controlador PID

La función de control general es

${\displaystyle u(t)=K_{\text{p}}e(t)+K_{\text{i}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,\mathrm {d} \tau +K_{\text{d}}{\frac {\mathrm {d} e(t)}{\mathrm {d} t}},}$

dónde${\displaystyle K_{\text{p}}}$,${\displaystyle K_{\text{i}}}$, y${\displaystyle K_{\text{d}}}$, todos no negativos, denotan los coeficientes para los términos proporcionales, integrales y derivativos respectivamente (a veces denotados P , I , y D ).

En la forma estándar de la ecuación (véase más adelante en el artículo),${\displaystyle K_{\text{i}}}$y${\displaystyle K_{\text{d}}}$son reemplazados respectivamente por${\displaystyle K_{\text{p}}/T_{\text{i}}}$y${\displaystyle K_{\text{p}}T_{\text{d}}}$; la ventaja de esto es que${\displaystyle T_{\text{i}}}$y${\displaystyle T_{\text{d}}}$Tienen un significado físico comprensible, ya que representan un tiempo de integración y un tiempo de derivación, respectivamente.${\displaystyle K_{\text{p}}T_{\text{d}}}$es la constante de tiempo con la que el controlador intentará aproximarse al punto de ajuste. ${\displaystyle K_{\text{p}}/T_{\text{i}}}$Determina cuánto tiempo tolerará el controlador que la salida esté constantemente por encima o por debajo del punto de ajuste.

${\displaystyle u(t)=K_{\text{p}}\left(e(t)+{\frac {1}{T_{\text{i}}}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,\mathrm {d} \tau +T_{\text{d}}{\frac {\mathrm {d} e(t)}{\mathrm {d} t}}\right)}$

dónde

${\displaystyle T_{\text{i}}={K_{\text{p}} \over K_{\text{i}}}}$es la constante de tiempo de integración, y

${\displaystyle T_{\text{d}}={K_{\text{d}} \over K_{\text{p}}}}$es la constante de tiempo de la derivada.

Aunque un controlador PID tiene tres términos de control, algunas aplicaciones solo requieren uno o dos para un control adecuado. Esto se logra estableciendo los parámetros no utilizados a cero, y se denomina controlador PI, PD, P o I en ausencia de las demás acciones de control. Los controladores PI son bastante comunes en aplicaciones donde la acción derivativa sería sensible al ruido de medición, pero el término integral suele ser necesario para que el sistema alcance su valor objetivo.

El uso del algoritmo PID no garantiza el control óptimo del sistema ni su estabilidad . Pueden presentarse situaciones con retrasos excesivos: la medición del valor del proceso se retrasa o la acción de control no se aplica con la suficiente rapidez. En estos casos, se requiere una compensación de adelanto-retraso para que sea efectiva. La respuesta del controlador se puede describir en términos de su sensibilidad a un error, el grado de sobrepaso del sistema respecto a un punto de consigna y el grado de oscilación del sistema . Sin embargo, el controlador PID es ampliamente aplicable, ya que se basa únicamente en la respuesta de la variable de proceso medida, no en el conocimiento ni en un modelo del proceso subyacente.

El regulador centrífugo fue inventado por Christiaan Huygens en el siglo XVII para regular la distancia entre las piedras de molino en los molinos de viento en función de la velocidad de rotación, y así compensar la velocidad variable de alimentación del grano. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Con la invención de la máquina de vapor estacionaria de baja presión, surgió la necesidad de un control automático de velocidad, y el regulador de " péndulo cónico " diseñado por el propio James Watt , un conjunto de bolas de acero giratorias unidas a un eje vertical mediante brazos articulados, se convirtió en un estándar de la industria. Este se basaba en el concepto de control de la separación de la muela. ^{[ 5 ]}

