Mapa del pentagrama

El mapa de pentagramas para polígonos generales fue introducido en ( Schwartz 1992 ) , pero el caso más simple es el de los pentágonos , de ahí el nombre " pentagrama ". ^{[ 8 ]} Su estudio se remonta a ( Clebsch 1871 ) , ^{[ 9 ]} ( Kasner 1928 ) ^{[ 10 ]} y ( Motzkin 1945 ) . ^{[ 11 ]}

El mapa del pentagrama interactúa con algunos teoremas de configuración clásicos de la geometría proyectiva . Proporciona resultados análogos a los del teorema de Pascal y el teorema de Brianchon . ^{[ 12 ]} Algunas configuraciones específicas hacen aparecer el teorema de Desargues y el porismo de Poncelet . ^{[ 13 ] [ c ]}

Dejar${\displaystyle n\geq 5}$ser un número entero. Un polígono${\displaystyle P}$con${\displaystyle n}$lados, o${\displaystyle n}$-gon, es una tupla de vértices${\displaystyle (v_{1},\dots,v_{n})}$yace en algún plano proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$, ^{[ d ]} donde los índices se entienden módulo${\displaystyle n}$. La dimensión del espacio de${\displaystyle n}$-gons es${\displaystyle 2n}$. ^{[ 14 ]}

Supongamos que los vértices están en una posición suficientemente general , lo que significa que ninguna terna consecutiva de puntos es colineal . ^{[ 15 ]} Tomar la intersección de dos diagonales "más cortas" consecutivas ^{[ e ]} define un nuevo punto$${\displaystyle w_{k}:={\overline {v_{k-1}v_{k+1}}}\cap {\overline {v_{k}v_{k+2}}}.}$$Este procedimiento define un nuevo${\displaystyle n}$-gon${\displaystyle T(P)=(w_{1},\dots ,w_{n})}$. ^{[ 16 ]}

El etiquetado de los índices de${\displaystyle T(P)}$no es canónico . En la mayoría de los artículos, se toma una decisión al principio del artículo y las fórmulas se ajustan en consecuencia. ^{[ 17 ]}

El mapa del pentagrama sobre polígonos es un mapa birracional.${\displaystyle T:(\mathbb {P} ^{2})^{n}}$⇢${\displaystyle (\mathbb {P} ^{2})^{n}}$. De hecho, cada coordenada de${\displaystyle w_{k}}$se da como una función racional de las coordenadas de${\displaystyle v_{k-1},\dots,v_{k+2}}$, ya que se define como la intersección de las líneas que pasan por ellos. Además, la aplicación inversa se obtiene tomando las intersecciones.${\displaystyle {\overline {w_{k-2}w_{k-1}}}\cap {\overline {w_{k}w_{k+1}}}}$, lo cual es racional por la misma razón. ^{[ 18 ]}

El mapa del pentagrama se define tomando líneas e intersecciones de ellas. El grupo más grande que mapea líneas a líneas es el de las transformaciones proyectivas , denotado por${\displaystyle \mathbb {P} \mathrm {GL} _{3}}$Tal transformación${\displaystyle M}$actúa sobre un polígono${\displaystyle P}$enviándolo a${\displaystyle M\cdot P:=(Mv_{1},\dots ,Mv_{n})}$. El mapa del pentagrama conmuta con esta acción, e induce así otro sistema dinámico en el espacio de módulos de clases de equivalencia proyectivas de polígonos, cuya dimensión es${\displaystyle 2n-8}$. ^{[ 7 ]}

El mapa del pentagrama se generaliza naturalmente al espacio más amplio de polígonos retorcidos (véase el ejemplo del heptágono en la figura). Para cualquier entero${\displaystyle n\geq 5}$, un retorcido${\displaystyle n}$-gon${\displaystyle P}$son los datos de:

