0

W zależności od kontekstu, liczba zero lub koncepcja zera mogą być różnie określane. W odniesieniu do prostego pojęcia braku często używa się słów „ nic ” ( choć nie jest to dokładne ) i „żaden”. Angielskie słowa „nought” lub „naught” , „ nil ” i „null ” są również synonimami. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Często jest nazywany „oh” w kontekście odczytywania ciągu cyfr, takiego jak numery telefonów , adresy , numery kart kredytowych , czas wojskowy lub lata. Na przykład, kod kierunkowy 201 można wymawiać „dwa o jeden”, a rok 1907 często wymawia się „dziewiętnaście o siedem”. Obecność innych cyfr, wskazująca, że ​​ciąg zawiera wyłącznie cyfry, zapobiega pomyleniu z literą „O”. Z tego powodu systemy zawierające ciągi zawierające zarówno litery, jak i cyfry (takie jak kody pocztowe w Wielkiej Brytanii ) mogą wykluczać użycie litery „O”. ^{[ 7 ]}

Do slangowych określeń zera należą „zip”, „zilch”, „nada” i „scratch”. ^{[ 8 ]} W kontekście sportowym „nil” jest czasami używane, zwłaszcza w brytyjskiej odmianie języka angielskiego . W kilku dyscyplinach sportowych istnieją specyficzne słowa oznaczające wynik zero, takie jak „ love ” w tenisie – prawdopodobnie z francuskiego l'œuf , „jajko” – i „ duck ” w krykiecie , skrót od „duck's egg”. „Goose egg” to kolejny ogólny slangowy termin oznaczający zero. ^{[ 8 ]}

W systemach liczbowych pozycyjnych (takich jak standardowy zapis dziesiętny liczb) cyfra 0 pełni rolę symbolu zastępczego, wskazując, że niektóre potęgi podstawy nie mają znaczenia. Na przykład liczba dziesiętna 205 to suma dwóch setek i pięciu jedności, przy czym cyfra 0 oznacza, że ​​nie dodaje się dziesiątek. Cyfra pełni tę samą rolę w ułamkach dziesiętnych i w dziesiętnej reprezentacji innych liczb rzeczywistych (wskazując obecność części dziesiątych, setnych, tysięcznych itd.) oraz w systemach o innej podstawie niż 10 (na przykład w systemie binarnym, gdzie wskazuje, które potęgi liczby 2 są pomijane). ^{[ 9 ]}

Liczba 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą nieujemną i największą liczbą całkowitą niedodatnią. Liczbą naturalną następującą po 0 jest 1 i żadna liczba naturalna nie poprzedza 0. Liczbę 0 można uważać za liczbę naturalną lub nie , ^{[ 10 ] [ 11 ]} , ale jest ona liczbą całkowitą , a zatem liczbą wymierną i liczbą rzeczywistą . ^{[ 12 ]} Zero jest liczbą parzystą ^{[ 13 ]} (czyli wielokrotnością 2), a także jest całkowitą wielokrotnością dowolnej innej liczby całkowitej. ^{[ 14 ]} Nie jest ani liczbą pierwszą , ani liczbą złożoną . ^{[ 15 ]}

Liczbę 0 nie uważa się za liczbę ani dodatnią, ani ujemną ^{[ 16 ]} i zwykle przedstawia się ją jako początek osi liczbowej . ^{[ 17 ]} Gdy liczby rzeczywiste zostaną rozszerzone w celu utworzenia liczb zespolonych , 0 staje się początkiem płaszczyzny zespolonej. ^{[ 18 ]}

Poniżej przedstawiono podstawowe zasady postępowania z liczbą 0. Zasady te dotyczą dowolnej liczby rzeczywistej i zespolonej x , chyba że zaznaczono inaczej.

• Dodawanie : x + 0 = 0 + x = x . Oznacza to, że 0 jest elementem neutralnym (lub elementem neutralnym) w odniesieniu do dodawania. ^{[ 19 ]}
• Odejmowanie : x − 0 = x i 0 − x = − x . ^{[ 20 ]}
• Mnożenie : x · 0 = 0 · x = 0. ^{[ 21 ]} Odwrotna zależność również obowiązuje: jeśli x · y = 0, to x=0 lub y=0.