Sin embargo, el control de velocidad mediante regulador rotatorio seguía siendo variable en condiciones de carga variable, donde se evidenciaba la deficiencia de lo que ahora se conoce como control proporcional. El error entre la velocidad deseada y la velocidad real aumentaba con el incremento de la carga. En el siglo XIX, James Clerk Maxwell describió por primera vez la base teórica para el funcionamiento de los reguladores en 1868 en su ahora famoso artículo Sobre los reguladores . Exploró la base matemática para la estabilidad del control y avanzó considerablemente hacia una solución, pero hizo un llamamiento a los matemáticos para que examinaran el problema. ^{[ 6 ] [ 5 ]} El problema fue examinado más a fondo en 1874 por Edward Routh , Charles Sturm y, en 1895, por Adolf Hurwitz , quienes contribuyeron al establecimiento de criterios de estabilidad del control. ^{[ 5 ]} En aplicaciones posteriores, los reguladores de velocidad se perfeccionaron aún más, en particular por el científico estadounidense Willard Gibbs , quien en 1872 analizó teóricamente el regulador de péndulo cónico de Watt.

Por esta época, la invención del torpedo Whitehead planteó un problema de control que requería un control preciso de la profundidad de navegación. El uso de un sensor de presión de profundidad por sí solo resultó insuficiente, y se combinó un péndulo que medía la inclinación longitudinal del torpedo con la medición de profundidad para convertirse en el control de péndulo e hidrostático . El control de presión proporcionaba únicamente un control proporcional que, si la ganancia de control era demasiado alta, se volvía inestable y entraba en sobreimpulso con una considerable inestabilidad en el mantenimiento de la profundidad. El péndulo añadió lo que ahora se conoce como control derivativo, que amortiguaba las oscilaciones al detectar el ángulo de inmersión/ascenso del torpedo y, por lo tanto, la tasa de cambio de profundidad. ^{[ 7 ]} Este desarrollo (denominado por Whitehead como "El Secreto" para no dar ninguna pista sobre su funcionamiento) tuvo lugar alrededor de 1868. ^{[ 8 ]}

Otro ejemplo temprano de un controlador de tipo PID fue desarrollado por Elmer Sperry en 1911 para la dirección de barcos, aunque su trabajo era intuitivo más que basado en las matemáticas. ^{[ 9 ]}

Sin embargo, no fue hasta 1922 que el ingeniero ruso-estadounidense Nicolas Minorsky desarrolló por primera vez una ley de control formal para lo que ahora llamamos control PID o de tres términos, utilizando análisis teórico. [ ^{10 ] Minorsky} estaba investigando y diseñando sistemas de dirección automática de buques para la Armada de los EE. UU. y basó su análisis en observaciones de un timonel . Observó que el timonel dirigía el buque basándose no solo en el error de rumbo actual, sino también en el error pasado, así como en la tasa de cambio actual; ^{[ 11 ]} Minorsky luego le dio un tratamiento matemático a esto. ^{[ 5 ]} Su objetivo era la estabilidad, no el control general, lo que simplificó significativamente el problema. Si bien el control proporcional proporcionaba estabilidad frente a pequeñas perturbaciones, era insuficiente para lidiar con una perturbación constante, en particular un vendaval fuerte (debido al error de estado estacionario ), lo que requirió agregar el término integral. Finalmente, se agregó el término derivativo para mejorar la estabilidad y el control.

Se realizaron pruebas en el USS New Mexico , donde los controladores controlaban la velocidad angular (no el ángulo) del timón. El control PI produjo un error de guiñada sostenido (error angular) de ±2°. La adición del elemento D produjo un error de guiñada de ±1/6°, mejor que el que la mayoría de los timoneles podrían lograr. ^{[ 12 ]}

La Armada finalmente no adoptó el sistema debido a la resistencia del personal. Otros investigadores realizaron y publicaron trabajos similares en la década de 1930.