• una secuencia bi-infinita de puntos${\displaystyle (v_{k})_{k\in \mathbb {Z} }}$en el plano proyectivo (llamados vértices),
• una transformación proyectiva${\displaystyle M\in \mathbb {P} \mathrm {GL} _{3}}$(llamada monodromía ),

de tal manera que para cualquier${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, la propiedad${\displaystyle v_{k+n}=Mv_{k}}$está satisfecho. La dimensión del espacio de torsión${\displaystyle n}$-gons es${\displaystyle 2n+8}$. ^{[ 19 ]}

Cuando${\displaystyle M}$es la identidad , esto devuelve la definición inicial de polígonos (que se dice que son cerrados). El espacio de polígonos cerrados${\displaystyle n}$-gons es de codimensión${\displaystyle 8}$en el espacio de los retorcidos. ^{[ 20 ]}

La acción de las transformaciones proyectivas sobre el espacio de polígonos cerrados se generaliza al espacio de polígonos retorcidos (la monodromía se cambia por conjugación ). Esto proporciona de nuevo un espacio de módulos, de dimensión${\displaystyle 2n}$. ^{[ 21 ]}

Dejar${\displaystyle P}$sea ​​un polígono cerrado estrictamente convexo que se encuentra en el plano real. Uno de los primeros resultados demostrados por Richard Schwartz es que sus iteraciones bajo el mapa del pentagrama se contraen exponencialmente rápido hasta un punto, como se ilustra en la figura. Esto se deduce de dos hechos.

1. La imagen de un polígono estrictamente convexo está contenida en su interior y también es estrictamente convexa. ^{[ 22 ]}
2. Existe una constante${\displaystyle 0<\eta _{P}<1}$, Dependiendo de${\displaystyle P}$, de tal manera que para cualquier${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$Los diámetros de las iteraciones verifican la desigualdad.${\textstyle \operatorname {diam} (T^{N}(P))\leq \eta _{P}^{N}\operatorname {diam} (P).}$^{[ 23 ]}

Por lo tanto, según el teorema de intersección de Cantor , la secuencia de polígonos se colapsa hacia un punto. ^{[ 24 ]}

El comportamiento en el espacio de módulos es muy diferente, ya que la dinámica es recurrente . ^{[ 25 ]} Incluso es un movimiento cuasiperiódico , ^{[ 26 ]} como se discute en la sección sobre integrabilidad .

Las coordenadas del punto límite se dieron en ( Glick 2020 ) . Satisfacen algunas ecuaciones polinómicas de grado 3 , cuyos coeficientes son funciones racionales en las coordenadas de los vértices del polígono inicial. La demostración se basa en el hecho de que el punto límite debe ser una autolínea de un cierto operador lineal de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. ^{[ 27 ]}

Este operador fue reinterpretado en ( Aboud & Izosimov 2022 ) como la monodromía infinitesimal del polígono. La simetría de escala se utiliza para deformar un polígono cerrado.${\displaystyle P}$en una familia de seres retorcidos${\displaystyle (P_{z})_{z\in \mathbb {C} ^{*}}}$con monodromía${\displaystyle M_{z}}$. La monodromía infinitesimal se define como: ^{[ 28 ]}$${\displaystyle \left.{\frac {dM_{z}}{dz}}\right|_{z=1}.}$$

El colapso de polígonos también puede ocurrir en alguna generalización del mapa del pentagrama , al considerar ciertas configuraciones específicas de polígonos en el plano real. Las coordenadas del punto de colapso se obtienen mediante una fórmula análoga a la del mapa del pentagrama original. ^{[ 29 ]}

Los dos hechos siguientes se demuestran comprobando las igualdades de las razones cruzadas , por lo que son ciertos para polígonos en cualquier plano proyectivo (no solo en el real ). ^{[ 30 ]}

El mapa del pentagrama${\displaystyle T}$es la identidad en el espacio de módulos de pentágonos . ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]} La segunda iteración${\displaystyle T^{2}}$es la identidad en el espacio de hexágonos etiquetados , salvo un cambio en el etiquetado (véase la figura). ^{[ 34 ]} Este fenómeno no se generaliza a polígonos genéricos con al menos siete lados, para los cuales el movimiento es cuasiperiódico . ^{[ 35 ]}