• Dzielenie : ⁠ 0 / x ⁠ = 0, dla x różnego od zera . Jednak ⁠ x / 0 ⁠ jest niezdefiniowane , ponieważ 0 nie ma odwrotności mnożnikowej (żadna liczba rzeczywista pomnożona przez 0 nie daje 1), co jest konsekwencją poprzedniej reguły. ^{[ 22 ]}
• Potęgowanie : x ⁰ = ⁠ x / x ⁠ = 1, z tą różnicą, że przypadek x = 0 jest w niektórych kontekstach uważany za niezdefiniowany. Dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych x , 0 ^x = 0 . ^{[ 23 ]}

Wyrażenie ⁠ 0 / 0 ⁠ , które można uzyskać w próbie określenia granicy wyrażenia w postaci ⁠ f ( x ) / g ( x ) ⁠ w wyniku niezależnego zastosowania operatora lim do obu operandów ułamka, jest tzw. „ postacią nieokreśloną ”. Nie oznacza to, że poszukiwana granica jest koniecznie nieokreślona; oznacza to raczej, że granica ⁠ f ( x ) / g ( x ) ⁠ , jeśli istnieje, musi zostać znaleziona inną metodą, taką jak reguła l'Hôpitala . ^{[ 24 ]}

Suma liczb 0 ( suma pusta ) wynosi 0, a iloczyn liczb 0 ( iloczyn pusty ) wynosi 1. Silnia 0! jest równa 1, jako szczególny przypadek iloczynu pustego. ^{[ 25 ]}

Rolę 0 jako najmniejszej liczby zliczeniowej można uogólnić lub rozszerzyć na różne sposoby. W teorii mnogości 0 to kardynalność zbioru pustego (oznaczana jako „{ }”, „${\textstyle \emptyset}$", lub "∅"): jeśli nie ma się żadnych jabłek, to ma się 0 jabłek. W rzeczywistości w pewnych aksjomatycznych rozwinięciach matematyki z teorii mnogości 0 definiuje się jako zbiór pusty. ^{[ 26 ]} W takim przypadku zbiór pusty jest przyporządkowaniem kardynalnym von Neumanna dla zbioru bezelementowego, który jest zbiorem pustym. ^{[ 27 ]}

Również w teorii mnogości 0 jest najniższą liczbą porządkową , odpowiadającą zbiorowi pustemu, rozumianemu jako zbiór uporządkowany . W teorii porządku (a zwłaszcza w jej poddziedzinie, teorii krat ) , 0 może oznaczać najmniejszy element kraty lub innego zbioru częściowo uporządkowanego .

Rola 0 jako identyczności addytywnej wykracza poza algebrę elementarną. W algebrze abstrakcyjnej 0 jest powszechnie używane do oznaczenia elementu zerowego , który jest elementem identyczności dla dodawania (jeśli zdefiniowany w rozważanej strukturze) i elementem absorbującym dla mnożenia (jeśli zdefiniowany). Przykłady obejmują elementy identyczności grup addytywnych i przestrzeni wektorowych . Innym przykładem jest funkcja zerowa (lub odwzorowanie zerowe ) w dziedzinie D. Jest to funkcja stała, której jedyną możliwą wartością wyjściową jest 0, to znaczy, że jest funkcją f zdefiniowaną przez f ( x ) = 0 dla wszystkich x w D. Jako funkcja z liczb rzeczywistych do liczb rzeczywistych, funkcja zerowa jest jedyną funkcją, która jest zarówno parzysta, jak i nieparzysta .