El uso generalizado de controladores de retroalimentación no se hizo factible hasta el desarrollo de amplificadores de banda ancha de alta ganancia que utilizaban el concepto de retroalimentación negativa . Este concepto había sido desarrollado en la electrónica de ingeniería telefónica por Harold Black a finales de la década de 1920, pero no se publicó hasta 1934. ^{[ 5 ]} De forma independiente, Clesson E. Mason de la Foxboro Company inventó en 1930 un controlador neumático de banda ancha combinando el amplificador neumático de alta ganancia de boquilla y aleta , inventado en 1914, con retroalimentación negativa de la salida del controlador. Esto aumentó drásticamente el rango lineal de operación del amplificador de boquilla y aleta, y también se podía agregar control integral mediante el uso de una válvula de purga de precisión y un fuelle que generaba el término integral. El resultado fue el controlador "Stabilog", que proporcionaba funciones tanto proporcionales como integrales utilizando fuelles de retroalimentación. ^{[ 5 ]} El término integral se denominó Reset . ^{[ 13 ]} Posteriormente, se agregó el término derivativo mediante un fuelle adicional y un orificio ajustable.

A partir de 1932, el uso de controladores neumáticos de banda ancha aumentó rápidamente en diversas aplicaciones de control. La presión del aire se utilizaba para generar la señal de salida del controlador y también para alimentar dispositivos de modulación de procesos, como las válvulas de control de diafragma. Eran dispositivos sencillos que requerían poco mantenimiento, funcionaban bien en entornos industriales adversos y no presentaban riesgos de explosión en zonas peligrosas . Fueron el estándar de la industria durante muchas décadas, hasta la llegada de los controladores electrónicos discretos y los sistemas de control distribuido (DCS).

Con estos controladores, se estableció un estándar de señalización para la industria neumática de 3 a 15 psi (0,2 a 1,0 bar) , que tenía un cero elevado para garantizar que los dispositivos funcionaran dentro de su característica lineal y representaba el rango de control del 0 al 100 %.  

En la década de 1950, cuando los amplificadores electrónicos de alta ganancia se volvieron económicos y fiables, los controladores PID electrónicos se popularizaron y el estándar neumático se emuló mediante señales de bucle de corriente de 10-50 mA y 4-20 mA (esta última se convirtió en el estándar de la industria). Los actuadores neumáticos de campo todavía se utilizan ampliamente debido a las ventajas de la energía neumática para el control de válvulas en entornos de plantas de proceso.

La mayoría de los controles PID modernos en la industria se implementan como software informático en sistemas de control distribuido (DCS), controladores lógicos programables (PLC) o controladores compactos discretos .

Los bucles de control PID analógicos electrónicos se encontraban frecuentemente en sistemas electrónicos más complejos, como el posicionamiento del cabezal de una unidad de disco , el acondicionamiento de potencia de una fuente de alimentación o incluso el circuito de detección de movimiento de un sismómetro moderno . Los controladores analógicos electrónicos discretos han sido reemplazados en gran medida por controladores digitales que utilizan microcontroladores o FPGA para implementar algoritmos PID. Sin embargo, los controladores PID analógicos discretos aún se utilizan en aplicaciones específicas que requieren un alto ancho de banda y un bajo nivel de ruido, como los controladores de diodos láser. ^{[ 14 ]}

El método obvio es el control proporcional : la corriente del motor se ajusta en proporción al error existente. Sin embargo, este método falla si, por ejemplo, el brazo tiene que levantar pesos diferentes: un peso mayor requiere una fuerza mayor para el mismo error en la parte inferior, pero una fuerza menor si el error es bajo en la parte superior. Ahí es donde entran en juego los términos integrales y derivativos.

Un término integral incrementa la acción no solo en relación con el error, sino también con el tiempo que este ha persistido. Por lo tanto, si la fuerza aplicada no es suficiente para reducir el error a cero, esta fuerza aumentará con el paso del tiempo. Un controlador "I" puro podría reducir el error a cero, pero reaccionaría débilmente al principio (ya que la acción sería pequeña al inicio, dependiendo del tiempo para volverse significativa) y sería más agresivo al final (la acción aumenta mientras el error sea positivo, incluso si está cerca de cero).

