Fijación de precios óptima bayesiana

La fijación de precios bayesiana óptima (BO pricing) es un tipo de fijación de precios algorítmica en la que el vendedor determina los precios de venta basándose en supuestos probabilísticos sobre las valoraciones de los compradores. Se trata de un mecanismo bayesiano óptimo sencillo , en el que el precio se determina de antemano sin recopilar las ofertas reales de los compradores.

Un solo artículo y un solo comprador.

En el escenario más simple, el vendedor tiene un solo artículo para vender (sin costo alguno) y un único comprador potencial. El precio máximo que el comprador está dispuesto a pagar por el artículo se denomina valoración del comprador. El vendedor desea fijar el precio exactamente igual a la valoración del comprador. Desafortunadamente, el vendedor desconoce dicha valoración. En el modelo bayesiano, se asume que la valoración del comprador es una variable aleatoria extraída de una distribución de probabilidad conocida.

Supongamos que la función de distribución acumulativa del comprador es $F(v)$ , definido como la probabilidad de que la valoración del vendedor sea menor que $v$ . Entonces, si el precio se fija en $p$ , el valor esperado de los ingresos del vendedor es: ^{[ 1 ]}

Rev(p)=p\cdot (1-F(p))

porque la probabilidad de que el comprador quiera comprar el artículo es $1-F(p)$ y si esto sucede, los ingresos del vendedor serán $p$ .

El vendedor desea encontrar el precio que maximice $Rev(p)$ . La condición de primer orden, que el precio óptimo $p^{*}$ debería satisfacer, es:

p^{*}={1-F(p^{*}) \over f(p^{*})}

dónde $f(p)=F'(p)=$ la función de densidad de probabilidad .

Por ejemplo, si la distribución de probabilidad de la valoración del comprador es uniforme en $[a,a+d]$ , entonces $F(v)=(va)/d$ y $f(v)=1/d$ (en $[a,a+d]$ ). La condición de primer orden es $p^{*}=(a+dp^{*})$ lo cual implica $p^{*}=(a+d)/2$ Este es el precio óptimo solo si está dentro del rango $[a,a+d]$ (es decir, cuando $a\leq d$ ). De lo contrario (cuando $a\geq d$ ), el precio óptimo es $p^{*}=a$ .

Este precio óptimo tiene una interpretación alternativa: es la solución a la ecuación:

w(p^{*})=0

dónde $w$ es la valoración virtual del agente. Por lo tanto, en este caso, la fijación de precios BO es equivalente al mecanismo bayesiano óptimo , que es una subasta con precio de reserva. $p^{*}$ .

Un solo artículo y muchos compradores.

En este escenario, el vendedor tiene un solo artículo para vender (con costo cero) y existen múltiples compradores potenciales cuyas valoraciones son un vector aleatorio extraído de alguna distribución de probabilidad conocida. Aquí, vienen a la mente diferentes métodos de fijación de precios: ^{[ 2 ]}

Precios simétricos : el vendedor fija un precio único para el artículo. Si uno o más compradores aceptan este precio, se selecciona uno de ellos al azar.
Precios discriminatorios : el vendedor fija un precio diferente para cada comprador. Si uno o más compradores aceptan este precio, se selecciona al comprador que haya aceptado el precio más alto. La fijación de precios discriminatorios puede implementarse de forma secuencial, ordenando los precios de mayor a menor y adjudicando el artículo al primer comprador que acepte el precio ofrecido.

En un contexto de múltiples compradores, la fijación de precios por orden de compra ya no es equivalente a la subasta por orden de compra : en la fijación de precios, el vendedor debe determinar el precio o los precios por adelantado, mientras que en la subasta, el vendedor puede determinar el precio en función de las ofertas de los agentes. La competencia entre los compradores puede permitir al subastador aumentar el precio. Por lo tanto, en teoría, el vendedor puede obtener mayores ingresos en una subasta.

Ejemplo. ^{[ 3 ]} Hay dos compradores cuyas valoraciones se distribuyen uniformemente en el rango $[\$100,\$200]$ .

La subasta BO es la subasta Vickrey con un precio de reserva de $100 (= la valoración virtual inversa de 0). Sus ingresos esperados son de $133.
El esquema de precios discriminatorios de BO consiste en ofrecer a un agente un precio de 150 dólares y al otro un precio de 100 dólares. Sus ingresos esperados son 0,5*150 + 0,5*100 = 125 dólares.