Se dice que un polígono es Poncelet ^{[ f ]} si está inscrito en una cónica y circunscrito a otra. ^{[ 37 ] [ g ]} Para un Poncelet convexo${\displaystyle n}$-gon${\displaystyle P}$situado en el plano proyectivo real , el polígono${\displaystyle T^{2}(P)}$es proyectivamente equivalente a${\displaystyle P}$. ^{[ 38 ]}

De hecho, cuando${\displaystyle n}$es extraño, lo contrario también es cierto. ^{[ 39 ]} Sin embargo, esta afirmación recíproca ya no es cierta cuando los polígonos se consideran sobre el plano proyectivo complejo, ya que existen contraejemplos explícitos. ^{[ 40 ]}

Defina la razón cruzada de cuatro puntos colineales como:

${\displaystyle [a,b,c,d]={\frac {(a-b)(c-d)}{(a-c)(b-d)}}.}$

Los invariantes de esquina son un sistema de coordenadas en el espacio de polígonos retorcidos, construido tomando intersecciones como en la figura. ^{[ 41 ]} Los invariantes izquierdo y derecho se definen respectivamente ^{[ h ]} como las siguientes razones cruzadas:

${\displaystyle x_{k}:=[v_{k-2},v_{k-1},{\overline {v_{k-2}v_{k-1}}}\cap {\overline {v_{k}v_{k+1}}},{\overline {v_{k-2}v_{k-1}}}\cap {\overline {v_{k+1}v_{k+2}}}],}$

${\displaystyle y_{k}:=[{\overline {v_{k+1}v_{k+2}}}\cap {\overline {v_{k-2}v_{k-1}}},{\overline {v_{k+1}v_{k+2}}}\cap {\overline {v_{k-1}v_{k}}},v_{k+1},v_{k+2}].}$

Dado que la razón cruzada es invariante proyectiva , las secuencias${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {Z} }}$y${\displaystyle (y_{k})_{k\in \mathbb {Z} }}$asociado a un retorcido${\displaystyle n}$-van son${\displaystyle n}$-periódico. ^{[ 42 ]}

Los invariantes de esquina son elementos de${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\smallsetminus \{0,1,\infty \}}$y realizan un isomorfismo de variedades entre el espacio de módulos de torsión${\displaystyle n}$-gones y${\displaystyle (\mathbb {P} ^{1}\smallsetminus \{0,1,\infty \})^{2n}}$. ^{[ 43 ]}

Existe un segundo conjunto de coordenadas para el espacio de módulos de torsión${\displaystyle n}$-gonos definidos sobre cualquier campo${\displaystyle F}$satisfactorio${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(F)\cong \mathbb {P} \mathrm {GL} _{3}(F)}$, ^{[ 44 ]} y tal que${\displaystyle n}$no es divisible por${\displaystyle 3}$. ^{[ 45 ]}

Los vértices${\displaystyle v_{k}}$en el plano proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(F)}$se pueden elevar a vectores${\displaystyle V_{k}}$en el espacio afín${\displaystyle F^{3}}$de modo que cada triplete consecutivo de vectores abarca un paralelepípedo cuyo determinante es igual a${\displaystyle 1}$. Esto lleva a la relación que define el${\displaystyle ab}$-coordenadas: ^{[ 46 ]}

${\displaystyle V_{k+3}=a_{k}V_{k+2}+b_{k}V_{k+1}+V_{k}.}$

Esto pone de manifiesto una analogía entre polígonos retorcidos y soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de tercer orden , normalizadas para tener un wronskiano unitario . ^{[ 47 ]}

Están vinculados a las coordenadas de las esquinas mediante: ^{[ 48 ]}

${\displaystyle x_{k}={\frac {a_{k-2}}{b_{k-2}b_{k-1}}},}$

${\displaystyle y_{k}=-{\frac {b_{k-1}}{a_{k-2}a_{k-1}}}.}$

El mapa del pentagrama es un mapa birracional en el espacio de módulos, porque puede descomponerse como la composición de dos involuciones birracionales . ^{[ 49 ]} Los invariantes de esquina cambian de la siguiente manera: ^{[ 50 ]}