Aplicar demasiada integral cuando el error es pequeño y decreciente provocará un sobreimpulso. Tras el sobreimpulso, si el controlador aplicara una corrección grande en la dirección opuesta y sobrepasara repetidamente la posición deseada, la salida oscilaría alrededor del punto de consigna en una sinusoide constante, creciente o decreciente . Si la amplitud de las oscilaciones aumenta con el tiempo, el sistema es inestable. Si disminuye, el sistema es estable. Si las oscilaciones se mantienen en una magnitud constante, el sistema es marginalmente estable .

Un término derivativo no considera la magnitud del error (es decir, no puede reducirlo a cero: un controlador D puro no puede llevar el sistema a su punto de consigna), sino la tasa de cambio del error, intentando reducirla a cero. Su objetivo es aplanar la trayectoria del error hasta convertirla en una línea horizontal, amortiguando la fuerza aplicada y, por lo tanto, reduciendo el sobreimpulso (error en el otro extremo debido a una fuerza aplicada excesiva).

Para lograr una llegada controlada a la posición deseada (PD) de manera oportuna y precisa, el sistema de control debe estar amortiguado críticamente . Un sistema de control de posición bien ajustado también aplicará las corrientes necesarias al motor controlado para que el brazo empuje y tire según sea necesario para resistir las fuerzas externas que intentan alejarlo de la posición requerida. El punto de consigna puede ser generado por un sistema externo, como un PLC u otro sistema informático, de modo que varíe continuamente según el trabajo que se espera que realice el brazo robótico. Un sistema de control PID bien ajustado permitirá que el brazo cumpla con estos requisitos cambiantes de la mejor manera posible.

Si un controlador parte de un estado estable con error cero (PV = SP), los cambios posteriores del controlador responderán a variaciones en otras entradas, medidas o no medidas, que afecten al proceso y, por lo tanto, a la variable de proceso (PV). Las variables que afectan al proceso, además de la variable de movimiento (MV), se conocen como perturbaciones. Generalmente, los controladores se utilizan para rechazar perturbaciones e implementar cambios en el punto de consigna. Un cambio en la carga del brazo robótico constituye una perturbación en su proceso de control.

En teoría, un controlador puede utilizarse para controlar cualquier proceso que tenga una salida medible (PV), un valor ideal conocido para esa salida (SP) y una entrada al proceso (MV) que afectará a la PV correspondiente. Los controladores se utilizan en la industria para regular la temperatura , la presión , la fuerza , la velocidad de alimentación , ^{[ 16 ]} el caudal , la composición química ( concentraciones de componentes ), el peso , la posición , la velocidad y prácticamente cualquier otra variable para la que exista una medición.

El término proporcional produce un valor de salida proporcional al valor de error actual. La respuesta proporcional se puede ajustar multiplicando el error por una constante K _p , denominada constante de ganancia proporcional.

El término proporcional viene dado por

${\displaystyle P_{\text{out}}=K_{\text{p}}e(t).}$

Una ganancia proporcional alta produce un cambio significativo en la salida ante un cambio dado en el error. Si la ganancia proporcional es demasiado alta, el sistema puede volverse inestable (véase la sección sobre ajuste de lazo ). Por el contrario, una ganancia baja produce una respuesta de salida reducida ante un error de entrada grande, y un controlador menos sensible o con menor capacidad de respuesta. Si la ganancia proporcional es demasiado baja, la acción de control puede ser insuficiente al responder a perturbaciones del sistema. La teoría de ajuste y la práctica industrial indican que el término proporcional debe contribuir a la mayor parte del cambio en la salida.

La contribución del término integral es proporcional tanto a la magnitud como a la duración del error. En un controlador PID, la integral es la suma del error instantáneo a lo largo del tiempo y proporciona el desfase acumulado que debería haberse corregido previamente. Este error acumulado se multiplica por la ganancia integral ( K _i ) y se suma a la salida del controlador.