Liczba 0 jest również wykorzystywana na wiele innych sposobów w różnych gałęziach matematyki:

• Miejsce zerowe funkcji f to punkt x w dziedzinie funkcji taki, że f ( x ) = 0 .
• W logice zdań 0 może być używane do oznaczenia wartości logicznej fałszu.
• W teorii prawdopodobieństwa 0 jest najmniejszą dopuszczalną wartością prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia. ^{[ 28 ]}
• Teoria kategorii wprowadza koncepcję obiektu zerowego , często oznaczanego jako 0, i powiązaną z nią koncepcję morfizmów zerowych , które uogólniają funkcję zerową. ^{[ 29 ]}

Cyfry starożytnego Egiptu miały podstawę 10. ^{[ 30 ]} Używano hieroglifów do zapisywania cyfr i nie były one pozycyjne . W jednym z papirusów napisanych około 1770 r. p.n.e. skryba zapisywał dzienne dochody i wydatki dworu faraona , używając hieroglifu nfr do oznaczenia przypadków, w których ilość otrzymanej żywności była dokładnie równa ilości wydanej. Egiptolog Alan Gardiner zasugerował, że hieroglif nfr był używany jako symbol zera. ^{[ 31 ]} Ten sam symbol był również używany do oznaczania poziomu podstawy na rysunkach grobowców i piramid, a odległości mierzono względem linii podstawy jako znajdujące się powyżej lub poniżej tej linii. ^{[ 32 ]}

W połowie II tysiąclecia p.n.e. babilońska matematyka miała wyrafinowany system liczbowy o podstawie 60 , ale wartość pozycyjna zero była oznaczana spacją między cyframi . Na tabliczce odkrytej w Kisz (datowanej na 700 r. p.n.e. ) skryba Bêl-bân-aplu używał trzech haczyków jako symbolu zastępczego. ^{[ 33 ]} Około 300 r. p.n.e. symbol interpunkcyjny (dwa ukośne kliny) został ponownie wykorzystany jako symbol zastępczy. ^{[ 34 ] [ 35 ]} Co istotne, te znaki zastępcze nie były uważane za wartość liczbową, nigdy nie były używane samodzielnie „Dlatego nie można ich interpretować jako reprezentacji koncepcji lub liczby zero”. ^{[ 36 ]} Nie były one również zapisywane na końcu liczby (więc 1, 60 i 60×60 były zapisywane jako ). ^{[ 37 ]}

Kalendarz mezoamerykański Długiej Rachuby, opracowany w południowo-środkowym Meksyku i Ameryce Środkowej, wymagał użycia zera jako symbolu zastępczego w dwudziestkowym (o podstawie 20) systemie liczbowym. Wiele różnych glifów, w tym częściowy czterolistny symbol zera, było używanych jako symbol zera dla tych dat Długiej Rachuby, z których najwcześniejszy (na Steli 2 w Chiapa de Corzo w Chiapas ) nosi datę 36  r. p.n.e. ^{[ a ] ​​[ 38 ]}

Ponieważ osiem najwcześniejszych dat Długiego Rachunku pojawia się poza ojczyzną Majów, ^{[ 39 ]} powszechnie uważa się, że używanie zera w Ameryce nastąpiło przed Majami i prawdopodobnie było wynalazkiem Olmeków . [ ^{40 ] Wiele} z najwcześniejszych dat Długiego Rachunku znaleziono w sercu Olmeków, chociaż cywilizacja Olmeków zakończyła się w IV wieku p.n.e. , ^{[ 41 ]} kilka wieków przed najwcześniejszymi znanymi datami Długiego Rachunku. ^{[ 42 ]}

Chociaż zero stało się integralną częścią cyfr Majów , a w wielu przedstawieniach cyfry „zero” używano innego, pustego, żółwiopodobnego kształtu „ skorupy ”, zakłada się, że nie miało ono wpływu na systemy liczbowe Starego Świata . ^{[ 43 ]}

Kipu , urządzenie w postaci węzła sznurkowego, używane w Imperium Inków i jego poprzednikach w regionie Andów do rejestrowania danych księgowych i innych danych cyfrowych, jest zakodowane w systemie dziesiętnym . Zero jest reprezentowane przez brak węzła w odpowiednim miejscu. ^{[ 44 ]}

Najwcześniejszy, prawdopodobnie cytowany przykład greckiego użycia hellenistycznego zera pojawia się u Hipparcha w 140 r. n.e.