${\displaystyle x_{k}'=x_{k}{\frac {1-x_{k-1}y_{k-1}}{1-x_{k+1}y_{k+1}}},}$

${\displaystyle y_{k}'=y_{k+1}{\frac {1-x_{k+2}y_{k+2}}{1-x_{k}y_{k}}}.}$

El grupo multiplicativo${\displaystyle F\smallsetminus \{0\}}$actúa sobre el espacio de módulos de la siguiente manera:

${\displaystyle R_{s}\cdot (x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n})=(sx_{1},\dots ,sx_{n},s^{-1}y_{1},\dots ,s^{-1}y_{n}),}$

dónde${\displaystyle R}$se denomina acción de escala y${\displaystyle s}$es el parámetro de escala. Esta acción conmuta con el mapa del pentagrama en el espacio de módulos (como se presenta en las fórmulas anteriores). Esta propiedad se denomina simetría de escala y es fundamental para demostrar la integrabilidad completa de la dinámica. ^{[ 51 ]}

Los invariantes de monodromía, introducidos en ( Schwartz 2008 ) , son una colección de funciones en el espacio de módulos que son invariantes bajo la aplicación del pentagrama. ^{[ 52 ]} Los ejemplos más simples de ellos son:

${\displaystyle O_{n}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n},\quad E_{n}=y_{1}y_{2}\cdots y_{n}.}$

Los demás invariantes de monodromía pueden recuperarse desde diferentes puntos de vista: a través de la simetría de escala , como objetos combinatorios o como algunos determinantes . ^{[ 53 ]} Aquí se presenta el que involucra la simetría de escala.

Dejar${\displaystyle M\in \mathrm {GL} _{3}}$ser un levantamiento de la monodromía de un retorcido${\displaystyle n}$-gon. Las cantidades

${\displaystyle \Omega _{1}={\frac {\operatorname {trace} ^{3}(M)}{\det(M)}},\quad \Omega _{2}={\frac {\operatorname {trace} ^{3}(M^{-1})}{\det(M^{-1})}},}$

son independientes de la elección de elevación y son invariantes bajo conjugación , por lo que están bien definidas para la clase proyectiva del polígono. Son invariantes bajo el mapa del pentagrama, ya que la matriz de monodromía no cambia. ^{[ 54 ]} Ahora, las cantidades

${\displaystyle {\tilde {\Omega }}_{1}=O_{n}^{2}E_{n}\Omega _{1},\quad {\tilde {\Omega }}_{2}=O_{n}E_{n}^{2}\Omega _{2},}$

tienen las mismas propiedades, pero resultan ser polinomios en los invariantes de esquina. ^{[ i ]} Se pueden escribir como ^{[ 54 ]}

${\displaystyle {\tilde {\Omega }}_{1}={\biggl (}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }O_{k}{\biggr )}^{3},\quad {\tilde {\Omega }}_{2}={\biggl (}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }E_{k}{\biggr )}^{3},}$

donde cada${\displaystyle O_{k}}$y${\displaystyle E_{k}}$son polinomios homogéneos respectivamente de peso${\displaystyle k}$y${\displaystyle -k}$, ^{[ 55 ]} lo que significa que cambian bajo la acción de reescalado en las variables por ^{[ 54 ]}

${\displaystyle R_{s}(O_{k})=s^{k}O_{k},\quad R_{s}(E_{k})=s^{-k}E_{k}.}$

Las cantidades${\displaystyle O_{1},\dots ,O_{\lfloor n/2\rfloor },O_{n},E_{1},\dots ,E_{\lfloor n/2\rfloor },E_{n},}$no se ven afectados por la dinámica y se denominan invariantes de monodromía. Además, son algebraicamente independientes . ^{[ 52 ]}

En ( Ovsienko, Schwartz y Tabachnikov 2010 ) se encontró un corchete de Poisson invariante en el espacio de polígonos retorcidos . Los invariantes de monodromía conmutan con respecto a él:$${\displaystyle \{O_{i},O_{j}\}=\{O_{i},E_{j}\}=\{E_{i},E_{j}\}=0}$$a pesar de${\displaystyle i,j}$. ^{[ 59 ]}