El término integral viene dado por

${\displaystyle I_{\text{out}}=K_{\text{i}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,d\tau .}$

El término integral acelera el movimiento del proceso hacia el punto de consigna y elimina el error residual en estado estacionario que se produce con un controlador proporcional puro. Sin embargo, dado que el término integral responde a los errores acumulados del pasado, puede provocar que el valor actual supere el valor del punto de consigna (véase la sección sobre ajuste del lazo ).

La derivada del error del proceso se calcula determinando la pendiente del error a lo largo del tiempo y multiplicando esta tasa de cambio por la ganancia derivativa K _d . La magnitud de la contribución del término derivativo a la acción de control global se denomina ganancia derivativa, K _d .

El término derivado viene dado por

${\displaystyle D_{\text{out}}=K_{\text{d}}{\frac {de(t)}{dt}}.}$

La acción derivativa predice el comportamiento del sistema y, por lo tanto, mejora el tiempo de establecimiento y la estabilidad del sistema. ^{[ 18 ] [ 19 ]} Una derivada ideal no es causal , por lo que las implementaciones de controladores PID incluyen un filtrado de paso bajo adicional para el término derivativo con el fin de limitar la ganancia y el ruido de alta frecuencia. Sin embargo, la acción derivativa rara vez se utiliza en la práctica —según una estimación, solo en el 25 % de los controladores implementados— debido a su impacto variable en la estabilidad del sistema en aplicaciones del mundo real.

Si los parámetros del controlador PID (las ganancias de los términos proporcional, integral y derivativo) se eligen incorrectamente, la entrada del proceso controlado puede ser inestable; es decir, su salida diverge , con o sin oscilación , y solo está limitada por la saturación o la rotura mecánica. La inestabilidad se produce por un exceso de ganancia, especialmente en presencia de un retardo significativo.

En general, se requiere la estabilización de la respuesta, y el proceso no debe oscilar para ninguna combinación de condiciones del proceso y puntos de ajuste, aunque a veces la estabilidad marginal (oscilación limitada) es aceptable o deseable.

Matemáticamente, los orígenes de la inestabilidad se pueden observar en el dominio de Laplace . ^{[ 20 ]}

La función de transferencia de lazo cerrado es

${\displaystyle H(s)={\frac {K(s)G(s)}{1+K(s)G(s)}},}$

dónde${\displaystyle K(s)}$es la función de transferencia PID y${\displaystyle G(s)}$es la función de transferencia de la planta. Un sistema es inestable cuando la función de transferencia de lazo cerrado diverge para algún${\displaystyle s}$. ^{[ 20 ]} Esto sucede en situaciones donde${\displaystyle K(s)G(s)=-1}$En otras palabras, esto sucede cuando${\displaystyle |K(s)G(s)|=1}$con un desfase de 180°. La estabilidad está garantizada cuando${\displaystyle K(s)G(s)<1}$para frecuencias que sufren grandes desfases. Un formalismo más general de este efecto se conoce como el criterio de estabilidad de Nyquist .

El comportamiento óptimo ante un cambio de proceso o de punto de ajuste varía según la aplicación.

Dos requisitos básicos son la regulación (rechazo de perturbaciones  : mantener el valor en un punto de consigna determinado) y el seguimiento de comandos (implementación de cambios en el punto de consigna). Estos términos se refieren a la precisión con la que la variable controlada sigue el valor deseado. Los criterios específicos para el seguimiento de comandos incluyen el tiempo de subida y el tiempo de estabilización . Algunos procesos no deben permitir que la variable de proceso supere el punto de consigna si, por ejemplo, esto resultara inseguro. Otros procesos deben minimizar la energía consumida para alcanzar un nuevo punto de consigna.

Existen varios métodos para ajustar un lazo PID. Los métodos más efectivos generalmente implican desarrollar algún tipo de modelo de proceso y luego seleccionar P, I y D en función de los parámetros del modelo dinámico. Los métodos de ajuste manual pueden ser relativamente lentos, especialmente para sistemas con tiempos de lazo prolongados.

