Fasor

Multiplicación del fasor${\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}}$por una constante compleja,${\displaystyle Be^{i\phi }}$, produce otro fasor. Eso significa que su único efecto es cambiar la amplitud y la fase de la sinusoide subyacente: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left(\left(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi }\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\left(ABe^{i(\theta +\phi )}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&AB\cos(\omega t+(\theta +\phi )).\end{aligned}}}$$

En electrónica,${\displaystyle Be^{i\phi }}$ would represent an impedance, which is independent of time. In particular it is not the shorthand notation for another phasor. Multiplying a phasor current by an impedance produces a phasor voltage. But the product of two phasors (or squaring a phasor) would represent the product of two sinusoids, which is a non-linear operation that produces new frequency components. Phasor notation can only represent systems with one frequency, such as a linear system stimulated by a sinusoid.

The sum of multiple phasors produces another phasor. That is because the sum of sinusoids with the same frequency is also a sinusoid with that frequency: $${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\right)+\operatorname {Re} \left(A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{3}e^{i\theta _{3}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}}$$ where: $${\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},}$$

and, if we take ${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$, then ${\displaystyle \theta _{3}}$ is:

• ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$ if ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,}$ with ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ the signum function;
• ${\displaystyle \arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$ if ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0}$;
• ${\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$ if ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}<0}$.

or, via the law of cosines on the complex plane (or the trigonometric identity for angle differences): $${\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta )=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),}$$ where ${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.}$

A key point is that A₃ and θ₃ do not depend on ω or t, which is what makes phasor notation possible. The time and frequency dependence can be suppressed and re-inserted into the outcome as long as the only operations used in between are ones that produce another phasor. In angle notation, the operation shown above is written: $${\displaystyle A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.}$$

Another way to view addition is that two vectors with coordinates [A₁ cos(ωt + θ₁), A₁ sin(ωt + θ₁)] and [A₂ cos(ωt + θ₂), A₂ sin(ωt + θ₂)] are added vectorially to produce a resultant vector with coordinates [A₃ cos(ωt + θ₃), A₃ sin(ωt + θ₃)] (see animation).

In physics, this sort of addition occurs when sinusoids interfere with each other, constructively or destructively. The static vector concept provides useful insight into questions like this: "What phase difference would be required between three identical sinusoids for perfect cancellation?" In this case, simply imagine taking three vectors of equal length and placing them head to tail such that the last head matches up with the first tail. Clearly, the shape which satisfies these conditions is an equilateral triangle, so the angle between each phasor to the next is 120° (2π⁄3 radians), or one third of a wavelength λ⁄3. So the phase difference between each wave must also be 120°, as is the case in three-phase power.

In other words, what this shows is that: $${\displaystyle \cos(\omega t)+\cos \left(\omega t+{\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)=0.}$$

In the example of three waves, the phase difference between the first and the last wave was 240°, while for two waves destructive interference happens at 180°. In the limit of many waves, the phasors must form a circle for destructive interference, so that the first phasor is nearly parallel with the last. This means that for many sources, destructive interference happens when the first and last wave differ by 360 degrees, a full wavelength ${\displaystyle \lambda }$. This is why in single slit diffraction, the minima occur when light from the far edge travels a full wavelength further than the light from the near edge.

As the single vector rotates in an anti-clockwise direction, its tip at point A will rotate one complete revolution of 360° or 2π radians representing one complete cycle. If the length of its moving tip is transferred at different angular intervals in time to a graph as shown above, a sinusoidal waveform would be drawn starting at the left with zero time. Each position along the horizontal axis indicates the time that has elapsed since zero time, t = 0. When the vector is horizontal the tip of the vector represents the angles at 0°, 180°, and at 360°.

Likewise, when the tip of the vector is vertical it represents the positive peak value, (+A_max) at 90° or π⁄2 and the negative peak value, (−A_max) at 270° or 3π⁄2. Then the time axis of the waveform represents the angle either in degrees or radians through which the phasor has moved. So we can say that a phasor represents a scaled voltage or current value of a rotating vector which is "frozen" at some point in time, (t) and in our example above, this is at an angle of 30°.

