos de negro de humo. No eran los cuerpos perfectamente negros más realistas que Planck consideró posteriormente. Los cuerpos negros de Planck irradiaban y absorbían únicamente por el material de su interior; sus interfaces con los medios contiguos eran solo superficies matemáticas, incapaces de absorber o emitir, sino únicamente de reflejar y transmitir por refracción. ^{[ 53 ]}

La demostración de Kirchhoff consideró un cuerpo no ideal arbitrario, denominado i, así como varios cuerpos negros perfectos, denominados BB. Requirió que los cuerpos se mantuvieran en una cavidad en equilibrio térmico a temperatura T. Su demostración pretendía mostrar que la relación E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) era independiente de la naturaleza i del cuerpo no ideal, por muy transparente o reflectante que fuera.

Su demostración argumentó primero que para una longitud de onda λ y a una temperatura T , en equilibrio térmico, todos los cuerpos perfectamente negros del mismo tamaño y forma tienen el mismo valor común de potencia emisiva E ( λ , T , BB) , con las dimensiones de potencia. Su demostración señaló que la relación de absorción específica de longitud de onda adimensional a ( λ , T , BB) de un cuerpo perfectamente negro es, por definición, exactamente 1. Entonces, para un cuerpo perfectamente negro, la relación específica de longitud de onda de potencia emisiva a relación de absorción ⁠ E ( λ , T , BB) / a ( λ , T , BB) ⁠ es nuevamente solo E ( λ , T , BB) , con las dimensiones de potencia. Kirchhoff consideró, sucesivamente, el equilibrio térmico con un cuerpo no ideal arbitrario y con un cuerpo perfectamente negro del mismo tamaño y forma, en su cavidad en equilibrio a temperatura T . Argumentó que los flujos de radiación de calor deben ser los mismos en cada caso. Así, argumentó que en equilibrio térmico la relación ⁠ E ( λ , T , i ) / a ( λ , T , i ) ⁠ era igual a E ( λ , T , BB) , que ahora puede denotarse como B _λ ( λ , T ) , una función continua, que depende solo de λ a temperatura T fija , y una función creciente de T a longitud de onda λ fija , que a bajas temperaturas se anula para longitudes de onda visibles pero no para longitudes de onda más largas, con valores positivos para longitudes de onda visibles a temperaturas más altas, y que no depende de la naturaleza i del cuerpo no ideal arbitrario. (Los factores geométricos, considerados en detalle por Kirchhoff, se han omitido en lo anterior).

Así, la ley de radiación térmica de Kirchhoff puede enunciarse de la siguiente manera: Para cualquier material que irradie y absorba en equilibrio termodinámico a una temperatura T dada , para cada longitud de onda λ , la relación entre la potencia emisiva y la absorbancia tiene un valor universal, característico de un cuerpo negro perfecto, y es una potencia emisiva que aquí representamos por B _λ ( λ , T ) . (Para nuestra notación B _λ ( λ , T ) , la notación original de Kirchhoff era simplemente e .) ^{[ 7 ] [ 52 ] [ 54 ] [ 55 ] [ 56 ] [ 57 ]}

Kirchhoff anunció que la determinación de la función B _λ ( λ , T ) era un problema de suma importancia, aunque reconoció que habría dificultades experimentales que superar. Supuso que, como otras funciones que no dependen de las propiedades de los cuerpos individuales, sería una función simple. Esa función B _λ ( λ , T ) ha sido llamada ocasionalmente «función de Kirchhoff (emisión, universal)», ^{[ 58 ] [ 59 ] [ 60 ] [ 61 ]} aunque su forma matemática precisa no se conocería hasta cuarenta años después, cuando fue descubierta por Planck en 1900. La demostración teórica del principio de universalidad de Kirchhoff fue trabajada y debatida por varios físicos durante ese mismo tiempo y posteriormente. ^{[ 51 ]} Kirchhoff afirmó más tarde en 1860 que su demostración teórica era mejor que la de Balfour Stewart, y en algunos aspectos así era. ^{[ 48 ]} El artículo de Kirchhoff de 1860 no mencionaba la segunda ley de la termodinámica, y por supuesto no mencionaba el concepto de entropía, que en aquel entonces no se había establecido. En un análisis más detallado publicado en un libro en 1862, Kirchhoff mencionó la conexión de su ley con el "principio de Carnot", que es una forma de la segunda ley. ^{[ 62 ]}