El corchete de Poisson se define en términos de las coordenadas de las esquinas mediante:$${\displaystyle {\begin{aligned}\{x_{i},x_{i\pm 1}\}&=\mp x_{i}x_{i+1},\\\{y_{i},y_{i\pm 1}\}&=\mp y_{i}y_{i+1},\\\end{aligned}}}$$y$${\displaystyle \{x_{i},x_{j}\}=\{y_{i},y_{j}\}=\{x_{i},y_{j}\}=0}$$para todos los demás${\displaystyle i,j.}$^{[ 60 ]}

Dejar${\displaystyle \zeta }$ser un elemento del grupo multiplicativo y${\displaystyle P_{\zeta }}$sea ​​el polígono obtenido al aplicar la acción de reescalado${\displaystyle R_{\zeta }}$en${\displaystyle P}$Una matriz laxa${\displaystyle {\hat {T}}(\zeta )\in \mathrm {GL} _{3}}$es un levantamiento de la monodromía de${\displaystyle P_{\zeta }}$que satisface una ecuación de curvatura cero . ^{[ 61 ]} Entonces, la función espectral es el polinomio característico bivariado.$${\displaystyle Q(\lambda ,\zeta ):=\det(\lambda \operatorname {Id} -{\hat {T}}(\zeta )),}$$o alguna renormalización de la misma. La curva espectral es la completación proyectiva de la curva afín definida por la ecuación${\displaystyle Q(\lambda ,\zeta )=0}$. ^{[ 62 ]} Es invariante bajo el mapa del pentagrama, y ​​los invariantes de monodromía aparecen como los coeficientes de${\displaystyle Q}$. ^{[ 63 ]} Su género geométrico es${\displaystyle n-1}$si${\displaystyle n}$es extraño, y${\displaystyle n-2}$si${\displaystyle n}$es par. ^{[ 64 ]}

Se introdujo por primera vez en ( Soloviev 2013 ) para su demostración de integrabilidad algebraico-geométrica . ^{[ 65 ]}

La prueba de la integrabilidad del mapa del pentagrama en un polígono retorcido real se logró en ( Ovsienko, Schwartz y Tabachnikov 2010 ) . Esto se hace al notar que los invariantes de monodromía${\displaystyle O_{n}}$y${\displaystyle E_{n}}$son invariantes de Casimir para el corchete de Poisson, lo que significa (en este contexto) que$${\displaystyle \{O_{n},f\}=\{E_{n},f\}=0}$$para cada funcionamiento suave${\displaystyle f}$. ^{[ 59 ]} Cuando${\displaystyle n}$es par, esto también es cierto para los invariantes de monodromía${\displaystyle O_{\lfloor n/2\rfloor }}$y${\displaystyle E_{\lfloor n/2\rfloor }}$. ^{[ 59 ]}

This allows to consider the Casimir level set, where each Casimir invariant has a specified value. Because of Sard's theorem, any generic level set is a smooth manifold.^[66] This family of level sets forms a foliation in symplectic leaves, on which the Poisson bracket gives rise to a symplectic form.^[67]

Each of these symplectic leaves has an iso-monodromy foliation, namely, a decomposition into the common level sets of the remaining monodromy functions. By using again Sard's theorem, they are generically Lagrangian manifolds.^[68] Moreover, they are compact.^[69] Since the monodromy invariants Poisson-commute and there are enough of them, the discrete Liouville–Arnold theorem can be applied to prove that the level sets are flat tori over which the dynamics is a translation.^[70]

In (Soloviev 2013), it was shown that the pentagram map admits a Lax representation with a spectral parameter, which allows to prove its algebro-geometric integrability. This means that the space of polygons (either twisted or closed) is parametrized by its spectral data, consisting of its spectral curve, with marked points and a divisor given by a Floquet–Bloch equation. This gives an embedding to the Jacobian variety through the Abel–Jacobi map, where the motion is expressed in terms of translation.^[71] The previously defined Poisson bracket is also retrieved.^[72]