En ocasiones, al analizar formas de onda alternas, es necesario conocer la posición del fasor que representa la magnitud alterna en un instante determinado, especialmente al comparar dos formas de onda diferentes en el mismo eje. Por ejemplo, voltaje y corriente. En la forma de onda anterior, hemos supuesto que comienza en el instante t = 0 con un ángulo de fase correspondiente, expresado en grados o radianes.

Pero si una segunda onda comienza a la izquierda o a la derecha de este punto cero, o si queremos representar en notación fasorial la relación entre ambas ondas, entonces deberemos tener en cuenta esta diferencia de fase, Φ, de la onda. Considere el diagrama que aparece a continuación, del tutorial anterior sobre la diferencia de fase.

La derivada o integral temporal de un fasor produce otro fasor. ^{[ b ]} Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\omega A\cdot \cos \left(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, en la representación fasorial, la derivada temporal de una sinusoide se convierte simplemente en una multiplicación por la constante.${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$.

De manera similar, integrar un fasor corresponde a multiplicar por${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$El factor dependiente del tiempo,${\displaystyle e^{i\omega t},}$no se ve afectado.

Cuando resolvemos una ecuación diferencial lineal con aritmética fasorial, simplemente estamos factorizando.${\displaystyle e^{i\omega t}}$de todos los términos de la ecuación, y reinsértelo en la respuesta. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación diferencial para el voltaje a través del condensador en un circuito RC : $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{\text{C}}(t)={\frac {1}{RC}}v_{\text{S}}(t).}$$

Cuando la fuente de voltaje en este circuito es sinusoidal: $${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=V_{\text{P}}\cdot \cos(\omega t+\theta ),}$$

podemos sustituir${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right),}$$ donde fasor${\displaystyle V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },}$y fasor${\displaystyle V_{\text{c}}}$es la cantidad desconocida que se debe determinar.

En la notación abreviada fasorial, la ecuación diferencial se reduce a: $${\displaystyle i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.}$$

Al despejar la tensión del condensador fasorial se obtiene: $${\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot V_{\text{s}}={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot V_{\text{P}}e^{i\theta }.}$$

Como hemos visto, el factor multiplicador${\displaystyle V_{\text{s}}}$representa diferencias de amplitud y fase de${\displaystyle v_{\text{C}}(t)}$relativo a${\displaystyle V_{\text{P}}}$y${\displaystyle \theta .}$

En forma de coordenadas polares, el primer término de la última expresión es: $${\displaystyle {\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},}$$ dónde${\displaystyle \phi (\omega )=\arctan(\omega RC)}$.

Por lo tanto: $${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{\text{P}}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega )).}$$

Una magnitud llamada impedancia compleja es la relación entre dos fasores, que no es un fasor, porque no corresponde a una función que varía sinusoidalmente.

Con fasores, las técnicas para resolver circuitos de CC se pueden aplicar para resolver circuitos de CA lineales. ^{[ a ]}

Ley de Ohm para resistencias

Una resistencia no tiene retardos de tiempo y, por lo tanto, no cambia la fase de una señal, por lo que V = IR sigue siendo válida.

Ley de Ohm para resistencias, inductores y condensadores

V = IZ donde Z es la impedancia compleja.

Leyes de circuitos de Kirchhoff

Trabaje con voltajes y corrientes como fasores complejos.

En un circuito de CA tenemos potencia real ( P ), que representa la potencia promedio que entra al circuito, y potencia reactiva ( Q ), que indica la potencia que fluye en ambas direcciones. También podemos definir la potencia compleja S = P + jQ y la potencia aparente, que es la magnitud de S. La ley de potencia para un circuito de CA expresada en fasores es entonces S = VI ^* (donde I ^* es el conjugado complejo de I , y las magnitudes de los fasores de voltaje y corriente V y de I son los valores RMS del voltaje y la corriente, respectivamente).

