juego bayesiano

Un juego bayesiano se define por${\displaystyle (N\!,A,T,u,p)}$, donde consta de los siguientes elementos: ^{[ 5 ]}

Conjunto de jugadores, N

El conjunto de jugadores dentro del juego

Conjuntos de acciones, un _i

El conjunto de acciones disponibles para el jugador i . Un perfil de acción a = ( a ₁ , . . . , a _N ) es una lista de acciones, una para cada jugador.

Conjuntos de tipos, t _i

El conjunto de tipos de jugadores i . Los "tipos" capturan la información privada que un jugador puede tener. Un perfil de tipo t = ( t ₁ , . . . , t _N ) es una lista de tipos, uno para cada jugador.

Funciones de pago, u

Asigne una recompensa a un jugador según su tipo y perfil de acción. Una función de recompensa, u = ( u ₁ , . . . , u _N ) denota las utilidades del jugador i

Anteriormente, p

Una distribución de probabilidad sobre todos los perfiles de tipo posibles, donde p ( t ) = p ( t ₁ , . . . , t _N ) es la probabilidad de que el Jugador 1 tenga el tipo t ₁ y el Jugador N tenga el tipo t _N .

En un juego estratégico, una estrategia pura es la elección de acción de un jugador en cada punto donde debe tomar una decisión. ^{[ 6 ]}

Los juegos bayesianos constan de tres etapas, cada una de las cuales describe el conocimiento que tienen los jugadores sobre los tipos de datos que se presentan en el juego.

1. Juego de fase ex ante. Los jugadores desconocen sus tipos de datos y los de los demás jugadores. Un jugador reconoce las recompensas como valores esperados basados ​​en una distribución previa de todos los tipos posibles.
2. Juego de fase intermedia. Los jugadores conocen su tipo, pero solo una distribución de probabilidad de los demás jugadores. Al considerar las ganancias, un jugador estudia el valor esperado del tipo del otro jugador.
3. Juego de fase ex post. Los jugadores conocen sus tipos y los de los demás jugadores. Los jugadores conocen las recompensas. ^{[ 7 ]}

Hay dos aspectos importantes y novedosos de los juegos bayesianos que fueron especificados por Harsanyi. ^{[ 8 ]} El primero es que los juegos bayesianos deben considerarse y estructurarse de forma idéntica a los juegos de información completa. Sin embargo, al incorporar la probabilidad al juego, el juego final funciona como un juego de información incompleta. Por lo tanto, los jugadores pueden modelarse esencialmente como si tuvieran información incompleta, y el espacio de probabilidad del juego sigue la ley de la probabilidad total . Los juegos bayesianos también son útiles porque no requieren cálculos secuenciales infinitos, lo cual es típico del pensamiento estratégico en juegos repetidos . Los cálculos secuenciales infinitos surgirían cuando los jugadores intentan "meterse en la cabeza del otro". Por ejemplo, uno puede hacer preguntas y decidir: "Si espero cierta acción del jugador B, entonces el jugador B anticipará que yo espero esa acción, así que entonces debería anticipar esa anticipación", ad infinitum . Los juegos bayesianos permiten calcular estos resultados en un solo movimiento asignando diferentes ponderaciones de probabilidad a diferentes resultados simultáneamente. El efecto de esto es que los juegos bayesianos permiten modelar una serie de juegos que, en un entorno no bayesiano, serían irracionales de calcular.

Los juegos de forma extensiva con información perfecta o imperfecta tienen los siguientes elementos: ^{[ 12 ]}

1. Conjunto de jugadores
2. Conjunto de nodos de decisión
3. Una función de jugador que asigna un jugador a cada nodo de decisión.
4. Conjunto de acciones para cada jugador en cada uno de sus nodos de decisión.
5. Conjunto de nodos terminales
6. Una función de recompensa para cada jugador.

Un círculo sin rellenar suele representar el nodo de la naturaleza. Su estrategia siempre está definida y es completamente mixta. Si bien la naturaleza generalmente se encuentra en la raíz del árbol, también puede desplazarse a otros puntos.

El conjunto de información del jugador i es un subconjunto de sus nodos de decisión que no puede distinguir entre sí. Si el jugador i se encuentra en uno de sus nodos de decisión dentro de un conjunto de información, desconoce en qué nodo dentro de dicho conjunto se encuentra.

Para que dos nodos de decisión estén en el mismo conjunto de información , deben ^{[ 13 ]}

1. Pertenecen al mismo jugador; y
2. Tener el mismo conjunto de acciones

Los conjuntos de información se representan mediante líneas punteadas, la notación más común en la actualidad.