This integrability was generalized in (Weinreich 2022) from the field of complex numbers to any algebraically closed field of characteristic different from 2. The translation on a torus is replaced by a translation on an Abelian variety (in fact, a Jacobian variety again).^[73]

For twisted ${\displaystyle n}$-gons, the dimension of the invariant tori (or Jacobian varieties) is^[74]

${\displaystyle {\begin{cases}n-1&{\text{when }}n{\text{ is odd,}}\\n-2&{\text{when }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$

Moreover, when ${\displaystyle n}$Si es par, hay dos jacobianos isomorfos en los que se alternan las iteraciones del mapa del pentagrama. Pero en cada uno de ellos, la segunda iteración es una traslación. ^{[ 73 ]}

No existe una estructura de Poisson en el espacio de polígonos cerrados. ^{[ 75 ]} Sin embargo, la de los polígonos retorcidos puede utilizarse para demostrar la integrabilidad. ^{[ 76 ]}

La integrabilidad algebraico-geométrica se cumple para polígonos cerrados de la misma manera que para los retorcidos. ^{[ 77 ]} Sin embargo, la integrabilidad de Arnold-Liouville se demuestra para polígonos cerrados reales solo cuando son convexos. Esto se logra restringiendo los campos vectoriales hamiltonianos de las funciones de monodromía a toros de menor dimensión y demostrando que suficientes de ellos siguen siendo independientes. ^{[ 78 ]}

En ambas situaciones, la dimensión de las variedades invariantes disminuye en${\displaystyle 3}$para cerrado${\displaystyle n}$-gonos (en comparación con el caso retorcido), y es igual a ^{[ 77 ] [ 79 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}n-4&{\text{when }}n{\text{ is odd,}}\\n-5&{\text{when }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$

El límite continuo de un polígono convexo es una curva convexa parametrizada en el plano. Cuando el parámetro de tiempo se elige adecuadamente, el límite continuo del mapa del pentagrama es la ecuación de Boussinesq . Esta ecuación diferencial parcial modela las olas del agua bajo ciertas condiciones, lo que constituye un ejemplo clásico de sistema integrable . ^{[ 80 ]}

Aquí se describe la acción geométrica de la ecuación de Boussinesq. Dada una curva localmente convexa${\displaystyle C:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$y números reales${\displaystyle x}$y${\displaystyle t}$, considere el cordón que conecta${\displaystyle C(x-t)}$a${\displaystyle C(x+t)}$La envolvente de todos estos acordes es una nueva curva .${\displaystyle C_{t}(x)}$. Cuando${\displaystyle t}$es extremadamente pequeño, la curva${\displaystyle C_{t}(x)}$es un buen modelo para el momento${\displaystyle t}$evolución de la curva original${\displaystyle C_{0}(x)}$bajo la ecuación de Boussinesq. Esta construcción también es similar al mapa del pentagrama. Además, el corchete invariante del pentagrama es una discretización de un corchete de Poisson invariante asociado a la ecuación de Boussinesq. ^{[ 81 ]}

El mapa del pentagrama ^{[ 82 ]} y algunas de sus generalizaciones ^{[ 83 ] [ 84 ]} se identifican como casos especiales de sistemas dinámicos discretos impulsados ​​por álgebras de clúster . Utilizando los resultados de ( Goncharov y Kenyon 2013 ) , esto proporciona un vínculo con los grupos de Poisson-Lie , los modelos de dímeros y otros sistemas denominados integrables en clúster. ^{[ 85 ] [ 86 ]} Estos métodos permiten recuperar el corchete de Poisson y los hamiltonianos utilizados para demostrar la integrabilidad completa ^{[ 87 ]} y proporcionan representaciones de Lax . ^{[ 88 ]}

Utilizando un método para calcular determinantes llamado condensación de Dodgson , ( Schwartz 2008 ) demuestra que el mapa del pentagrama satisface una propiedad llamada "recurrencia del octaedro". ^{[ 89 ]} Esta propiedad resulta ser compartida por otros sistemas dinámicos definidos por construcciones geométricas similares a una del mapa del pentagrama. ^{[ 90 ]} También es compartida por mapas de pentagramas de dimensiones superiores definidos a través de mutaciones de álgebras de clúster, denominadas${\displaystyle T}$-sistemas. ^{[ 91 ]}

