Conocimiento común (lógica)

El conocimiento común es un tipo especial de conocimiento para un grupo de agentes . Hay conocimiento común de p en un grupo de agentes G cuando todos los agentes en G saben p , todos saben que saben p , todos saben que todos saben que saben p , y así sucesivamente hasta el infinito . ^[1] Puede denotarse como . $Estilo de visualización C_{G}p$

El concepto fue introducido por primera vez en la literatura filosófica por David Kellogg Lewis en su estudio Convention (1969). El sociólogo Morris Friedell definió el conocimiento común en un artículo de 1969. ^[2] Robert Aumann (1976) fue el primero en darle una formulación matemática en un marco teórico de conjuntos . Los científicos informáticos se interesaron por el tema de la lógica epistémica en general -y del conocimiento común en particular- a partir de la década de 1980. ^[1] Existen numerosos acertijos basados ​​en el concepto que han sido ampliamente investigados por matemáticos como John Conway . ^[3]

El filósofo Stephen Schiffer , en su libro de 1972 Meaning , desarrolló de forma independiente una noción que llamó " conocimiento mutuo " ( ) que funciona de manera bastante similar al "conocimiento común" de Lewis y Friedel de 1969. ^[4] Si un anuncio confiable se hace en público , entonces se convierte en conocimiento común; Sin embargo, si se transmite a cada agente en privado, se convierte en conocimiento mutuo pero no en conocimiento común. Incluso si el hecho de que "cada agente en el grupo sabe p " ( ) se transmite a cada agente en privado, todavía no es conocimiento común: . Pero, si cualquier agente anuncia públicamente su conocimiento de p , entonces se convierte en conocimiento común que sabe p (a saber, ). Si cada agente anuncia públicamente su conocimiento de p , p se convierte en conocimiento común . $Estilo de visualización E_{G}p$$Estilo de visualización E_{G}p$${\displaystyle E_{G}E_{G}p\no \Rightarrow C_{G}p}$${\estilo de visualización a}$$Estilo de visualización C_{G}K_{a}p}$${\displaystyle C_{G}E_{G}p\Rightarrow C_{G}p}$

La idea del conocimiento común se introduce a menudo mediante alguna variante de los acertijos de inducción (por ejemplo, el acertijo de los niños embarrados ): ^[2]

En una isla, hay k personas que tienen ojos azules, y el resto de la gente tiene ojos verdes. Al comienzo del rompecabezas, nadie en la isla sabe nunca el color de sus ojos. Por regla general, si una persona en la isla descubre alguna vez que tiene ojos azules, debe abandonar la isla al amanecer; quien no haga tal descubrimiento siempre duerme hasta después del amanecer. En la isla, cada persona sabe el color de ojos de todas las demás, no hay superficies reflectantes y no hay comunicación del color de ojos.

En un momento dado, un extraño llega a la isla, convoca a todos los habitantes de la isla y hace el siguiente anuncio público : "Al menos uno de vosotros tiene los ojos azules". Además, todos saben que el extraño es veraz y todos saben que todos lo saben, y así sucesivamente: es de conocimiento público que es veraz y, por tanto, se convierte en de conocimiento público que hay al menos un isleño que tiene los ojos azules ( ). El problema: encontrar el resultado final, suponiendo que todas las personas de la isla son completamente lógicas (el conocimiento de cada participante obedece a los esquemas axiomáticos de la lógica epistémica ) y que esto también es de conocimiento público. ${\displaystyle C_{G}[\existe x\!\en \!G(Bl_{x})]}$

La respuesta es que, al amanecer del día siguiente al anuncio, todas las personas de ojos azules abandonarán la isla.