Según Helge Kragh, "la teoría cuántica debe su origen al estudio de la radiación térmica, en particular a la radiación de "cuerpo negro" que Robert Kirchhoff definió por primera vez en 1859-1860". ^{[ 63 ]}

En 1860, Kirchhoff predijo dificultades experimentales para la determinación empírica de la función que describía la dependencia del espectro del cuerpo negro únicamente en función de la temperatura y la longitud de onda. Y así fue. Fueron necesarios unos cuarenta años de desarrollo de métodos mejorados de medición de la radiación electromagnética para obtener un resultado fiable. ^{[ 64 ]}

En 1865, John Tyndall describió la radiación de filamentos calentados eléctricamente y de arcos de carbono como visible e invisible. ^{[ 65 ]} Tyndall descompuso espectralmente la radiación utilizando un prisma de sal gema, que transmitía tanto calor como rayos visibles, y midió la intensidad de la radiación mediante una termopila. ^{[ 66 ] [ 67 ]}

En 1880, André-Prosper-Paul Crova publicó un diagrama de la apariencia tridimensional de la gráfica de la intensidad de la radiación térmica en función de la longitud de onda y la temperatura. ^{[ 68 ]} Determinó la variable espectral mediante el uso de prismas. Analizó la superficie a través de lo que denominó curvas "isotérmicas", secciones para una sola temperatura, con una variable espectral en el eje de abscisas y una variable de potencia en el eje de ordenadas. Trazó curvas suaves a través de sus puntos de datos experimentales. Estas curvas tenían un pico en un valor espectral característico de la temperatura y descendían a ambos lados del mismo hacia el eje horizontal. ^{[ 69 ] [ 70 ]} Dichas secciones espectrales se muestran ampliamente incluso hoy en día.

En una serie de artículos publicados entre 1881 y 1886, Langley informó sobre mediciones del espectro de la radiación térmica, utilizando rejillas de difracción y prismas, así como los detectores más sensibles que pudo fabricar. Informó que existía un pico de intensidad que aumentaba con la temperatura, que la forma del espectro no era simétrica respecto al pico, que se producía una fuerte disminución de la intensidad cuando la longitud de onda era menor que un valor de corte aproximado para cada temperatura, que la longitud de onda de corte aproximada disminuía al aumentar la temperatura, y que la longitud de onda de la intensidad máxima disminuía con la temperatura, de modo que la intensidad aumentaba considerablemente con la temperatura para longitudes de onda cortas que eran mayores que el valor de corte aproximado para la temperatura. ^{[ 71 ]}

Tras leer a Langley, en 1888, el físico ruso V. A. Michelson publicó una reflexión sobre la idea de que la desconocida función de radiación de Kirchhoff podría explicarse físicamente y expresarse matemáticamente en términos de "irregularidad completa de las vibraciones de los átomos". ^{[ 72 ] [ 73 ]} En ese momento, Planck no estudiaba la radiación en profundidad y no creía ni en los átomos ni en la física estadística. ^{[ 74 ]} Michelson elaboró ​​una fórmula para el espectro de temperatura: $${\displaystyle I_{\lambda }=B_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6},}$$ donde I _λ denota la intensidad radiativa específica en la longitud de onda λ y la temperatura θ , y donde B ₁ y c son constantes empíricas.