La elección del método depende en gran medida de si el bucle puede desconectarse para su ajuste y del tiempo de respuesta del sistema. Si el sistema puede desconectarse, el mejor método de ajuste suele consistir en someterlo a un cambio escalonado en la entrada, medir la salida en función del tiempo y utilizar esta respuesta para determinar los parámetros de control.

Si el sistema debe permanecer en línea, un método de ajuste consiste en configurar primero${\displaystyle K_{i}}$y${\displaystyle K_{d}}$valores a cero. Aumentar el${\displaystyle K_{p}}$hasta que la salida del bucle oscile; luego establezca${\displaystyle K_{p}}$a aproximadamente la mitad de ese valor para una respuesta de tipo "decaimiento de un cuarto de amplitud". Luego aumente${\displaystyle K_{i}}$hasta que se corrija cualquier desviación en tiempo suficiente para el proceso, pero no hasta que un valor demasiado grande cause inestabilidad. Finalmente, aumente${\displaystyle K_{d}}$, si es necesario, hasta que el bucle sea lo suficientemente rápido para alcanzar su referencia después de una perturbación de carga. Demasiado${\displaystyle K_{p}}$provoca una respuesta excesiva y un sobreimpulso. Un ajuste rápido del lazo PID suele producir un ligero sobreimpulso para alcanzar el punto de consigna más rápidamente; sin embargo, algunos sistemas no pueden aceptar el sobreimpulso, en cuyo caso se requiere un sistema de lazo cerrado sobreamortiguado , lo que a su vez requiere un${\displaystyle K_{p}}$estableciendo significativamente menos de la mitad de la de${\displaystyle K_{p}}$configuración que estaba causando la oscilación.

Otro método de ajuste heurístico se conoce como el método Ziegler-Nichols , introducido por John G. Ziegler y Nathaniel B. Nichols en la década de 1940. Al igual que en el método anterior, el${\displaystyle K_{i}}$y${\displaystyle K_{d}}$Las ganancias se establecen primero en cero. La ganancia proporcional se incrementa hasta alcanzar la ganancia máxima.${\displaystyle K_{u}}$En ese momento, la salida del bucle comienza a oscilar constantemente.${\displaystyle K_{u}}$y el período de oscilación${\displaystyle T_{u}}$se utilizan para ajustar las ganancias de la siguiente manera:

En su lugar, a menudo se mide la frecuencia de oscilación, y los recíprocos de cada multiplicación dan el mismo resultado.

Estas ganancias se aplican a la forma ideal y paralela del controlador PID. Cuando se aplican a la forma PID estándar, solo las ganancias integral y derivativa${\displaystyle K_{i}}$y${\displaystyle K_{d}}$dependen del período de oscilación${\displaystyle T_{u}}$.

Este método se desarrolló en 1953 y se basa en un modelo de primer orden + retardo de tiempo. De forma similar al método de Ziegler-Nichols , se desarrolló un conjunto de parámetros de ajuste para obtener una respuesta de lazo cerrado con una relación de decaimiento de${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$Podría decirse que el mayor problema con estos parámetros es que un pequeño cambio en los parámetros del proceso podría potencialmente provocar que un sistema de lazo cerrado se vuelva inestable.

Publicado en 1984 por Karl Johan Åström y Tore Hägglund, ^{[ 25 ]} el método de relé opera temporalmente el proceso mediante control de activación/desactivación y mide las oscilaciones resultantes. La salida se conmuta (como si fuera un relé , de ahí su nombre) entre dos valores de la variable de control. Los valores deben elegirse de manera que el proceso cruce el punto de consigna, pero no es necesario que sean 0% y 100%; al elegir valores adecuados, se pueden evitar oscilaciones peligrosas.

Mientras la variable de proceso se mantenga por debajo del valor de consigna, la salida de control se ajusta al valor superior. En cuanto supera el valor de consigna, la salida de control se ajusta al valor inferior. Idealmente, la forma de onda de salida es casi cuadrada, permaneciendo el mismo tiempo por encima y por debajo del valor de consigna. El periodo y la amplitud de las oscilaciones resultantes se miden y se utilizan para calcular la ganancia y el periodo finales, que luego se introducen en el método de Ziegler-Nichols.