La solución puede verse con un argumento inductivo. Si k  = 1 (es decir, hay exactamente una persona de ojos azules), la persona reconocerá que solo ella tiene ojos azules (al ver solo ojos verdes en los demás) y se irá en el primer amanecer. Si k  = 2, nadie se irá en el primer amanecer, y la inacción (y la falta implícita de conocimiento para cada agente) es observada por todos, lo que entonces también se convierte en conocimiento común ( ). Las dos personas de ojos azules, al ver solo a una persona con ojos azules, y que nadie se fue en el primer amanecer (y por lo tanto que k  > 1; y también que la otra persona de ojos azules no piensa que todos excepto ella no son de ojos azules , por lo tanto otra persona de ojos azules ), se irán en el segundo amanecer. Inductivamente, se puede razonar que nadie se irá en los primeros k  − 1 amaneceres si y solo si hay al menos k personas de ojos azules. Aquellos que tienen ojos azules, al ver k  − 1 personas de ojos azules entre las demás y sabiendo que debe haber al menos k , razonarán que deben tener ojos azules y se irán. ${\displaystyle C_{G}[\para todo x\!\en \!G(\neg K_{x}Bl_{x})]}$${\displaystyle \neg K_{a}[\para todo x\!\en \!(Ga)(\neg Bl_{x})]}$${\displaystyle \existe x\!\en \!(Ga)(Bl_{x})}$

Para k  > 1, el forastero sólo les está diciendo a los ciudadanos de la isla lo que ya saben: que hay personas de ojos azules entre ellos. Sin embargo, antes de que se anuncie este hecho, el hecho no es de conocimiento público , sino de conocimiento mutuo .

Para k  = 2, se trata simplemente de conocimiento de "primer orden" ( ). Cada persona de ojos azules sabe que hay alguien con ojos azules, pero cada persona de ojos azules no sabe que la otra persona de ojos azules tiene este mismo conocimiento. ${\displaystyle E_{G}[\existe x\!\en \!G(Bl_{x})]}$

Para k  = 3, se trata de un conocimiento de "segundo orden" ( ). Cada persona de ojos azules sabe que una segunda persona de ojos azules sabe que una tercera persona tiene ojos azules, pero nadie sabe que existe una tercera persona de ojos azules con ese conocimiento, hasta que el forastero hace su afirmación. ${\displaystyle E_{G}E_{G}[\existe x\!\en \!G(Bl_{x})]=E_{G}^{2}[\existe x\!\en \!G(Bl_{x})]}$

En general: para k  > 1, se trata de un conocimiento de "( k  − 1)º orden" ( ). Cada persona de ojos azules sabe que una segunda persona de ojos azules sabe que una tercera persona de ojos azules sabe que... (repetir para un total de k  − 1 niveles) una k ésima persona tiene ojos azules, pero nadie sabe que hay una " k ésima" persona de ojos azules con ese conocimiento, hasta que el forastero hace su declaración. La noción de conocimiento común tiene, por tanto, un efecto palpable. Saber que todo el mundo sabe sí marca una diferencia. Cuando el anuncio público del forastero (un hecho ya conocido por todos, a menos que k=1, en cuyo caso la única persona de ojos azules no lo sabría hasta el anuncio) se convierte en conocimiento común, las personas de ojos azules de esta isla acaban deduciendo su estatus y se van. ${\displaystyle E_{G}^{k-1}[\existe x\!\en \!G(Bl_{x})]}$

En particular:

1. ${\displaystyle E_{G}^{i}[|G(Bl_{x})|\geq j]}$es libre (es decir, conocido antes de la declaración del extraño) si y solo si .${\displaystyle i+j\leq k}$
2. ${\displaystyle E_{G}^{i}[|G(Bl_{x})|\geq j]}$, con un día que pasa donde nadie se va, implica el día siguiente .${\displaystyle E_{G}^{i-1}[|G(Bl_{x})|\geq j+1]}$
3. ${\displaystyle E_{G}^{i}[|G(Bl_{x})|\geq j]}$para se alcanza así si y solo si se alcanza para .${\displaystyle j\geq k}$${\displaystyle i+j>k}$
4. El forastero da por .${\displaystyle E_{G}^{i}[|G(Bl_{x})|\geq j]}$${\displaystyle i=\infty,j=1}$