En 1898, Otto Lummer y Ferdinand Kurlbaum publicaron una descripción de su fuente de radiación de cavidad. ^{[ 75 ]} Su diseño se ha utilizado prácticamente sin cambios para mediciones de radiación hasta la actualidad. Era una caja de platino, dividida por diafragmas, con su interior ennegrecido con óxido de hierro. Fue un componente importante para las mediciones progresivamente mejoradas que llevaron al descubrimiento de la ley de Planck. ^{[ 76 ]} Una versión descrita en 1901 tenía su interior ennegrecido con una mezcla de óxidos de cromo, níquel y cobalto. ^{[ 77 ]}

La importancia de la fuente de radiación de cavidad de Lummer y Kurlbaum radicaba en que era una fuente de radiación de cuerpo negro experimentalmente accesible, a diferencia de la radiación de un cuerpo sólido incandescente simplemente expuesto, que había sido la aproximación experimental más cercana disponible a la radiación de cuerpo negro en un rango de temperaturas adecuado. Los cuerpos sólidos incandescentes simplemente expuestos, que se habían utilizado anteriormente, emitían radiación con desviaciones del espectro de cuerpo negro que hacían imposible encontrar el verdadero espectro de cuerpo negro a partir de experimentos. ^{[ 78 ] [ 79 ]}

Planck centró su atención por primera vez en el problema de la radiación de cuerpo negro en 1897. ^{[ 80 ]} El progreso teórico y empírico permitió a Lummer y Pringsheim escribir en 1899 que la evidencia experimental disponible era aproximadamente consistente con la ley de intensidad específica Cλ ⁻⁵ e ^{− c ⁄ λT} donde C y c denotan constantes empíricamente medibles, y donde λ y T denotan la longitud de onda y la temperatura respectivamente. ^{[ 81 ] [ 82 ]} Por razones teóricas, Planck aceptó en ese momento esta formulación, que tiene un corte efectivo de longitudes de onda cortas. ^{[ 83 ] [ 84 ] [ 85 ]}

Gustav Kirchhoff fue el maestro de Max Planck y supuso que existía una ley universal para la radiación del cuerpo negro, lo que se denominó el "desafío de Kirchhoff". ^{[ 86 ]} Planck, un teórico, creía que Wilhelm Wien había descubierto esta ley y amplió el trabajo de Wien presentándolo en 1899 en la reunión de la Sociedad Alemana de Física. Los experimentalistas Otto Lummer , Ferdinand Kurlbaum , Ernst Pringsheim Sr. y Heinrich Rubens realizaron experimentos que parecían respaldar la ley de Wien, especialmente a frecuencias más altas, es decir, longitudes de onda cortas, lo que Planck apoyó tan plenamente en la Sociedad Alemana de Física que comenzó a llamarse Ley de Wien-Planck. ^{[ 87 ]} Sin embargo, en septiembre de 1900, los experimentalistas habían demostrado sin lugar a dudas que la Ley de Wien-Planck fallaba en las longitudes de onda más largas. Presentarían sus datos el 19 de octubre. Planck fue informado por su amigo Rubens y rápidamente creó una fórmula en pocos días. ^{[ 88 ]} En junio de ese mismo año, Lord Rayleigh había creado una fórmula que funcionaría para frecuencias más bajas basada en la teoría de equipartición ampliamente aceptada . ^{[ 89 ]} Entonces Planck presentó una fórmula que combinaba tanto la Ley de Rayleigh (o una teoría de equipartición similar) como la Ley de Wien que se ponderaría a una u otra ley dependiendo de la longitud de onda para coincidir con los datos experimentales. Sin embargo, aunque esta ecuación funcionaba, el propio Planck dijo que a menos que pudiera explicar la fórmula derivada de una "intuición afortunada" como una de "verdadero significado" en física, no tenía verdadera importancia. ^{[ 90 ]} Planck explicó que después siguió el trabajo más difícil de su vida. Planck no creía en los átomos, ni pensaba que la segunda ley de la termodinámica debiera ser estadística porque la probabilidad no proporciona una respuesta absoluta, y la ley de entropía de Boltzmann se basaba en la hipótesis de los átomos y era estadística. Pero Planck no pudo encontrar la manera de conciliar su ecuación del cuerpo negro con leyes continuas como las ecuaciones de onda de Maxwell. Así que, en lo que Planck denominó "un acto de desesperación" ^{[ 91 ]} , recurrió a la ley atómica de la entropía de Boltzmann, ya que era la única que hacía que su ecuación funcionara. Por lo tanto, utilizó la constante de Boltzmann k y su nueva constante auxiliar h para explicar la ley de radiación del cuerpo negro, que posteriormente se hizo ampliamente conocida gracias a su artículo publicado. ^{[ 92 ] [ 93 ]}