En los juegos bayesianos, las creencias de los jugadores sobre el juego se representan mediante una distribución de probabilidad sobre varios tipos.

Si los jugadores no tienen información privada, la distribución de probabilidad sobre los tipos se conoce como una distribución a priori común . ^{[ 1 ]}

Una evaluación de un juego en forma extensiva es un par ⟨ b, μ ⟩

1. Perfil de estrategia de comportamiento ; y
2. Sistema de creencias

Una evaluación ⟨ b, μ ⟩ satisface la regla de Bayes si ^{[ 14 ]} μ ( x | h _i ) = Pr [ x se alcanza dado b _{− i} ] / Σ Pr [ x ′ ​​se alcanza dado b _{− i} ] siempre que h _i se alcance con probabilidad estrictamente positiva según b _{− i} .

Un equilibrio bayesiano perfecto en un juego en forma extensiva es una combinación de estrategias y una especificación de creencias tal que se satisfacen las dos condiciones siguientes: ^{[ 15 ]}

1. Consistencia bayesiana: las creencias son consistentes con las estrategias que se están considerando;
2. Racionalidad secuencial: los jugadores eligen de forma óptima en función de sus creencias.

El equilibrio de Nash bayesiano puede dar lugar a equilibrios inverosímiles en juegos dinámicos, donde los jugadores se mueven secuencialmente en lugar de simultáneamente. Al igual que en los juegos de información completa, estos pueden surgir a través de estrategias poco creíbles que se desvían de la trayectoria de equilibrio. En los juegos de información incompleta, también son posibles las creencias poco creíbles.

Para abordar estos problemas, el equilibrio bayesiano perfecto, según el equilibrio perfecto en subjuegos , requiere que el juego subsiguiente sea óptimo partiendo de cualquier conjunto de información. También requiere que las creencias se actualicen de forma consistente con la regla de Bayes en cada trayectoria de juego que ocurra con una probabilidad positiva.

Los juegos bayesianos estocásticos ^{[ 16 ]} combinan las definiciones de juegos bayesianos y juegos estocásticos para representar estados del entorno (por ejemplo, estados del mundo físico) con transiciones estocásticas entre estados, así como incertidumbre sobre los tipos de diferentes jugadores en cada estado. El modelo resultante se resuelve mediante una combinación recursiva del equilibrio de Nash bayesiano y la ecuación de optimalidad de Bellman . Los juegos bayesianos estocásticos se han utilizado para abordar diversos problemas, incluyendo la planificación de defensa y seguridad, ^{[ 17 ]} la ciberseguridad de centrales eléctricas, ^{[ 18 ]} la conducción autónoma, ^{[ 19 ]} la computación de borde móvil, ^{[ 20 ]} la autoestabilización en sistemas dinámicos, ^{[ 21 ]} y el tratamiento de comportamientos indebidos en el IoT de crowdsourcing . ^{[ 22 ]}

La definición de juegos bayesianos y equilibrio bayesiano se ha extendido para abordar la agencia colectiva . Un enfoque consiste en seguir considerando a los jugadores individuales como si razonaran de forma aislada, pero permitiéndoles, con cierta probabilidad, razonar desde la perspectiva de un colectivo. ^{[ 23 ]} Otro enfoque consiste en suponer que los jugadores dentro de cualquier agente colectivo saben que el agente existe, pero que los demás jugadores lo desconocen, aunque lo sospechen con cierta probabilidad. ^{[ 24 ]} Por ejemplo, Alice y Bob pueden optimizar a veces individualmente y a veces coludir como equipo, dependiendo del estado de la naturaleza, pero los demás jugadores pueden desconocer cuál de estos casos se da.

Un sheriff se enfrenta a un sospechoso armado. Ambos deben decidir simultáneamente si dispararse o no.

El sospechoso puede ser de tipo "criminal" o "civil". El sheriff solo conoce un tipo. El sospechoso conoce su tipo y el del sheriff, pero este último desconoce el del sospechoso. Por lo tanto, la información es incompleta (ya que el sospechoso posee información privada), lo que lo convierte en un juego bayesiano. Existe una probabilidad p de que el sospechoso sea un criminal y una probabilidad 1-p de que sea un civil; ambos jugadores conocen esta probabilidad (suposición previa común, que puede transformarse en un juego de información completa con información imperfecta ).