Dado esto, podemos aplicar las técnicas de análisis de circuitos resistivos con fasores para analizar circuitos lineales de CA de frecuencia única que contienen resistencias, condensadores e inductores . Los circuitos lineales de CA de frecuencia múltiple y los circuitos de CA con diferentes formas de onda pueden analizarse para encontrar voltajes y corrientes transformando todas las formas de onda en componentes sinusoidales (usando series de Fourier ) con magnitud y fase, y luego analizando cada frecuencia por separado, como lo permite el teorema de superposición . Este método de solución se aplica solo a entradas sinusoidales y a soluciones en estado estacionario, es decir, después de que todos los transitorios se hayan disipado. ^{[ 16 ]}

Este concepto se utiliza frecuentemente para representar una impedancia eléctrica . En este caso, el ángulo de fase es la diferencia de fase entre la tensión aplicada a la impedancia y la corriente que la atraviesa.

En el análisis de sistemas de potencia de CA trifásica , generalmente se define un conjunto de fasores como las tres raíces cúbicas complejas de la unidad , representadas gráficamente como magnitudes unitarias en ángulos de 0, 120 y 240 grados. Al tratar las magnitudes de los circuitos de CA polifásica como fasores, los circuitos balanceados se pueden simplificar y los circuitos desbalanceados se pueden tratar como una combinación algebraica de componentes simétricas . Este enfoque simplifica enormemente el trabajo requerido en los cálculos eléctricos de caída de tensión, flujo de potencia y corrientes de cortocircuito. En el contexto del análisis de sistemas de potencia, el ángulo de fase se suele dar en grados y la magnitud en valor RMS en lugar de la amplitud pico de la sinusoide.

La técnica de sincrofasores utiliza instrumentos digitales para medir los fasores que representan las tensiones del sistema de transmisión en distintos puntos de la red. Las diferencias entre los fasores indican el flujo de potencia y la estabilidad del sistema.

La imagen del marco giratorio mediante fasores puede ser una herramienta poderosa para comprender modulaciones analógicas como la modulación de amplitud (y sus variantes ^{[ 17 ]} ) y la modulación de frecuencia .

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{0}t}\right),}$$ donde el término entre corchetes se considera un vector giratorio en el plano complejo.

El fasor tiene longitud${\displaystyle A}$, gira en sentido antihorario a una velocidad de${\displaystyle f_{0}}$revoluciones por segundo y en el tiempo${\displaystyle t=0}$hace un ángulo de${\displaystyle \theta }$con respecto al eje real positivo.

La forma de onda${\displaystyle x(t)}$puede entonces verse como una proyección de este vector sobre el eje real. Una forma de onda modulada está representada por este fasor (la portadora) y dos fasores adicionales (los fasores de modulación). Si la señal moduladora es un solo tono de la forma${\displaystyle Am\cos {2\pi f_{m}t}}$, dónde${\displaystyle m}$es la profundidad de modulación y${\displaystyle f_{m}}$es la frecuencia de la señal moduladora, entonces para la modulación de amplitud los dos fasores de modulación vienen dados por:

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}+f_{m})t},}$$$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}-f_{m})t}.}$$

Los dos fasores de modulación están desfasados ​​de tal manera que su suma vectorial siempre está en fase con el fasor portador. Una representación alternativa consiste en dos fasores que giran en sentido contrario alrededor del extremo del fasor portador a una velocidad${\displaystyle f_{m}}$en relación con el fasor portador. Es decir,

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{m}t},}$$$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{-i2\pi f_{m}t}.}$$

La modulación de frecuencia es una representación similar, excepto que los fasores moduladores no están en fase con la portadora. En este caso, la suma vectorial de los fasores moduladores está desplazada 90° con respecto a la fase de la portadora. Estrictamente, la representación de modulación de frecuencia requiere fasores de modulación pequeños adicionales en${\displaystyle 2f_{m},3f_{m}}$etc., pero para la mayoría de los fines prácticos se ignoran porque su efecto es muy pequeño.