Max Planck formuló su ley el 19 de octubre de 1900 ^{[ 94 ] [ 95 ]} como una mejora de la aproximación de Wien , publicada en 1896 por Wilhelm Wien , que se ajustaba a los datos experimentales en longitudes de onda cortas (altas frecuencias) pero se desviaba de ella en longitudes de onda largas (bajas frecuencias). ^{[ 41 ]} En junio de 1900, basándose en consideraciones teóricas heurísticas , Rayleigh había sugerido una fórmula ^{[ 96 ]} que propuso que podría verificarse experimentalmente. La sugerencia fue que la función universal de Stewart-Kirchhoff podría ser de la forma c ₁ Tλ ⁻⁴ exp(– ⁠ c ₂ / λT ⁠ ) . Esta no era la célebre fórmula de Rayleigh-Jeans 8π k _B Tλ ⁻⁴ , que no surgió hasta 1905, ^{[ 38 ]} aunque se redujo a esta última para longitudes de onda largas, que son las relevantes aquí. Según Klein, ^{[ 80 ]} se puede especular que es probable que Planck hubiera visto esta sugerencia, aunque no la mencionó en sus trabajos de 1900 y 1901. Planck habría estado al tanto de varias otras fórmulas propuestas que se habían ofrecido. ^{[ 64 ] [ 97 ]} El 7 de octubre de 1900, Rubens le dijo a Planck que en el dominio complementario (longitud de onda larga, frecuencia baja), y solo allí, la fórmula de Rayleigh de 1900 se ajustaba bien a los datos observados. ^{[ 97 ]}

Para longitudes de onda largas, la fórmula heurística de Rayleigh de 1900 aproximadamente significaba que la energía era proporcional a la temperatura, U _λ = const. T . ^{[ 80 ] [ 97 ] [ 98 ]} Se sabe que ⁠ dS / dU _λ ⁠ = ⁠ 1 / T ⁠ y esto lleva a ⁠ dS / dU _λ ⁠ = ⁠ const. / U _λ ⁠ y de ahí a ⁠ d ² S / dU _λ ² ⁠ = − ⁠ const. / U _λ ² ⁠ para longitudes de onda largas. Pero para longitudes de onda cortas, la fórmula de Wien lleva a ⁠ 1 / T ⁠ = − const. ln U _λ + const. y de ahí a ⁠ d ² S / dU _λ ² ⁠ = − ⁠ const. / U _λ ⁠ para longitudes de onda cortas. Planck combinó estas dos fórmulas heurísticas, para longitudes de onda largas y cortas, ^{[ 97 ] [ 99 ]} para producir una fórmula ^{[ 94 ]}$${\displaystyle {\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}.}$$

Esto llevó a Planck a la fórmula. $${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},}$$ donde Planck utilizó los símbolos C y c para denotar constantes de ajuste empíricas.