Específicamente, el período final${\displaystyle T_{u}}$Se supone que es igual al período observado, y la ganancia final se calcula como${\displaystyle K_{u}=4b/\pi a,}$donde a es la amplitud de la oscilación de la variable del proceso, y b es la amplitud del cambio de la salida de control que la causó.

Existen numerosas variantes del método de relevo. ^{[ 26 ]}

La función de transferencia para un proceso de primer orden con tiempo muerto es

${\displaystyle y(s)={\frac {k_{\text{p}}e^{-\theta s}}{\tau _{\text{p}}s+1}}u(s),}$

donde k _p es la ganancia del proceso, τ _p es la constante de tiempo, θ es el tiempo muerto y u ( s ) es una entrada de cambio escalón. Al convertir esta función de transferencia al dominio del tiempo, se obtiene:

${\displaystyle y(t)=k_{\text{p}}\Delta u\left(1-e^{\frac {-t-\theta }{\tau _{\text{p}}}}\right),}$

utilizando los mismos parámetros que se encontraron anteriormente.

Al utilizar este método, es importante aplicar un cambio escalonado de entrada lo suficientemente grande como para que la salida pueda medirse; sin embargo, un cambio escalonado demasiado grande puede afectar la estabilidad del proceso. Además, un cambio escalonado mayor garantiza que la salida no varíe debido a una perturbación (para obtener mejores resultados, intente minimizar las perturbaciones al realizar la prueba escalonada).

Una forma de determinar los parámetros para un proceso de primer orden es mediante el método del 63,2 %. En este método, la ganancia del proceso ( k _p ) es igual al cambio en la salida dividido por el cambio en la entrada. El tiempo muerto θ es el tiempo transcurrido entre el cambio escalón y el primer cambio en la salida. La constante de tiempo ( τ _p ) es el tiempo que tarda la salida en alcanzar el 63,2 % del nuevo valor de estado estacionario tras el cambio escalón. Una desventaja de este método es que puede tardar en alcanzarse un nuevo valor de estado estacionario si el proceso tiene constantes de tiempo grandes. ^{[ 27 ]}

La mayoría de las instalaciones industriales modernas ya no ajustan los lazos de control mediante los métodos de cálculo manual descritos anteriormente. En su lugar, se utilizan programas de ajuste PID y optimización de lazos para garantizar resultados consistentes. Estos programas recopilan datos, desarrollan modelos de proceso y sugieren el ajuste óptimo. Algunos incluso pueden desarrollar el ajuste a partir de datos obtenidos de cambios en la referencia.

El ajuste matemático del lazo PID induce un impulso en el sistema y luego utiliza la respuesta en frecuencia del sistema controlado para diseñar los valores del lazo PID. En lazos con tiempos de respuesta de varios minutos, se recomienda el ajuste matemático, ya que el método de prueba y error puede llevar días solo para encontrar un conjunto estable de valores de lazo. Los valores óptimos son más difíciles de encontrar. Algunos controladores de lazo digitales ofrecen una función de autoajuste en la que se envían cambios de punto de consigna muy pequeños al proceso, lo que permite que el propio controlador calcule los valores de ajuste óptimos.

Otro enfoque calcula los valores iniciales mediante el método de Ziegler-Nichols y utiliza una técnica de optimización numérica para encontrar mejores coeficientes PID. ^{[ 28 ]}

Existen otras fórmulas disponibles para ajustar el lazo según diferentes criterios de rendimiento. Muchas fórmulas patentadas están ahora integradas en módulos de software y hardware para el ajuste de PID. ^{[ 29 ]}

Los avances en el software de ajuste automático de bucles PID también proporcionan algoritmos para ajustar bucles PID en un escenario dinámico o de estado no estacionario (NSS). El software modela la dinámica de un proceso ante una perturbación y calcula los parámetros de control PID en respuesta. ^{[ 30 ]}

Los controladores PID funcionan mejor cuando el lazo a controlar es lineal y simétrico. Por lo tanto, su rendimiento se ve afectado negativamente en sistemas no lineales y asimétricos.

