Patológico (matemáticas)

En matemáticas , cuando un fenómeno matemático contradice alguna intuición , a veces se le denomina patológico . Por otro lado, si un fenómeno no contradice la intuición, a veces se le denomina bien comportado o agradable . Estos términos resultan útiles en ocasiones en la investigación y la enseñanza de las matemáticas, pero no existe una definición matemática estricta de patológico o bien comportado. ^{[ 1 ]}

Un ejemplo clásico de patología es la función de Weierstrass , una función continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna. ^{[ 1 ]} La suma de una función diferenciable y la función de Weierstrass es también continua pero no diferenciable en ninguna parte; por lo tanto, existen al menos tantas funciones de este tipo como funciones diferenciables. De hecho, utilizando el teorema de la categoría de Baire , se puede demostrar que las funciones continuas son genéricamente no diferenciables en ninguna parte. ^{[ 2 ]}

Estos ejemplos fueron considerados patológicos cuando se descubrieron por primera vez. Para citar a Henri Poincaré : ^{[ 3 ]}

La lógica a veces engendra monstruos. Durante medio siglo, han surgido multitud de funciones extrañas que parecen esforzarse por tener la menor semejanza posible con las funciones honestas y útiles. Adiós a la continuidad, o continuidad pero sin derivadas, etc. Más aún, desde el punto de vista de la lógica, son estas funciones extrañas las más generales; aquellas que aparecen de forma inesperada ya no parecen ser más que un caso particular, y apenas les queda un pequeño margen de maniobra.

Antiguamente, cuando se inventaba una nueva función, era con un fin práctico. Hoy en día, se inventan con el propósito de demostrar que los razonamientos de nuestros antepasados ​​eran erróneos, y nunca obtendremos nada más de ellas.

Si la lógica fuera la única guía del profesor, tendría que empezar por las funciones más generales, es decir, por las más extrañas. Tendría que obligar al principiante a enfrentarse a esta colección de complejidades. Si no se hace así, dirían los lógicos, solo se alcanzará la exactitud por etapas.

Desde Poincaré, no se ha demostrado que aparezcan funciones no diferenciables en ningún punto en procesos físicos y biológicos básicos, como el movimiento browniano , ni en aplicaciones como el modelo Black-Scholes en finanzas.

Contraejemplos en análisis es un libro completo de tales contraejemplos. ^{[ 4 ]}

Otro ejemplo de función patológica es la función continua de Du-Bois Reymond , que no puede representarse como una serie de Fourier . ^{[ 5 ]}

Un contraejemplo famoso en topología es la esfera con cuernos de Alexander ^{, que muestra que la} incrustación topológica de la esfera S² en R³ puede no separar el espacio de forma limpia. Como contraejemplo, motivó a los matemáticos a definir la propiedad de mansedumbre , que suprime el tipo de comportamiento salvaje que exhiben la esfera con cuernos, el nudo salvaje y otros ejemplos similares. ^{[ 6 ]}

Al igual que muchas otras patologías, la esfera con cuernos, en cierto sentido, se basa en una estructura infinitamente fina y generada recursivamente, que en el límite viola la intuición ordinaria. En este caso, la topología de una cadena siempre descendente de bucles entrelazados de piezas continuas de la esfera en el límite refleja plenamente la de la esfera común, y cabría esperar que su exterior, tras una incrustación, funcionara de la misma manera. Sin embargo, no es así: no se puede conectar simplemente .

Para la teoría subyacente, véase el teorema de Jordan-Schönflies .

Contraejemplos en Topología es un libro completo de tales contraejemplos. ^{[ 7 ]}

En una secuencia de cuatro artículos publicados en el American Journal of Mathematics entre 1961 y 1975, David Mumford exploró el comportamiento "patológico" en la geometría algebraica. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} Sus ejemplos se dividen en dos tipos: (a) mal comportamiento en característica p y (b) mal comportamiento en espacios de módulos .