En la práctica, sin embargo, una subasta resulta más compleja para los compradores, ya que les exige declarar su valoración por adelantado. La complejidad del proceso de subasta podría disuadir a los compradores y, en última instancia, ocasionar pérdidas de ingresos. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Por lo tanto, resulta interesante comparar los ingresos óptimos de una fijación de precios con los ingresos óptimos de una subasta, para determinar cuántos ingresos pierde el vendedor al utilizar el mecanismo más sencillo.

Compradores con valoraciones independientes e idénticas

Blumrosen y Holenstein ^{[ 2 ]} estudian el caso especial en el que las valoraciones de los compradores son variables aleatorias extraídas independientemente de la misma distribución de probabilidad. Demuestran que, cuando la distribución de las valoraciones de los compradores tiene soporte acotado , la fijación de precios BO y la subasta BO convergen al mismo ingreso. La tasa de convergencia es asintóticamente la misma cuando se permiten precios discriminatorios , y más lenta por un factor logarítmico cuando se deben usar precios simétricos. Por ejemplo, cuando la distribución es uniforme en [0,1] y hay $n$ compradores potenciales:

Los ingresos de la subasta BO (una subasta de Vickrey con precio de reserva determinado por la distribución de probabilidad) son $1-2/n$ ;
Los ingresos de los precios discriminatorios de BO son $1-4/n$ ;
Los ingresos de la fijación de precios simétrica de BO son $1-\log(n)/n$ .

Por el contrario, cuando la distribución de las valoraciones de los compradores tiene un soporte ilimitado , el precio BO y la subasta BO podrían no converger al mismo ingreso. Por ejemplo, cuando la cdf es $F(x)=1-1/x^{2}$ :

Los ingresos de la subasta BO son $.88{\sqrt {n}}$ ;
Los ingresos de los precios discriminatorios de BO son $.7{\sqrt {n}}$ ;
Los ingresos de la fijación de precios simétrica de BO son $.64{\sqrt {n}}$ .

Compradores con valoraciones independientes y diferentes

Chawla y Hartline y Malec y Sivan ^{[ 3 ]} estudian el escenario en el que las valoraciones de los compradores son variables aleatorias extraídas independientemente de diferentes distribuciones de probabilidad . Además, existen restricciones en el conjunto de agentes que pueden ser atendidos juntos (por ejemplo: hay un número limitado de unidades). Consideran dos tipos de esquemas de precios discriminatorios:

En un mecanismo de precios independiente del orden (OPM), el diseñador del mecanismo determina un precio para cada agente. Los agentes se presentan en un orden arbitrario. Las garantías del mecanismo se aplican al peor escenario posible (orden adverso) de los agentes, determinado después de que se hayan realizado las valoraciones de los mismos.
En un mecanismo de precios secuencial (MPS), el diseñador determina tanto el precio para cada agente como el orden en que se encuentran. El mecanismo itera sobre los agentes en el orden predeterminado. Si el agente actual puede ser atendido junto con los agentes atendidos anteriormente (según las restricciones), se le ofrece su precio personal, y él puede aceptarlo o rechazarlo.

Su esquema general para calcular los precios es el siguiente:

Para cada agente $j$ , calcular la probabilidad $q_{j}$ con el cual el mecanismo BO (mecanismo de Myerson) sirve al agente $j$ Esto se puede calcular analíticamente o mediante simulaciones.
El precio del agente $j$ es $p_{j}:=F_{j}^{-1}(1-C\cdot q_{j})$ , dónde $C$ es una constante (ya sea 1, 1/2 o 1/3, dependiendo de la configuración). En otras palabras, el precio $p_{j}$ Satisface la siguiente condición:

Prob[la valoración del agente

j

es al menos

p_{j}

] =

C\times

Prob[el mecanismo BO sirve al agente

j

].

Si $C=1$ Entonces, la probabilidad marginal de que un agente sea atendido por el SPM es igual a la probabilidad marginal de que sea atendido por la subasta BO.

Los factores de aproximación que se pueden obtener mediante un OPM dependen de la estructura de las restricciones: ^{[ 3 ]}^{: 318}

Restricciones de matroide uniforme o matroide de partición - 2 (es decir, los ingresos del OPM de BO son al menos 1/2 de los ingresos de la subasta de BO de Myerson).
Matroide gráfico - 3
Intersección de dos matroides de partición - 6,75
Intersección de un matroide gráfico y un matroide de partición - 10.66
Matroide general con rango de matroide $k$ - $O(\log(k))$

Además, muestran dos límites inferiores:

Un OPM no puede garantizar más de la mitad de los ingresos de la subasta BO, incluso en el caso de un solo artículo.
Una OPM no puede garantizar más que $O({\log \log {n}/\log {n}})$ los ingresos de la subasta BO cuando hay restricciones no matroidales cerradas hacia abajo.