Planck envió este resultado a Rubens, quien lo comparó con sus datos de observación y los de Kurlbaum y descubrió que se ajustaba notablemente bien a todas las longitudes de onda. El 19 de octubre de 1900, Rubens y Kurlbaum informaron brevemente sobre el ajuste a los datos, ^{[ 100 ]} y Planck añadió una breve presentación para dar un esbozo teórico que explicara su fórmula. ^{[ 94 ]} En el plazo de una semana, Rubens y Kurlbaum presentaron un informe más completo de sus mediciones, confirmando la ley de Planck. Su técnica para la resolución espectral de la radiación de longitud de onda más larga se denominó método de rayos residuales. Los rayos se reflejaban repetidamente en superficies de cristales pulidos, y los rayos que completaban el proceso eran «residuales», y tenían longitudes de onda reflejadas preferentemente por cristales de materiales específicos adecuados. ^{[ 101 ] [ 102 ] [ 103 ]}

Una vez que Planck descubrió la función que se ajustaba empíricamente, construyó una derivación física de esta ley. Su pensamiento giraba en torno a la entropía en lugar de estar directamente relacionado con la temperatura. Planck consideró una cavidad con paredes perfectamente reflectantes; dentro de la cavidad, hay un número finito de cuerpos oscilatorios resonantes distintos pero constituidos idénticamente de magnitud definida, con varios de estos osciladores en cada una de las frecuencias características finitas. Estos osciladores hipotéticos eran para Planck sondas de investigación teóricas puramente imaginarias, y dijo de ellos que tales osciladores no necesitan "existir realmente en algún lugar de la naturaleza, siempre que su existencia y sus propiedades sean consistentes con las leyes de la termodinámica y la electrodinámica". ^{[ 104 ]} Planck no atribuyó ningún significado físico definido a su hipótesis de osciladores resonantes, sino que la propuso como un dispositivo matemático que le permitió derivar una única expresión para el espectro del cuerpo negro que coincidía con los datos empíricos en todas las longitudes de onda. ^{[ 105 ]} Mencionó tentativamente la posible conexión de tales osciladores con los átomos . En cierto sentido, los osciladores correspondían a la partícula de carbono de Planck; el tamaño de la partícula podía ser pequeño independientemente del tamaño de la cavidad, siempre que la partícula transdujera eficazmente energía entre modos de longitud de onda radiativa. ^{[ 97 ]}

Siguiendo en parte un método heurístico de cálculo desarrollado por Boltzmann para moléculas de gas, Planck consideró las posibles formas de distribuir la energía electromagnética en los diferentes modos de sus hipotéticos osciladores de material cargado. Esta aceptación del enfoque probabilístico, siguiendo a Boltzmann, representó para Planck un cambio radical respecto a su postura anterior, que hasta entonces se había opuesto deliberadamente a este tipo de pensamiento propuesto por Boltzmann. ^{[ 106 ]} En palabras de Planck: «Consideré la [hipótesis cuántica] una suposición puramente formal, y no le dediqué mucha reflexión, salvo por esto: que había obtenido un resultado positivo en cualquier circunstancia y a cualquier precio». ^{[ 107 ]} Heurísticamente, Boltzmann había distribuido la energía en cuantos arbitrarios meramente matemáticos ϵ , que había hecho tender a cero en magnitud, porque la magnitud finita ϵ solo servía para permitir un conteo definido en aras del cálculo matemático de probabilidades, y no tenía significado físico. Refiriéndose a una nueva constante universal de la naturaleza, h , ^{[ 108 ]} Planck supuso que, en los diversos osciladores de cada una de las frecuencias características finitas, la energía total se distribuía a cada uno en un múltiplo entero de una unidad física definida de energía, ϵ , característica de la frecuencia característica respectiva. ^{[ 95 ] [ 109 ] [ 110 ] [ 111 ]} Su nueva constante universal de la naturaleza, h , ahora se conoce como la constante de Planck .