Archaiczna Grecja nie miała symbolu zera (μηδέν, wym. mēdén ) i nie używała dla niego symbolu zastępczego cyfry. ^{[ 45 ]} Według matematyka Charlesa Seife'a , po pojawieniu się babilońskiego symbolu zastępczego zero, wkrótce po 500 r. p.n.e., greccy astronomowie zaczęli używać małej greckiej litery ό ( όμικρον : omikron ) jako symbolu zastępczego lub reprezentacji wartości stopnia na poziomie gruntu/zera. ^{[ 46 ]} Jednak po użyciu babilońskiego symbolu zastępczego zera do obliczeń astronomicznych zazwyczaj konwertowali liczby z powrotem na cyfry greckie . Podobnie jak w przypadku odrzucenia nieskończenie małych przez Pitagorasa, Grecy wydają się podtrzymywać filozoficzny sprzeciw wobec używania zera jako liczby. ^{[ 47 ]} „Cały grecki wszechświat spoczywał na tym filarze: Nie ma pustki”. ^{[ 48 ]} Nieder datuje pojawienie się zera w greckich tekstach astronomicznych na okres po 400 r. p.n.e., a matematyk Robert Kaplan precyzuje, że musiało to mieć miejsce po podbojach Aleksandra . ^{[ 49 ] [ 50 ]}

Grecy wydawali się niepewni statusu zera jako liczby. Niektórzy z nich zadawali sobie pytanie: „Jak byt może nie istnieć?”, co doprowadziło do filozoficznych, a w średniowieczu także religijnych sporów na temat natury i istnienia zera oraz próżni . Paradoksy Zenona z Elei w dużej mierze opierają się na niepewnej interpretacji zera. ^{[ 51 ]}

Około  150 r. n.e. Ptolemeusz , pod wpływem Hipparcha i Babilończyków , używał symbolu zera ( — ° ) ^{[ 52 ] [ 53 ]} w swoim dziele o astronomii matematycznej zwanym Syntaxis Mathematica , znanym również jako Almagest . ^{[ 54 ]} To hellenistyczne zero było prawdopodobnie najwcześniejszym udokumentowanym użyciem cyfry oznaczającej zero w Starym Świecie . ^{[ 55 ]} Ptolemeusz używał go wielokrotnie w swoim Almagest (VI.8) do określania wielkości zaćmień Słońca i Księżyca . Reprezentował on wartość zarówno cyfr , jak i minut zanurzenia przy pierwszym i ostatnim kontakcie. Cyfry zmieniały się ciągle od 0 do 12 do 0, gdy Księżyc przechodził nad Słońcem (trójkątny impuls), gdzie dwanaście cyfr stanowiło średnicę kątową Słońca. Minuty zanurzenia zostały ujęte w tabeli od 0 ′ 0 ″ do 31 ′ 20 ″ do 0 ′ 0 ″ , gdzie 0 ′ 0 ″ używało symbolu jako symbolu zastępczego w dwóch pozycjach jego sześćdziesiętnego pozycyjnego systemu liczbowego, ^{[ b ],} podczas gdy kombinacja oznaczała kąt zerowy. Minuty zanurzenia były również funkcją ciągłą ⁠ 1 / 12 ⁠ 31 ′ 20 ″ √ d(24−d) (trójkątny impuls z wypukłymi bokami), gdzie d było funkcją cyfrową, a 31 ′ 20 ″ było sumą promieni tarcz Słońca i Księżyca. ^{[ 56 ]} Symbol Ptolemeusza był symbolem zastępczym, a także liczbą używaną przez dwie ciągłe funkcje matematyczne, jedną w drugiej, więc oznaczał zero, a nie zero. Z biegiem czasu zero Ptolemeusza miało tendencję do zwiększania rozmiaru i utraty linii nad nim , czasami przedstawiane jako duży, wydłużony omikron przypominający 0, „O”, lub jako omikron z linią nad nim, „ō”, zamiast kropki z linią nad nim. ^{[ 57 ]}