Mumford escribió en el artículo de 1962 titulado "Más patologías en geometría algebraica" :

Una variedad p característica no singular es análoga a una variedad compleja no Kähler general; en particular, una incrustación proyectiva de dicha variedad no es tan fuerte como una métrica Kähler en una variedad compleja, y los teoremas de Hodge-Lefschetz-Dolbeault sobre cohomología de haces se rompen de todas las maneras posibles. ^{[ 12 ]}

1. En Pathologies I ( Patologías de superficies algebraicas modulares ), Mumford (a) encuentra una forma diferencial regular en todas partes sobre una superficie proyectiva lisa que no es cerrada, y muestra que la simetría de Hodge falla para superficies de Enriques clásicas en característica dos. Este ejemplo se desarrolla más en el tercer artículo de Mumford sobre la clasificación de superficies en característica p (escrito con Enrico Bombieri ). Puede explicarse en términos del esquema de Picard de la superficie, y en particular, su fallo para ser un esquema reducido , un tema desarrollado en el libro de Mumford Lectures on Curves on an Algebraic Surface . Las patologías relacionadas con la p-torsión en la cohomología cristalina fueron exploradas posteriormente por Luc Illusie . ^{[ 13 ]}
2. En Pathologies II ( Patologías adicionales en geometría algebraica ), Mumford (a) da un ejemplo simple de una superficie en característica p donde el género geométrico es distinto de cero, pero el segundo número de Betti es igual al rango del grupo de Néron-Severi . Otros ejemplos similares aparecen en la teoría de superficies de Zariski . También conjeturó que el teorema de anulación de Kodaira es falso para superficies en característica p . Mumford también (b) encuentra que el esquema de Hilbert que parametriza curvas espaciales de grado 14 y género 24 tiene un componente múltiple. En 2006, Ravi Vakil en su artículo "La ley de Murphy en geometría algebraica" demostró que los esquemas de Hilbert pueden ser arbitrariamente "malos", con un número ilimitado de componentes y con multiplicidades arbitrariamente grandes. ^{[ 14 ]}
3. En Patologías III, (a) da un ejemplo de una superficie normal para la cual falla el desvanecimiento de Kodaira. El primer ejemplo de una superficie lisa para la cual falla el desvanecimiento de Kodaira fue dado por Michel Raynaud en 1978.
4. En Patologías IV, él (b) encuentra curvas completas reducidas e irreductibles que no son especializaciones de curvas no singulares.

Los matemáticos (y quienes se dedican a ciencias afines) suelen hablar de si un objeto matemático —una función , un conjunto , un espacio de diversa índole— se comporta correctamente . Si bien el término carece de una definición formal fija, generalmente se refiere a la cualidad de satisfacer una serie de condiciones predominantes, que pueden depender del contexto, los intereses matemáticos, las tendencias y las preferencias. Para asegurar que un objeto se comporte correctamente, los matemáticos introducen axiomas adicionales para delimitar el ámbito de estudio. Esto facilita el análisis, pero conlleva una pérdida de generalidad en las conclusiones alcanzadas.

Tanto en matemáticas puras como aplicadas (por ejemplo, optimización , integración numérica , física matemática ), un comportamiento adecuado también significa no violar ninguna de las suposiciones necesarias para aplicar con éxito el análisis que se esté discutiendo.

El caso opuesto suele denominarse "patológico". No es raro encontrar situaciones en las que la mayoría de los casos (en términos de cardinalidad o medida ) sean patológicos, pero estos casos patológicos no se presentarán en la práctica, a menos que se construyan deliberadamente.

El término "bien comportado" se aplica generalmente en un sentido absoluto : algo se comporta bien o no se comporta bien. Por ejemplo:

• En la inferencia algorítmica , una estadística bien comportada es monótona, está bien definida y es suficiente .
• En el teorema de Bézout , dos polinomios se comportan bien y, por lo tanto, la fórmula que proporciona el teorema para el número de sus intersecciones es válida, si su máximo común divisor es una constante.
• Una función meromorfa es una razón de dos funciones bien comportadas, en el sentido de que esas dos funciones son holomorfas .
• Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son condiciones necesarias de primer orden para que la solución de un problema de programación no lineal bien comportado sea óptima; se dice que un problema está bien comportado si se cumplen ciertas condiciones de regularidad.
• En probabilidad , los eventos contenidos en la sigma-álgebra correspondiente del espacio de probabilidad se comportan adecuadamente, al igual que las funciones medibles .