El conocimiento común puede recibir una definición lógica en sistemas de lógica multimodal en los que los operadores modales se interpretan epistémicamente . A nivel proposicional, tales sistemas son extensiones de la lógica proposicional . La extensión consiste en la introducción de un grupo G de agentes y de n operadores modales K _i (con i = 1, ...,  n ) con el significado pretendido de que "el agente i sabe". Así, K _i ${\estilo de visualización \varphi}$ (donde es una fórmula del cálculo lógico) se lee "el agente i sabe ". Podemos definir un operador E _G con el significado pretendido de "todos en el grupo G saben" definiéndolo con el axioma ${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización \varphi}$

${\displaystyle E_{G}\varphi \Flecha izquierda y derecha \bigwedge _{i\in G}K_{i}\varphi ,}$

Al abreviar la expresión con y definir , el conocimiento común podría entonces definirse con el axioma ${\displaystyle E_{G}E_{G}^{n-1}\varphi}$${\displaystyle E_{G}^{n}\varphi}$${\displaystyle E_{G}^{0}\varphi =\varphi }$

${\displaystyle C\varphi \Leftrightarrow \bigwedge _{i=0}^{\infty }E^{i}\varphi }$

Sin embargo, existe una complicación. Los lenguajes de la lógica epistémica suelen ser finitarios , mientras que el axioma anterior define el conocimiento común como una conjunción infinita de fórmulas, por lo tanto, no una fórmula bien formada del lenguaje. Para superar esta dificultad, se puede dar una definición de punto fijo del conocimiento común. Intuitivamente, se piensa que el conocimiento común es el punto fijo de la "ecuación" . Aquí, es el Aleph-cero . De esta manera, es posible encontrar una fórmula que implica de la cual, en el límite, podemos inferir el conocimiento común de . ${\displaystyle C_{G}\varphi =[\varphi \wedge E_{G}(C_{G}\varphi )]=E_{G}^{\aleph _{0}}\varphi }$$estilo de visualización {\aleph _{0}}$${\estilo de visualización \psi}$${\displaystyle E_{G}(\varphi \wedge C_{G}\varphi )}$${\estilo de visualización \varphi}$

De esta definición se desprende que si es de conocimiento común, entonces también es de conocimiento común ( ). ${\displaystyle E_{G}\varphi}$${\estilo de visualización \varphi}$${\displaystyle C_{G}E_{G}\varphi \Rightarrow C_{G}\varphi }$

Esta caracterización sintáctica recibe contenido semántico a través de las llamadas estructuras de Kripke . Una estructura de Kripke está dada por un conjunto de estados (o mundos posibles) S , n relaciones de accesibilidad , definidas en , que representan intuitivamente qué estados el agente i considera posibles a partir de cualquier estado dado, y una función de valoración que asigna un valor de verdad , en cada estado, a cada proposición primitiva en el lenguaje. La semántica de Kripke para el operador de conocimiento está dada al estipular que es verdadero en el estado s si y solo si es verdadero en todos los estados t tales que . La semántica para el operador de conocimiento común, entonces, está dada al tomar, para cada grupo de agentes G , el cierre reflexivo (axioma modal T ) y transitivo (axioma modal 4 ) de la , para todos los agentes i en G , llamamos tal relación , y estipular que es verdadero en el estado s si y solo si es verdadero en todos los estados t tales que . ${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{n}}$${\displaystyle S\times S}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle K_{i}\varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (s,t)\in R_{i}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{G}}$${\displaystyle C_{G}\varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (s,t)\in R_{G}}$

Alternativamente (pero de manera equivalente) el conocimiento común puede formalizarse utilizando la teoría de conjuntos (este fue el camino tomado por el premio Nobel Robert Aumann en su artículo seminal de 1976). Comenzando con un conjunto de estados S . Un evento E puede entonces definirse como un subconjunto del conjunto de estados S . Para cada agente i , defina una partición en S , P _i . Esta partición representa el estado de conocimiento de un agente en un estado. Intuitivamente, si dos estados s ₁ y s ₂ son elementos de la misma parte de la partición de un agente, significa que s ₁ y s ₂ son indistinguibles para ese agente. En general, en el estado s , el agente i sabe que uno de los estados en P _i ( s ) se obtiene, pero no cuál. (Aquí P _i ( s ) denota el elemento único de P _i que contiene s . Este modelo excluye los casos en los que los agentes saben cosas que no son verdaderas).

