Álgebra de clúster

Si { x } es el clúster de una semilla de rango 1, entonces la única mutación lo lleva a {2 x ⁻¹ }. Así que un álgebra de clústeres de rango 1 es simplemente un anillo k [ x , x ⁻¹ ] de polinomios de Laurent , y tiene solo dos clústeres, { x } y {2 x ⁻¹ }. En particular, es de tipo finito y está asociada con el diagrama de Dynkin A ₁ .

Supongamos que comenzamos con el clúster { x ₁ , x ₂ } y tomamos la matriz de intercambio con b ₁₂ = –b ₂₁ = 1. Entonces la mutación da una secuencia de variables x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ,... tales que los clústeres están dados por pares adyacentes { x _n , x _{n +1} }. Las variables están relacionadas por

${\displaystyle \displaystyle x_{n-1}x_{n+1}=1+x_{n},}$

así que vienen dadas por la secuencia

${\displaystyle x_{1},\ x_{2},\ x_{3}={\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},\ x_{4}={\frac {1+x_{3}}{x_{2}}}={\frac {1+x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}},}$

${\displaystyle x_{5}={\frac {1+x_{4}}{x_{3}}}={\frac {1+x_{1}}{x_{2}}},\ x_{6}={\frac {1+x_{5}}{x_{4}}}=x_{1},\ x_{7}={\frac {1+x_{6}}{x_{5}}}=x_{2},\ \ldots }$

que se repite con un período de 5. Por lo tanto, esta álgebra de clúster tiene exactamente 5 clústeres y, en particular, es de tipo finito. Está asociada con el diagrama de Dynkin A ₂ .

Existen ejemplos similares con b ₁₂ = 1, – b ₂₁ = 2 o 3, donde la secuencia análoga de variables de clúster se repite con un periodo de 6 u 8. Estos también son de tipo finito y están asociados con los diagramas de Dynkin B ₂ y G ₂ . Sin embargo, si | b ₁₂ b ₂₁ | ≥ 4, entonces la secuencia de variables de clúster no es periódica y el álgebra de clúster es de tipo infinito.

Supongamos que comenzamos con el carcaj x ₁ → x ₂ → x ₃ . Entonces los 14 grupos son:

${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},x_{2},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{x_{1},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},x_{2},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},x_{3}\right\},}$

${\displaystyle \left\{x_{1},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{x_{1},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}}\right\},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}}\right\}.}$

Hay 6 variables de clúster además de las 3 iniciales x ₁ , x ₂ , x ₃ dadas por

${\displaystyle {\frac {1+x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{1}+x_{3}}{x_{2}}},{\frac {1+x_{2}}{x_{3}}},{\frac {x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}},{\frac {(1+x_{2})x_{1}+(1+x_{2})x_{3}}{x_{1}x_{2}x_{3}}}}$.

Corresponden a las 6 raíces positivas del diagrama de Dynkin A ₃ : más precisamente, los denominadores son monomios en x ₁ , x ₂ , x ₃ , que corresponden a la expresión de raíces positivas como suma de raíces simples. Las 3+6 variables de clúster generan un álgebra de clúster de tipo finito, asociada al diagrama de Dynkin A ₃ . Los 14 clústeres son los vértices del grafo de clúster , que es un asociaedro .

Ejemplos sencillos los proporcionan las álgebras de funciones homogéneas sobre las grassmannianas . Las coordenadas de Plücker ofrecen algunos de los elementos más destacados.

Para el grassmanniano de planos en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$La situación es aún más sencilla. En ese caso, las coordenadas de Plücker proporcionan todos los elementos distintivos y los clústeres pueden describirse completamente mediante triangulaciones de un polígono regular con n vértices. Más precisamente, los clústeres se corresponden biunívocamente con las triangulaciones y los elementos distintivos se corresponden biunívocamente con las diagonales (segmentos de línea que unen dos vértices del polígono). Se puede distinguir entre las diagonales del límite, que pertenecen a cada clúster, y las diagonales del interior. Esto corresponde a una distinción general entre variables de coeficiente y variables de clúster.

Supongamos que S es una superficie de Riemann compacta, conexa y orientada , y M es un conjunto finito no vacío de puntos en S que contiene al menos un punto de cada componente del borde de S (no se asume que el borde de S sea vacío ni no vacío). El par ( S , M ) se suele denominar superficie bordeada con puntos marcados . Fomin-Shapiro-Thurston demostraron que si S no es una superficie cerrada, o si M tiene más de un punto, entonces los arcos (etiquetados) en ( S , M ) parametrizan el conjunto de variables de clúster de cierta álgebra de clúster A ( S , M ), que depende solo de ( S , M ) y de la elección de algún sistema de coeficientes, de tal manera que el conjunto de triangulaciones (etiquetadas) de ( S , M ) está en correspondencia biunívoca con el conjunto de clústeres de A ( S , M ), y dos triangulaciones (etiquetadas) están relacionadas por un cambio si y solo si los clústeres a los que corresponden están relacionados por mutación de clúster.

Para${\displaystyle G}$un grupo reductivo como${\displaystyle GL_{n}}$con subgrupos de Borel${\displaystyle B_{\pm }}$entonces en${\displaystyle G^{u,v}=BuB\cap B_{-}vB_{-}}$(dónde${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$están en el grupo Weyl ) hay diagramas de coordenadas de clúster que dependen de descomposiciones de palabras reducidas de${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$Estos se denominan parámetros de factorización y su estructura está codificada en un diagrama de cableado. Con solo${\displaystyle B}$o solo${\displaystyle B_{-}}$, esta es la descomposición de Bruhat .

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• Zelevinsky, Andrei (2007), "¿Qué es... un álgebra de clúster?" (PDF) , AMS Notices , 54 ( 11): 1494–1495.

• El mapa del pentagrama , un sistema dinámico discreto que puede interpretarse como un álgebra de clúster.

• Portal de álgebra Cluster de Fomin
• Los trabajos de Fomin sobre álgebras de clúster