Planck explicó además ^{[ 95 ]} que la unidad definida respectiva, ϵ , de energía debería ser proporcional a la frecuencia de oscilación característica respectiva ν del oscilador hipotético, y en 1901 expresó esto con la constante de proporcionalidad h : ^{[ 112 ] [ 113 ]}$${\displaystyle \epsilon =h\nu .}$$

Planck no propuso que la luz que se propaga en el espacio libre esté cuantizada. ^{[ 114 ] [ 115 ] [ 116 ]} La idea de la cuantización del campo electromagnético libre se desarrolló más tarde y finalmente se incorporó a lo que ahora conocemos como teoría cuántica de campos . ^{[ 117 ]}

En 1906, Planck reconoció que sus resonadores imaginarios, con dinámica lineal, no proporcionaban una explicación física para la transducción de energía entre frecuencias. ^{[ 118 ] [ 119 ]} La física actual explica la transducción entre frecuencias en presencia de átomos mediante su excitabilidad cuántica, siguiendo a Einstein. Planck creía que en una cavidad con paredes perfectamente reflectantes y sin materia presente, el campo electromagnético no puede intercambiar energía entre componentes de frecuencia. ^{[ 120 ]} Esto se debe a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell . ^{[ 121 ]} La teoría cuántica de campos actual predice que, en ausencia de materia, el campo electromagnético obedece ecuaciones no lineales y, en ese sentido, sí interactúa consigo mismo. ^{[ 122 ] [ 123 ]} Dicha interacción en ausencia de materia aún no se ha medido directamente porque requeriría intensidades muy altas y detectores muy sensibles y de bajo ruido, que todavía están en proceso de construcción. ^{[ 122 ] [ 124 ]} Planck creía que un campo sin interacciones ni obedece ni viola el principio clásico de equipartición de la energía, ^{[ 125 ] [ 126 ]} y en cambio permanece exactamente como estaba cuando se introdujo, en lugar de evolucionar hacia un campo de cuerpo negro. ^{[ 127 ]} Por lo tanto, la linealidad de sus supuestos mecánicos impidió que Planck tuviera una explicación mecánica de la maximización de la entropía del campo de radiación térmica de equilibrio termodinámico. Por eso tuvo que recurrir a los argumentos probabilísticos de Boltzmann. ^{[ 128 ] [ 129 ]}

La ley de Planck puede considerarse como el cumplimiento de la predicción de Gustav Kirchhoff de que su ley de radiación térmica era de suma importancia. En su presentación madura de su propia ley, Planck ofreció una demostración teórica exhaustiva y detallada de la ley de Kirchhoff, ^{[ 130 ]} cuya demostración teórica hasta entonces había sido objeto de debate en ocasiones, en parte porque se decía que se basaba en objetos teóricos no físicos, como la superficie negra infinitamente delgada y perfectamente absorbente de Kirchhoff. ^{[ 131 ]}

No fue hasta cinco años después de que Planck hiciera su suposición heurística de elementos abstractos de energía o de acción que Albert Einstein concibió los cuantos de luz realmente existentes en 1905 ^{[ 132 ]} como una explicación revolucionaria de la radiación del cuerpo negro, de la fotoluminiscencia, del efecto fotoeléctrico y de la ionización de gases por luz ultravioleta. En 1905, "Einstein creía que la teoría de Planck no podía ser compatible con la idea de los cuantos de luz, un error que corrigió en 1906." ^{[ 133 ]} Contrariamente a las creencias de Planck de la época, Einstein propuso un modelo y una fórmula en los que la luz era emitida, absorbida y propagada en el espacio libre en cuantos de energía localizados en puntos del espacio. ^{[ 132 ]} Como introducción a su razonamiento, Einstein recapituló el modelo de Planck de osciladores eléctricos de material resonante hipotéticos como fuentes y sumideros de radiación, pero luego ofreció un nuevo argumento, desconectado de ese modelo, pero parcialmente basado en un argumento termodinámico de Wien, en el que la fórmula de Planck ϵ = hν no desempeñaba ningún papel. ^{[ 134 ]} Einstein dio el contenido energético de tales cuantos en la forma ⁠ Rβν / N ⁠ . Así, Einstein estaba contradiciendo la teoría ondulatoria de la luz sostenida por Planck. En 1910, criticando un manuscrito que le envió Planck, sabiendo que Planck era un firme defensor de la teoría de la relatividad especial de Einstein, Einstein le escribió a Planck: «Para mí parece absurdo tener energía distribuida continuamente en el espacio sin asumir un éter». ^{[ 135 ]}