Ahora podemos definir una función de conocimiento K de la siguiente manera:

${\displaystyle K_{i}(e)=\{s\in S\mid P_{i}(s)\subset e\}}$

Es decir, K _i ( e ) es el conjunto de estados en los que el agente sabrá que se obtiene el evento e . Es un subconjunto de e .

De manera similar a la formulación de lógica modal anterior, un operador para la idea de que "todo el mundo sabe" puede definirse como e ".

${\displaystyle E(e)=\bigcap _{i}K_{i}(e)}$

Al igual que con el operador modal, iteraremos la función E y . Con esto, podemos definir una función de conocimiento común, ${\displaystyle E^{1}(e)=E(e)}$${\displaystyle E^{n+1}(e)=E(E^{n}(e))}$

${\displaystyle C(e)=\bigcap _{n=1}^{\infty }E^{n}(e).}$

La equivalencia con el enfoque sintáctico esbozado anteriormente se puede ver fácilmente: considere una estructura de Aumann como la que se acaba de definir. Podemos definir una estructura de Kripke correspondiente tomando el mismo espacio S , relaciones de accesibilidad que definen las clases de equivalencia correspondientes a las particiones , y una función de valoración tal que produce valor verdadero para la proposición primitiva p en todos y solo los estados s tales que , donde es el evento de la estructura de Aumann correspondiente a la proposición primitiva p . No es difícil ver que la función de accesibilidad del conocimiento común definida en la sección anterior corresponde al engrosamiento común más fino de las particiones para todos , que es la caracterización finitaria del conocimiento común también dada por Aumann en el artículo de 1976. ${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle s\in E^{p}}$${\displaystyle E^{p}}$${\displaystyle R_{G}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle i\in G}$

El conocimiento común fue utilizado por David Lewis en su pionera explicación de la convención a partir de la teoría de juegos. En este sentido, el conocimiento común es un concepto que sigue siendo central para los lingüistas y filósofos del lenguaje (véase Clark 1996) que mantienen una explicación convencionalista y lewisiana del lenguaje.

Robert Aumann introdujo una formulación teórica de conjunto del conocimiento común (teóricamente equivalente a la dada anteriormente) y demostró el llamado teorema del acuerdo mediante el cual: si dos agentes tienen una probabilidad previa común sobre un determinado evento, y las probabilidades posteriores son de conocimiento común, entonces dichas probabilidades posteriores son iguales. Un resultado basado en el teorema del acuerdo y demostrado por Milgrom muestra que, dadas ciertas condiciones de eficiencia e información del mercado, el comercio especulativo es imposible.

El concepto de conocimiento común es central en la teoría de juegos . Durante varios años se ha pensado que el supuesto de conocimiento común de la racionalidad por parte de los jugadores en el juego era fundamental. Resulta que (Aumann y Brandenburger 1995) en los juegos de dos jugadores, el conocimiento común de la racionalidad no es necesario como condición epistémica para las estrategias de equilibrio de Nash .

Los científicos informáticos utilizan lenguajes que incorporan lógicas epistémicas (y conocimiento común) para razonar sobre sistemas distribuidos. Dichos sistemas pueden basarse en lógicas más complicadas que la lógica epistémica proposicional simple; véase Wooldridge Reasoning about Artificial Agents , 2000 (en el que utiliza una lógica de primer orden que incorpora operadores epistémicos y temporales) o van der Hoek et al. "Alternating Time Epistemic Logic".

En su libro de 2007, The Stuff of Thought: Language as a Window into Human Nature , Steven Pinker utiliza la noción de conocimiento común para analizar el tipo de discurso indirecto involucrado en las insinuaciones.