El mapa del pentagrama exhibe una propiedad llamada confinamiento de singularidad, que es un fenómeno típico en sistemas integrables . ^{[ 92 ]} Afirma que si un polígono${\displaystyle P}$es singular para el mapa del pentagrama${\displaystyle T}$, entonces existe un número entero${\displaystyle m}$de tal manera que${\displaystyle P}$no singular para el mapa de iteración${\displaystyle T^{m}}$. ^{[ 93 ]}

Además, el mapa del pentagrama (junto con algunas de sus generalizaciones y otros sistemas dinámicos discretos) exhibe la propiedad de Devron. ^{[ n ]} Esto significa que si un polígono${\displaystyle P}$es singular para alguna iteración del mapa del pentagrama${\displaystyle T^{m}}$, entonces también será singular para alguna iteración del mapa inverso${\displaystyle T^{-m'}}$. ^{[ 95 ]}

Dejar${\displaystyle d\geq 2}$y${\displaystyle P}$ser un polígono retorcido de${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$en posición general .

Un polígono retorcido${\displaystyle P}$acostado en${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$Se dice que es corrugado si por alguna razón${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, los vértices${\displaystyle v_{k},v_{k+1},v_{k+d},v_{k+d+1}}$abarcan un plano proyectivo bidimensional. Dichos polígonos no están en posición general . Un nuevo punto se define por

${\displaystyle T_{\text{cor}}v_{k}:={\overline {v_{k}v_{k+d}}}\cap {\overline {v_{k+1}v_{k+d+1}}}.}$

El mapa${\displaystyle T_{\text{cor}}}$produce un nuevo polígono corrugado. Esta dinámica es completamente integrable en el sentido de Liouville . ^{[ 106 ]}

De hecho, pueden recuperarse como un mapa de pentagramas abollados aplicado sobre polígonos corrugados. ^{[ 107 ]}

Dejar${\displaystyle d\geq 3,m\geq 1}$sean enteros. El mapa del pentagrama también se puede generalizar al espacio grassmanniano .${\displaystyle \mathrm {Gr} (m,md)}$, que consiste en${\displaystyle m}$- subespacios lineales dimensionales de un${\displaystyle md}$Espacio vectorial de dimensión . Cuando${\displaystyle m=1}$, los subespacios lineales son líneas , lo que recupera la definición de espacios proyectivos${\displaystyle \mathbb {P} ^{d}}$. ^{[ 108 ]}

Un punto${\displaystyle v\in \operatorname {Gr} (m,md)}$está representado por un${\displaystyle md\times m}$matriz${\displaystyle X_{v}}$de tal manera que sus columnas forman una base de${\displaystyle v}$Consideremos la acción del grupo lineal general${\displaystyle \mathrm {GL} _{md}}$mediante la multiplicación a la izquierda de${\displaystyle X_{v}}$. Esto define una acción sobre la Grassmanniana, aunque no sea fiel . ^{[ o ]} Por lo tanto, los polígonos de${\displaystyle \mathrm {Gr} (m,md)}$y sus espacios de módulos se definen como antes, después del cambio de grupo subyacente. ^{[ 108 ]}

Dependiendo de la paridad de${\displaystyle d}$, se pueden definir subespacios lineales generados por algún${\displaystyle X_{v_{k}}}$es tal que tomar su intersección define genéricamente un nuevo punto${\displaystyle v\in \mathrm {Gr} (m,md)}$. ^{[ 109 ]} Esta generalización del mapa del pentagrama es integrable en un sentido no conmutativo . ^{[ 110 ]}

El mapa del pentagrama admite una generalización al considerar planos proyectivos sobre anillos establemente finitos , en lugar de cuerpos . En particular, esto recupera el mapa del pentagrama sobre grassmannianos. Nuevamente, admite una representación de Lax . ^{[ 111 ]}