Según Thomas Kuhn , no fue hasta 1908 que Planck aceptó más o menos parte de los argumentos de Einstein sobre la discreción física, distinta de la abstracta matemática, en la física de la radiación térmica. Aun así, en 1908, al considerar la propuesta de Einstein sobre la propagación cuántica, Planck opinó que tal paso revolucionario era quizás innecesario. ^{[ 136 ]} Hasta entonces, Planck había sido coherente al pensar que la discreción de los cuantos de acción no se encontraba ni en sus osciladores resonantes ni en la propagación de la radiación térmica. Kuhn escribió que, en los trabajos anteriores de Planck y en su monografía de 1906, ^{[ 137 ]} no hay "mención de discontinuidad, [ni] de hablar de una restricción en la energía del oscilador, [ni] de ninguna fórmula como U = nhν ". Kuhn señaló que su estudio de los trabajos de Planck de 1900 y 1901, y de su monografía de 1906, ^{[ 137 ]} lo había llevado a conclusiones «heréticas», contrarias a las suposiciones generalizadas de otros que veían los escritos de Planck únicamente desde la perspectiva de puntos de vista posteriores y anacrónicos. ^{[ 138 ]} Las conclusiones de Kuhn, que establecen un período hasta 1908 en el que Planck sostuvo consistentemente su «primera teoría», han sido aceptadas por otros historiadores. ^{[ 139 ]}

En la segunda edición de su monografía, en 1912, Planck mantuvo su desacuerdo con la propuesta de Einstein sobre los cuantos de luz. Propuso con cierto detalle que la absorción de luz por sus resonadores de material virtual podría ser continua, ocurriendo a una tasa constante en equilibrio, a diferencia de la absorción cuántica. Solo la emisión era cuántica. ^{[ 121 ] [ 140 ]} Esto se ha denominado en ocasiones la «segunda teoría» de Planck. ^{[ 141 ]}

No fue hasta 1919 que Planck, en la tercera edición de su monografía, aceptó más o menos su "tercera teoría", según la cual tanto la emisión como la absorción de luz eran cuánticas. ^{[ 142 ]}

El colorido término " catástrofe ultravioleta " fue dado por Paul Ehrenfest en 1911 al resultado paradójico de que la energía total en la cavidad tiende al infinito cuando el teorema de equipartición de la mecánica estadística clásica se aplica (erróneamente) a la radiación de cuerpo negro. ^{[ 143 ] [ 144 ]} Pero esto no había sido parte del pensamiento de Planck, porque no había intentado aplicar la doctrina de equipartición: cuando hizo su descubrimiento en 1900, no había notado ningún tipo de "catástrofe". ^{[ 83 ] [ 84 ] [ 85 ] [ 80 ] [ 145 ]} Fue notado por primera vez por Lord Rayleigh en 1900, ^{[ 96 ] [ 146 ] [ 147 ]} y luego en 1901 ^{[ 148 ]} por Sir James Jeans ; y más tarde, en 1905, por Einstein cuando quiso apoyar la idea de que la luz se propaga como paquetes discretos, posteriormente llamados 'fotones', y por Rayleigh ^{[ 39 ]} y por Jeans. ^{[ 38 ] [ 149 ] [ 150 ] [ 151 ]}

En 1913, Bohr dio otra fórmula con un significado físico diferente para la cantidad hν . ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 152 ] [ 153 ] [ 154 ]} A diferencia de las fórmulas de Planck y Einstein, la fórmula de Bohr se refería explícita y categóricamente a los niveles de energía de los átomos. La fórmula de Bohr era W _{τ 2} − W _{τ 1} = hν donde W _{τ 2} y W _{τ 1} denotan los niveles de energía de los estados cuánticos de un átomo, con números cuánticos τ ₂ y τ ₁ . El símbolo ν denota la frecuencia de un cuanto de radiación que puede ser emitido o absorbido cuando el átomo pasa entre esos dos estados cuánticos. A diferencia del modelo de Planck, la frecuencia${\displaystyle \nu }$no tiene relación inmediata con las frecuencias que podrían describir esos estados cuánticos en sí mismos.