Curiosamente, el término también podría aplicarse en sentido comparativo:

• En cálculo :
  • Las funciones analíticas se comportan mejor que las funciones suaves generales .
  • Las funciones suaves se comportan mejor que las funciones diferenciables generales.
  • Las funciones continuas diferenciables se comportan mejor que las funciones continuas generales. Cuanto mayor sea el número de veces que se puede diferenciar una función, mejor será su comportamiento.
  • Las funciones continuas se comportan mejor que las funciones integrables de Riemann en conjuntos compactos.
  • Las funciones integrables de Riemann se comportan mejor que las funciones integrables de Lebesgue .
  • Las funciones integrables de Lebesgue se comportan mejor que las funciones generales.
• En topología :
  • Las funciones continuas se comportan mejor que las discontinuas.
  • El espacio euclidiano se comporta mejor que la geometría no euclidiana .
  • Los puntos fijos atractivos se comportan mejor que los puntos fijos repulsivos.
  • Las topologías de Hausdorff se comportan mejor que las de una topología general arbitraria .
  • Los conjuntos de Borel se comportan mejor que los conjuntos arbitrarios de números reales .
  • Los espacios con dimensión entera se comportan mejor que los espacios con dimensión fractal .
• En álgebra abstracta :
  • Los grupos se comportan mejor que los magmas y los semigrupos .
  • Los grupos abelianos se comportan mejor que los grupos no abelianos.
  • Los grupos abelianos generados de forma finita se comportan mejor que los grupos abelianos generados de forma no finita.
  • Los espacios vectoriales de dimensión finita se comportan mejor que los de dimensión infinita .
  • Los campos se comportan mejor que los campos sesgados o los anillos generales .
  • Las extensiones de campo separables se comportan mejor que las no separables.
  • Las álgebras de división normadas se comportan mejor que las álgebras de composición generales.

Los ejemplos patológicos suelen presentar propiedades indeseables o inusuales que dificultan su inclusión o explicación dentro de una teoría. Estos comportamientos patológicos a menudo impulsan nuevas investigaciones, lo que conduce a nuevas teorías y resultados más generales. Algunos ejemplos históricos importantes de esto son:

• El voto por orden de preferencia se describe comúnmente como una función de elección social patológica , debido a su tendencia a eliminar candidatos por obtener demasiados votos . ^{[ 15 ]}
• El descubrimiento de los números irracionales por la escuela de Pitágoras en la antigua Grecia; por ejemplo, la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario , es decir${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• El descubrimiento de los números complejos en el siglo XVI con el fin de hallar las raíces de funciones polinómicas cúbicas y cuárticas .
• Algunos campos numéricos tienen anillos de enteros que no forman un dominio de factorización único , por ejemplo el campo extendido.${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$.
• El descubrimiento de fractales y otros objetos geométricos "rugosos" (véase dimensión de Hausdorff ).
• Función de Weierstrass , una función de valores reales en la recta real , que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna. ^{[ 1 ]}
• Las funciones de prueba en análisis real y teoría de la distribución son funciones infinitamente diferenciables en la recta real que son 0 en todas partes fuera de un intervalo limitado dado . Un ejemplo de tal función es la función de prueba,$${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}e^{-1/(1-t^{2})},&-1<t<1,\\0,&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$$
• El conjunto de Cantor es un subconjunto del intervalo${\displaystyle [0,1]}$que tiene medida cero pero es incontable .
• El conjunto grueso de Cantor no es denso en ningún lugar , pero tiene una medida positiva .
• La función de Fabius es suave en todas partes , pero analítica en ninguna .
• La función de Volterra es diferenciable con derivada acotada en todas partes, pero la derivada no es integrable de Riemann .
• La curva de Peano que llena el espacio es una función sobreyectiva continua que mapea el intervalo unitario.${\displaystyle [0,1]}$sobre${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$.
• La función de Dirichlet , que es la función indicadora para los números racionales, es una función acotada que no es integrable en el sentido de Riemann .
• La función de Cantor es una función sobreyectiva continua monótona que mapea${\displaystyle [0,1]}$sobre${\displaystyle [0,1]}$, pero tiene derivada cero en casi todas partes .
• La función de interrogación de Minkowski es continua y estrictamente creciente, pero tiene derivada cero en casi todas partes.
• Se pueden construir clases de satisfacción que contengan enunciados aritméticos "intuitivamente falsos" para modelos contables y recursivamente saturados de la aritmética de Peano .
• La curva de Osgood es una curva de Jordan (a diferencia de la mayoría de las curvas que llenan el espacio ) de área positiva .
• Una esfera exótica es homeomorfa pero no difeomorfa a la n-esfera euclidiana estándar .