Najwcześniejsze użycie zera w obliczeniach Wielkanocy juliańskiej miało miejsce przed  311 r. n.e., przy pierwszym wpisie w tabeli epaktów zachowanej w dokumencie etiopskim dla lat 311–369, używając słowa Geʽez oznaczającego „żaden” (angielskie tłumaczenie to „0”) obok cyfr Geʽez (opartych na cyfrach greckich), co zostało przetłumaczone z równoważnej tabeli opublikowanej przez Kościół Aleksandryjski w grece średniowiecznej . ^{[ 58 ]} To użycie powtórzono w 525 r. w równoważnej tabeli, którą Dionizy Mały przetłumaczył za pomocą łacińskiego nulla („żaden”) obok cyfr rzymskich . ^{[ 59 ]} Gdy dzielenie dawało zero jako resztę, używano nihil , co oznacza „nic”. Te średniowieczne zera były używane przez wszystkie przyszłe średniowieczne kalkulatory Wielkanocy . Litera „N” była używana jako symbol zera w tabeli cyfr rzymskich przez Bedę — lub jego współpracowników — około 725 r. n.e. ^{[ 60 ]} 

Sūnzĭ Suànjīng , którego data powstania jest nieznana, ale szacuje się, że pochodzi z okresu od I do V wieku n.e. , opisuje, w jaki sposób chiński system liczenia za pomocą prętów z IV wieku p.n.e. umożliwiał wykonywanie obliczeń dziesiętnych. [ ^{62 ] [ 63 ] Jak} zauważono w Xiahou Yang Suanjing (425–468 n.e.), aby pomnożyć lub podzielić liczbę przez 10, 100, 1000 lub 10000, wystarczy przesunąć pręty na tablicy do liczenia o 1, 2, 3 lub 4 miejsca do przodu lub do tyłu. ^{[ 64 ]} Pręty umożliwiały zapisywanie liczby w systemie dziesiętnym, a puste miejsce oznaczało zero. ^{[ 61 ] [ 65 ]} Około 190 r. n.e. podręcznik „Uzupełniające notatki na temat sztuki figur” autorstwa Xu Yue przedstawia również techniki dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb zawierających wartości zerowe w potędze dziesiętnej, na przyrządach liczących , do których zaliczają się pręty liczące i abakus. ^{[ 66 ] [ 67 ]} Chińscy autorzy znali ideę liczb ujemnych i ułamków dziesiętnych już w czasach dynastii Han (II w. n.e.) , jak widać w Dziewięciu rozdziałach o sztuce matematycznej . ^{[ 68 ]} Traktat matematyczny w dziewięciu sekcjach autorstwa Qín Jiǔsháo z 1247 r. jest najstarszym zachowanym chińskim tekstem matematycznym, w którym użyto okrągłego symbolu „〇” dla zera. ^{[ 69 ]} Pochodzenie tego symbolu jest nieznane; mógł on powstać w wyniku modyfikacji symbolu kwadratowego. ^{[ 70 ]} W tamtym czasie zero nie było traktowane jako liczba, lecz jako „wolne miejsce”. ^{[ 71 ]}

Pingala ( ok. III lub II w. p.n.e.), ^{[ 72 ]} badacz prozodii sanskryckiej , ^{[ 73 ]} używał sekwencji binarnych w formie sylab krótkich i długich (te drugie miały długość równą dwóm sylabom krótkim) do identyfikacji możliwych prawidłowych metrum sanskryckiego , co stanowi notację podobną do kodu Morse’a . ^{[ 74 ]} Pingala używał sanskryckiego słowa śūnya wyraźnie w odniesieniu do zera. ^{[ 72 ]}

W Indiach opracowano grafem wartości miejsca dziesiętnego dla zera . ^{[ 76 ]}

Lokavibhāga , dżinijski tekst o kosmologii , który przetrwał w średniowiecznym sanskryckim tłumaczeniu prakryckiego oryginału , datowanego wewnętrznie na 458 r. n.e. ( era Saka 380), używa dziesiętnego systemu wartości miejsc , w tym zera. W tym tekście słowo śūnya („pusty, pusty”) jest również używane w odniesieniu do zera. ^{[ 77 ]}