Los factores de aproximación que se pueden obtener mediante un SPM son naturalmente mejores:

Matroide uniforme, matroide de partición - e/(e-1) ≅ 1,58
Matroide general - 2
Intersección de dos matroides - 3

El límite inferior (demostrado por ^{[ 2 ]} ) es aproximadamente 1,25.

Yan ^{[ 6 ]} explica el éxito del enfoque de precios secuenciales basado en el concepto de brecha de correlación , de la siguiente manera. Los ingresos de un mecanismo están relacionados con una función de conjunto. $f$ Por ejemplo, en una subasta de k unidades, la función es $f(S)=\min(|S|,k)$

Los ingresos de la subasta BO son como máximo $f(ganadores)\cdot Precio$ donde "Ganadores" es el conjunto de k agentes con las valoraciones más altas.
Los ingresos de BO SPM son al menos $f(Demanda)\cdot Precio$ donde "Demanda" es el conjunto de agentes cuya valoración está por encima del precio.

Tanto "Ganadores" como "Demanda" son conjuntos aleatorios, determinados por las valoraciones de los agentes. Además, al fijar cuidadosamente el precio, es posible asegurar que cada agente $j$ tiene la misma probabilidad $q_{j}$ estar en "Ganadores" y estar en "Demanda". Sin embargo, en "Ganadores", existe una alta correlación entre los diferentes agentes (si un agente gana, hay mayor probabilidad de que otros pierdan), mientras que en "Demanda", los agentes son independientes. Por lo tanto, la brecha de correlación es un límite superior para la pérdida de rendimiento al usar BO SPM en lugar de la subasta BO. Esto da como resultado los siguientes factores de aproximación:

Matroide general - $e/(e-1)$
Subastas de k-unidades (un subcaso de matroides generales) - $1/(1-1/{\sqrt {2\pi k}})$
sistemas de conjuntos p-independientes (una generalización de la intersección de $p$ matroides) - $p+1$ .

Artículos diferentes y un comprador con demanda unitaria

En este escenario, el vendedor ofrece varios artículos diferentes (por ejemplo, coches de distintos modelos). Hay un comprador potencial interesado en un solo artículo (por ejemplo, un coche). El comprador asigna una valoración distinta a cada tipo de artículo (es decir, tiene un vector de valoración). Dados los precios publicados, el comprador adquiere el artículo que le proporciona la mayor utilidad neta (valoración menos precio).

El vector de valoración del comprador es un vector aleatorio de una distribución de probabilidad multidimensional. El vendedor quiere calcular el vector de precios (un precio por artículo) que le proporcione el mayor ingreso esperado.

Chawla, Hartline y Kleinberg ^{[ 7 ]} estudian el caso en el que las valoraciones del comprador sobre los diferentes artículos son variables aleatorias independientes. Demuestran que:

Los ingresos de la fijación de precios de la demanda de unidades BO cuando hay $n$ Los tipos de artículos son como máximo los ingresos de la subasta de un solo artículo de BO cuando hay $n$ compradores potenciales.
Cuando las valoraciones del comprador para los diferentes artículos son extracciones independientes de la misma distribución, el precio de la demanda unitaria de BO que utiliza el mismo precio para todos los artículos alcanza al menos 1/2,17 de los ingresos de la subasta de BO de un solo artículo. ^{[ 8 ]}
Cuando las valoraciones del comprador son extracciones independientes de diferentes distribuciones, la fijación de precios de la demanda unitaria de BO que utiliza el mismo precio virtual (basado en valoraciones virtuales ) alcanza al menos 1/3 de los ingresos de la subasta de BO de un solo artículo.

También consideran la tarea computacional de calcular el precio óptimo. El principal desafío es calcular $w^{-1}$ , la inversa de la función de valoración virtual.

Para distribuciones de valoración discretas y regulares , existe una aproximación 3 en tiempo polinomial.
Para una distribución de valoración continua y regular (disponible a través de un oráculo) hay una aproximación de tiempo polinomial (3+ε) con alta probabilidad , y una aproximación más rápida (6+ε) con probabilidad 1.

Artículos diferentes y muchos compradores con demanda unitaria.