La película de comedia Hot Lead and Cold Feet tiene un ejemplo de una cadena de lógica que se derrumba por el conocimiento común. El chico de Denver les dice a sus aliados que Rattlesnake está en la ciudad, pero que él [el chico] tiene “la ventaja”: “Él está aquí y yo sé que está aquí, y él sabe que yo sé que está aquí, pero él no sabe que yo sé que él sabe que yo sé que está aquí”. De modo que ambos protagonistas conocen el hecho principal (Rattlesnake está aquí), pero no es “conocimiento común”. Nótese que esto es cierto incluso si el chico está equivocado: tal vez Rattlesnake sí sabe que el chico sabe que él sabe que él sabe, la cadena se rompe de todos modos porque el chico no lo sabe. Momentos después, Rattlesnake se enfrenta al chico. Vemos al chico darse cuenta de que su “ventaja” cuidadosamente construida se ha derrumbado en conocimiento común.

• Juego global
• Conocimiento mutuo (lógica)
• Ignorancia pluralista
• Caza del ciervo
• Esteban Schiffer
• Problema de dos generales sobre la imposibilidad de establecer un conocimiento común a través de un canal poco fiable

1. ^ Véanse los libros de texto Reasoning about knowledge de Fagin, Halpern, Moses y Vardi (1995), y Epistemic Logic for computer science de Meyer y van der Hoek (1995).
2. ^ Herbert Gintis (2000) plantea un problema estructuralmente idéntico alque denomina "Las mujeres de Sevitan".

• Aumann, Robert (1976) "Estar de acuerdo en estar en desacuerdo" Anales de Estadística 4(6): 1236–1239.
• Aumann Robert y Adam Brandenburger (1995) "Condiciones epistémicas para el equilibrio de Nash" Econometrica 63(5): 1161-1180.
• Clark, Herbert (1996) El uso del lenguaje , Cambridge University Press ISBN 0-521-56745-9 
• Fagin, Ronald; Halpern, Joseph; Moses, Yoram; Vardi, Moshe (2003). Razonamiento sobre el conocimiento . Cambridge: MIT Press . ISBN 978-0-262-56200-3..
• Lewis, David (1969) Convención: un estudio filosófico Oxford: Blackburn. ISBN 0-631-23257-5 
• JJ Ch. Meyer y W van der Hoek Lógica epistémica para la informática y la inteligencia artificial , volumen 41, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-46014-X 
• Rescher, Nicolas (2005). Lógica epistémica: un estudio de la lógica del conocimiento . University of Pittsburgh Press . ISBN 978-0-8229-4246-7.. Véase el capítulo 3.
• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Sistemas multiagente: fundamentos algorítmicos, lógicos y de teoría de juegos. Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-89943-7.. Véase la Sección 13.4; descargable gratuitamente en línea.
• Gintis, Herbert (2000) La evolución de la teoría de juegos , Princeton University Press, ISBN 0-691-14051-0 
• Gintis, Herbert (2009) Los límites de la razón Princeton University Press. ISBN 0-691-14052-9 
• Halpern, JY ; Moses, Y. (1990). "Conocimiento y conocimiento común en un entorno distribuido". Revista de la ACM . 37 (3): 549–587. arXiv : cs/0006009 . doi :10.1145/79147.79161. S2CID  52151232.

• Vanderschraaf, Peter; Sillari, Giacomo. "El conocimiento común". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Entrada del blog del profesor Terence Tao (febrero de 2008)
• Carr, Kareem. "A largo plazo, todos estamos muertos", "A largo plazo, todos estamos muertos II" en The Twofold Gaze. Descripción detallada del problema de los isleños de ojos azules, con solución.
• "El problema de los dragones de ojos verdes" Archivado el 1 de diciembre de 2014 en Wayback Machine , "La solución de los dragones de ojos verdes" Archivado el 1 de diciembre de 2014 en Wayback Machine (septiembre de 2002)