Más tarde, en 1924, Satyendra Nath Bose desarrolló la teoría de la mecánica estadística de los fotones, que permitió una derivación teórica de la ley de Planck. ^{[ 155 ]} La palabra "fotón" fue inventada aún más tarde, por GN Lewis en 1926, ^{[ 156 ]} quien creyó erróneamente que los fotones se conservaban, en contra de la estadística de Bose-Einstein; sin embargo, la palabra "fotón" fue adoptada para expresar el postulado de Einstein sobre la naturaleza de paquete de la propagación de la luz. En un campo electromagnético aislado en el vacío en un recipiente con paredes perfectamente reflectantes, como lo consideró Planck, los fotones se conservarían de acuerdo con el modelo de Einstein de 1905, pero Lewis se refería a un campo de fotones considerado como un sistema cerrado con respecto a la materia ponderable pero abierto al intercambio de energía electromagnética con un sistema circundante de materia ponderable, e imaginó erróneamente que los fotones aún se conservaban, estando almacenados dentro de los átomos.

En última instancia, la ley de Planck de la radiación del cuerpo negro contribuyó al concepto de Einstein de cuantos de luz que transportan momento lineal, ^{[ 34 ] [ 132 ]} que se convirtió en la base fundamental para el desarrollo de la mecánica cuántica .

La linealidad antes mencionada de las suposiciones mecánicas de Planck, que no permitía interacciones energéticas entre componentes de frecuencia, fue reemplazada en 1925 por la mecánica cuántica original de Heisenberg. En su artículo presentado el 29 de julio de 1925, la teoría de Heisenberg explicaba la fórmula de Bohr de 1913 antes mencionada. Admitía osciladores no lineales como modelos de estados cuánticos atómicos, permitiendo la interacción energética entre sus múltiples componentes de frecuencia de Fourier discretas internas, en ocasiones de emisión o absorción de cuantos de radiación. La frecuencia de un cuanto de radiación era la de un acoplamiento definido entre estados cuánticos oscilatorios metaestables atómicos internos. ^{[ 157 ] [ 158 ]} En ese momento, Heisenberg no sabía nada de álgebra matricial, pero Max Born leyó el manuscrito del artículo de Heisenberg y reconoció el carácter matricial de la teoría de Heisenberg. Luego, Born y Jordan publicaron una teoría matricial explícita de la mecánica cuántica, basada en, pero en forma claramente diferente de, la mecánica cuántica original de Heisenberg; es la teoría matricial de Born y Jordan la que hoy se llama mecánica matricial. ^{[ 159 ] [ 160 ] [ 161 ]} La explicación de Heisenberg de los osciladores de Planck, como efectos no lineales aparentes como modos de Fourier de procesos transitorios de emisión o absorción de radiación, mostró por qué los osciladores de Planck, vistos como objetos físicos duraderos como podría ser previsto por la física clásica, no dieron una explicación adecuada de los fenómenos.

Hoy en día, como declaración de la energía de un cuanto de luz, a menudo se encuentra la fórmula E = ħω , donde ħ = ⁠ h / 2π ⁠ , y ω = 2π ν denota la frecuencia angular, ^{[ 162 ] [ 163 ] [ 164 ] [ 165 ] [ 166 ]} y con menos frecuencia la fórmula equivalente E = hν . ^{[ 165 ] [ 166 ] [ 167 ] [ 168 ] [ 169 ]} Esta declaración sobre un cuanto de luz que realmente existe y se propaga, basada en la de Einstein, tiene un significado físico diferente al de la declaración anterior de Planck ϵ = hν sobre las unidades de energía abstractas que se distribuirán entre sus hipotéticos osciladores de material resonante.

Un artículo de Helge Kragh publicado en Physics World ofrece un relato de esta historia. ^{[ 111 ]}