El sheriff preferiría defenderse y disparar si el sospechoso dispara o no disparar si el sospechoso no lo hace (incluso si el sospechoso es un criminal). El sospechoso preferiría disparar si es un criminal, incluso si el sheriff no dispara, pero preferiría no disparar si es un civil, incluso si el sheriff dispara. Por lo tanto, la matriz de pagos de este juego en forma normal para ambos jugadores depende del tipo de sospechoso. Este juego se define por${\displaystyle (N,A,T,p,u)}$, donde:

• N = {Sospechoso, Sheriff}
• Un _sospechoso = {Disparar, no} , Un _sheriff = {Disparar, no}
• T _Sospechoso = {Criminal, Civil} , T _Sheriff = {*}
• p _Criminal = p , p _Civil = (1 − p )
• Se supone que las ganancias, u , se dan de la siguiente manera:

Si ambos jugadores son racionales y ambos saben que ambos jugadores son racionales y todo lo que cualquier jugador sabe es conocido por todos los jugadores (es decir, el jugador 1 sabe que el jugador 2 sabe que el jugador 1 es racional y el jugador 2 sabe esto, etc., hasta el infinito : conocimiento común ), el juego será el siguiente según el equilibrio bayesiano perfecto: ^{[ 25 ] [ 26 ]}

Cuando el tipo es "criminal", la estrategia dominante para el sospechoso es disparar, y cuando el tipo es "civil", la estrategia dominante para el sospechoso es no disparar; por lo tanto, se puede eliminar la estrategia alternativa estrictamente dominada. Dado esto, si el sheriff dispara, tendrá una recompensa de 0 con probabilidad p y una recompensa de −1 con probabilidad ⁠${\displaystyle 1-p}$⁠ , es decir, una recompensa esperada de ⁠${\displaystyle p-1}$⁠ ; si el sheriff no dispara, tendrá una ganancia de − 2 con probabilidad p y una ganancia de 0 con probabilidad ⁠${\displaystyle 1-p}$⁠ , es decir, una recompensa esperada de ⁠${\displaystyle -2p}$⁠ . Por lo tanto, el Sheriff siempre disparará si ⁠${\displaystyle p-1>-2p}$⁠ , es decir, cuando ⁠${\displaystyle p>1/3}$.​

El mercado de los limones está relacionado con un concepto conocido como selección adversa .

Configuración

Hay un coche usado. El jugador 1 es un comprador potencial interesado en el vehículo. El jugador 2 es el dueño del coche y conoce su valor (su estado, etc.). El jugador 1 lo desconoce y cree que el valor del coche para el dueño (jugador 2) se distribuye uniformemente entre 0 y 100 (es decir, cada uno de los dos subintervalos de valor de [0, 100] de igual longitud tiene la misma probabilidad).

El jugador 1 puede pujar p entre 0 y 100 (inclusive). El jugador 2 puede entonces aceptar o rechazar la oferta. Los pagos son los siguientes:

• Recompensa del jugador 1: Oferta aceptada es${\displaystyle {\frac {3}{2}}v-p}$Oferta rechazada: 0
• Beneficio del jugador 2: Oferta aceptada es p , Oferta rechazada es v

Nota al margen: estrategia de corte

La estrategia del jugador 2, que consiste en aceptar todas las ofertas superiores a un cierto límite P ^∗ y rechazar y ofertar por debajo de P ^∗ , se conoce como estrategia de límite, donde P ^∗ se denomina límite.

• Solo se comercializan "coches defectuosos" (coches usados ​​en mal estado, específicamente con un valor máximo igual a p ).
• El jugador 1 puede garantizarse una ganancia de cero al pujar cero; por lo tanto, en equilibrio, p = 0
• Dado que solo se comercializan "coches defectuosos" (coches usados ​​en mal estado), el mercado se desploma.
• No es posible el comercio incluso cuando este sería económicamente eficiente ^{[ 27 ].}

Una nueva empresa (jugador 1) que desea ingresar a un mercado monopolizado por una gran compañía se encontrará con dos tipos de monopolistas (jugador 2): el tipo 1 está bloqueado y el tipo 2 está permitido. El jugador 1 nunca tendrá información completa sobre el jugador 2, pero puede inferir la probabilidad de que aparezcan los tipos 1 y 2 a partir de si la empresa anterior que ingresó al mercado fue bloqueada; se trata de un juego bayesiano. La razón de estos juicios es que existen costos de bloqueo para el jugador 2, quien podría necesitar realizar reducciones de precio significativas para impedir que el jugador 1 ingrese al mercado. Por lo tanto, bloqueará al jugador 1 cuando la ganancia que obtiene al ingresar al mercado sea mayor que los costos de bloqueo.