En el momento de su descubrimiento, cada uno de estos ejemplos se consideraba altamente patológico; hoy en día, todos se han integrado en la teoría matemática moderna. Estos ejemplos impulsan a quienes los observan a corregir sus creencias o intuiciones, y en algunos casos requieren una reevaluación de definiciones y conceptos fundamentales. A lo largo de la historia, han dado lugar a una matemática más correcta, más precisa y más potente. Por ejemplo, la función de Dirichlet es integrable según Lebesgue, y la convolución con funciones de prueba se utiliza para aproximar cualquier función localmente integrable mediante funciones suaves. ^{[ Nota 1 ]}

Determinar si un comportamiento es patológico depende, por definición, de la intuición personal. Las patologías dependen del contexto, la formación y la experiencia, y lo que para un investigador es patológico, para otro puede ser un comportamiento normal.

Los ejemplos patológicos pueden mostrar la importancia de los supuestos en un teorema. Por ejemplo, en estadística , la distribución de Cauchy no satisface el teorema del límite central , aunque su forma de campana simétrica parezca similar a la de muchas distribuciones que sí lo satisfacen; no cumple con el requisito de tener una media y una desviación estándar que existan y sean finitas.

Algunas de las paradojas más conocidas , como la paradoja de Banach-Tarski y la paradoja de Hausdorff , se basan en la existencia de conjuntos no medibles . Los matemáticos, a menos que adopten la postura minoritaria de negar el axioma de elección , generalmente se resignan a convivir con dichos conjuntos.

En informática , el término "patológico" tiene un sentido ligeramente diferente en lo que respecta al estudio de algoritmos . Aquí, se dice que una entrada (o conjunto de entradas) es patológica si provoca un comportamiento atípico del algoritmo, como una violación de su complejidad promedio o incluso de su corrección. Por ejemplo, las tablas hash generalmente tienen entradas patológicas: conjuntos de claves que colisionan en los valores hash. Quicksort normalmente tiene${\displaystyle O(n\log {n})}$complejidad temporal, pero se deteriora a${\displaystyle O(n^{2})}$cuando se le proporciona una entrada que desencadena un comportamiento subóptimo.

El término se usa a menudo de forma peyorativa, para descartar tales entradas como diseñadas específicamente para romper una rutina que, en la práctica, es correcta (compárese con bizantino ). Por otro lado, es importante conocer las entradas patológicas, ya que pueden ser explotadas para lanzar un ataque de denegación de servicio contra un sistema informático. Además, el término en este sentido es una cuestión de juicio subjetivo, al igual que en sus otros sentidos. Con suficiente tiempo de ejecución, una comunidad de usuarios suficientemente grande y diversa (u otros factores), una entrada que podría descartarse como patológica podría ocurrir de hecho (como se vio en el primer vuelo de prueba del Ariane 5 ).

Un fenómeno similar pero distinto es el de los objetos excepcionales (e isomorfismos excepcionales ), que se produce cuando hay un número reducido de excepciones a un patrón general (como un conjunto finito de excepciones a una regla que, de otro modo, sería infinita). Por el contrario, en los casos de patología, a menudo la mayoría o casi todas las instancias de un fenómeno son patológicas (por ejemplo, casi todos los números reales son irracionales).

Subjetivamente, los objetos excepcionales (como el icosaedro o los grupos simples esporádicos ) se consideran generalmente "bellos", ejemplos inesperados de una teoría, mientras que los fenómenos patológicos suelen considerarse "feos", como su nombre indica. En consecuencia, las teorías suelen ampliarse para incluir objetos excepcionales. Por ejemplo, las álgebras de Lie excepcionales se incluyen en la teoría de las álgebras de Lie semisimples : los axiomas se consideran válidos y los objetos excepcionales, inesperados pero válidos.

Por el contrario, los ejemplos patológicos se utilizan para señalar deficiencias en los axiomas, lo que exige axiomas más estrictos para descartarlos. Por ejemplo, exigir que la incrustación de una esfera en el problema de Schönflies sea dócil. En general, se puede estudiar la teoría más general, incluyendo las patologías, que pueden aportar sus propias simplificaciones (los números reales tienen propiedades muy diferentes a las de los racionales, y de igual modo, las aplicaciones continuas tienen propiedades muy diferentes a las de las suaves), pero también la teoría más específica, de la que se extrajeron los ejemplos originales.

• Curva fractal
• Lista de jerga matemática
• El fenómeno de Runge
• Fenómeno de Gibbs
• Conjunto paradójico

• Estructuras patológicas y fractales – Extracto de un artículo de Freeman Dyson , "Caracterización de la irregularidad", Science, mayo de 1978.

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