En este contexto, existen diferentes tipos de artículos. Cada comprador valora de forma distinta cada artículo y desea como máximo uno. Además, existen restricciones predefinidas sobre el conjunto de pares comprador-artículo que pueden asignarse conjuntamente (por ejemplo: cada artículo puede asignarse a un máximo de un comprador; cada comprador puede obtener como máximo un artículo; etc.).

Chawla y Hartline y Malec y Sivan ^{[ 3 ]} estudian dos tipos de esquemas de precios discriminatorios:

En un mecanismo de precios secuenciales (MPS), el diseñador determina un precio para cada par comprador-artículo y un orden para dichos pares. El mecanismo itera sobre los pares comprador-artículo en el orden predeterminado. Si el par comprador-artículo actual es viable, se le ofrece al comprador el artículo al precio predeterminado, y este puede aceptarlo o rechazarlo.
En un mecanismo de precios independiente del orden (OPM, por sus siglas en inglés), el diseñador del mecanismo determina un precio para cada par comprador-artículo. Los compradores llegan en un orden arbitrario, que puede determinarse de forma antagónica una vez que se hayan realizado las valoraciones de los agentes.

Un mecanismo de precios secuenciales, en general, no es un mecanismo veraz , ya que un agente puede decidir rechazar una buena oferta con la esperanza de obtener una mejor más adelante. Es veraz solo cuando, para cada comprador, los pares comprador-artículo están ordenados en orden descendente de utilidad neta. En ese caso, siempre es mejor para el comprador aceptar la primera oferta (si su utilidad neta es positiva). Un caso especial de esta situación es la configuración de un solo parámetro : para cada comprador, solo hay un par comprador-artículo (por ejemplo, hay un solo artículo en venta).

A cada configuración multiparamétrica le corresponde una configuración monoparamétrica en la que cada par comprador-artículo se considera un agente independiente. En la configuración monoparamétrica, existe mayor competencia (ya que los agentes que provienen del mismo comprador compiten entre sí). Por lo tanto, los ingresos de BO en la configuración monoparamétrica constituyen un límite superior para los ingresos de BO en la configuración multiparamétrica. En consecuencia, si un OPM es una aproximación r al mecanismo óptimo para una configuración monoparamétrica, también lo es para la configuración multiparamétrica correspondiente. ^{[ 3 ]} Véase más arriba para conocer los factores de aproximación de los OPM en diversas configuraciones.

Consulte el Capítulo 7 "Aproximación multidimensional" en ^{[ 9 ]}^{: 124} para obtener más detalles.

Muchos compradores y vendedores de unidades demandadas

Recientemente, el esquema SPM se ha extendido a un entorno de subasta doble , donde participan tanto compradores como vendedores. Este mecanismo extendido se denomina 2SPM. Está parametrizado por un orden para los compradores, un orden para los vendedores y una matriz de precios: un precio para cada par comprador-vendedor. Los precios se ofrecen en orden a compradores y vendedores, quienes pueden aceptar o rechazar la oferta. La relación de aproximación oscila entre 3 y 16, según el entorno. ^{[ 10 ]}

Véase también

Precios de monopolio

Referencias

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↑ La fijación de precios a precio único no es necesariamente la óptima. Por ejemplo, supongamos que hay dos artículos, cada uno con un valor independiente igual a 1 con probabilidad 2/3 y 2 con probabilidad 1/3. Entonces, los vectores de precios (1,2) y (2,1) son óptimos, pero los vectores de precios (1,1) y (2,2) son subóptimos.
↑ Jason D. Hartline (2012). Aproximación en el diseño económico (PDF) .
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[8] La fijación de precios a precio único no es necesariamente la óptima. Por ejemplo, supongamos que hay dos artículos, cada uno con un valor independiente igual a 1 con probabilidad 2/3 y 2 con probabilidad 1/3. Entonces, los vectores de precios (1,2) y (2,1) son óptimos, pero los vectores de precios (1,1) y (2,2) son subóptimos.

[hartline12-9] Jason D. Hartline (2012). Aproximación en el diseño económico (PDF) .

[10] Colini-Baldeschi, Riccardo; Keijzer, Bart de; Leonardi, Stefano; Turchetta, Stefano (2016). "Subastas dobles aproximadamente eficientes con fuerte equilibrio presupuestario". Actas del vigésimo séptimo simposio anual ACM-SIAM sobre algoritmos discretos . pág. 1424. doi : 10.1137/1.9781611974331.ch98 . hdl : 11573/871600 . ISBN 978-1-61197-433-1.

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