Aryabhatiya ( ok. 499 r.) stwierdza, że ​​sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt „z miejsca na miejsce każde jest dziesięć razy dłuższe od poprzedniego”. ^{[ 78 ] [ 79 ] [ 80 ]}

Zasady dotyczące używania zera pojawiły się w dziele Brahmagupty Brahmasputha Siddhanta (VII w.), w którym podano, że suma zera z samym sobą równa się zeru, a dzielenie przez zero opisano błędnie w następujący sposób: ^{[ 81 ] [ 82 ]}

Liczba dodatnia lub ujemna podzielona przez zero to ułamek, którego zerem jest mianownik. Zero podzielone przez liczbę ujemną lub dodatnią jest albo zerem, albo wyrażone jako ułamek z zerem jako licznikiem i liczbą skończoną jako mianownikiem. Zero podzielone przez zero to zero.

W traktacie Bhāskary II z XII wieku pt. Līlāvatī zaproponowano natomiast, że dzielenie przez zero daje nieskończoną ilość, ^{[ 83 ]}

Wielkość podzielona przez zero staje się ułamkiem, którego mianownikiem jest zero. Ten ułamek nazywany jest wielkością nieskończoną. W tej wielkości, składającej się z tego, co ma zero jako dzielnik, nie ma żadnej zmiany, choć wiele można dodać lub usunąć; tak jak żadna zmiana nie zachodzi w nieskończonym i niezmiennym Bogu, gdy światy są tworzone lub niszczone, choć liczne rzędy bytów są wchłaniane lub wysuwane.

Wczesna epigrafika azjatycka

Napis Sambor

Najstarszy, dokładnie datowany przykład użycia zera jako cyfry dziesiętnej znajduje się w inskrypcji z Sambor. Liczba „605” zapisana jest cyframi khmerskimi (u góry), co odnosi się do roku jej powstania: 605 ery Saka (683 r. n.e.). Fragment, zapisany w języku starokhmerskim , był niegdyś częścią wejścia do świątyni i został znaleziony w prowincji Kratié w Kambodży .

Istnieje wiele inskrypcji na miedzianych płytach, na których znajduje się ta sama mała litera o , niektóre z nich prawdopodobnie datowane na VI wiek, ale ich data lub autentyczność mogą budzić wątpliwości. ^{[ 33 ]}

Kamienna tablica znaleziona w ruinach świątyni w pobliżu Sambor nad Mekongiem w prowincji Kratié w Kambodży zawiera inskrypcję „605” w cyfrach khmerskich (zestaw glifów dla hindusko-arabskiego systemu liczbowego ). Liczba ta oznacza rok inskrypcji z epoki Saka , odpowiadającą dacie 683 r. n.e. ^{[ 84 ]}

Pierwsze znane zastosowanie specjalnych glifów dla cyfr dziesiętnych, obejmujące niezaprzeczalne pojawienie się symbolu cyfry zero – małego kółka – pojawia się na inskrypcji kamiennej znalezionej w świątyni Chaturbhuj w Gwalior w Indiach, datowanej na rok 876 n.e. ^{[ 85 ] [ 86 ]}

Symbol zera, czarna kropka, jest używany w całym manuskrypcie Bakhshali , praktycznym podręczniku arytmetyki dla kupców. Biblioteka Bodlejańska opublikowała wyniki datowania radiowęglowego sześciu kart manuskryptu, wskazując, że pochodzą one z różnych stuleci, ale datują go na lata 799–1102 n.e. ^{[ 75 ]}

W zoologii porównawczej i naukach kognitywnych uznanie, że niektóre zwierzęta wykazują świadomość koncepcji zera, prowadzi do wniosku, że zdolność do abstrakcji liczbowej pojawiła się na wczesnym etapie ewolucji gatunków. ^{[ 114 ]}

W epoce kalendarza p.n.e. rok 1 r. p.n.e. jest pierwszym rokiem przed 1 r. n.e.; nie ma roku zerowego . Natomiast w numeracji roku astronomicznego rok 1 r. p.n.e. jest oznaczony numerem 0, rok 2 r. p.n.e. jest oznaczony numerem −1 itd. ^{[ 115 ]}