Por ejemplo, una válvula no lineal en una aplicación de control de flujo generará una sensibilidad de bucle variable que requiere amortiguación para evitar la inestabilidad. Una solución consiste en incluir un modelo de la no linealidad de la válvula en el algoritmo de control para compensar este efecto.

Un ejemplo de aplicación asimétrica es el control de temperatura en sistemas HVAC que utilizan únicamente calefacción activa (mediante un elemento calefactor), mientras que solo se dispone de refrigeración pasiva. El sobreimpulso de la temperatura solo puede corregirse lentamente; la refrigeración activa no permite reducir la temperatura en función de la señal de control. En este caso, el controlador PID podría ajustarse para que sea sobreamortiguado, con el fin de prevenir o reducir el sobreimpulso, pero esto disminuye el rendimiento al aumentar el tiempo de estabilización de la temperatura hasta el punto de ajuste. La degradación inherente de la calidad del control en esta aplicación podría resolverse mediante la aplicación de refrigeración activa.

Un problema con el término derivativo es que amplifica el ruido de medición o de proceso de alta frecuencia que puede causar grandes cambios en la salida. A menudo es útil filtrar las mediciones con un filtro de paso bajo para eliminar los componentes de ruido de alta frecuencia. Como el filtrado de paso bajo y el control derivativo pueden cancelarse entre sí, la cantidad de filtrado es limitada. Por lo tanto, la instrumentación de bajo ruido puede ser importante. Se puede utilizar un filtro de mediana no lineal, que mejora la eficiencia del filtrado y el rendimiento práctico. ^{[ 31 ]} En algunos casos, la banda diferencial se puede desactivar con poca pérdida de control. Esto es equivalente a usar el controlador PID como un controlador PI .

Un problema común que resulta de las implementaciones PID ideales es la acumulación de la integral . Tras un cambio importante en el punto de consigna, el término integral puede acumular un error mayor que el valor máximo de la variable de regulación (acumulación); por lo tanto, el sistema sobrepasa el valor máximo y continúa aumentando hasta que se corrige este error acumulado. Este problema se puede solucionar mediante:

• Deshabilitar la integración hasta que el sistema fotovoltaico haya entrado en la región controlable.
• Evitar que el término integral se acumule por encima o por debajo de límites predeterminados.
• Calcular retrospectivamente el término integral para restringir la salida del regulador dentro de límites factibles. ^{[ 32 ]}

Por ejemplo, se utiliza un lazo PID para controlar la temperatura de un horno eléctrico de resistencia donde el sistema se ha estabilizado. Ahora bien, cuando se abre la puerta y se introduce algo frío en el horno, la temperatura desciende por debajo del punto de ajuste. La función integral del controlador tiende a compensar el error introduciendo otro error en sentido positivo. Este sobreimpulso puede evitarse congelando la función integral después de abrir la puerta durante el tiempo que normalmente necesita el lazo de control para recalentar el horno.

Un controlador PI (controlador proporcional-integral) es un caso especial del controlador PID en el que no se utiliza la derivada (D) del error.

La salida del controlador viene dada por

${\displaystyle K_{P}\Delta +K_{I}\int \Delta \,dt}$

dónde${\displaystyle \Delta }$es el error o desviación del valor medido real ( PV ) con respecto al punto de ajuste ( SP ).

${\displaystyle \Delta =SP-PV.}$

Un controlador PI se puede modelar fácilmente en software como Simulink o Xcos utilizando un cuadro de "diagrama de flujo" que involucre operadores de Laplace :

${\displaystyle C={\frac {G(1+\tau s)}{\tau s}}}$

dónde

${\displaystyle G=K_{P}}$= ganancia proporcional

${\displaystyle {\frac {G}{\tau }}=K_{I}}$= ganancia integral

Establecer un valor para${\displaystyle G}$A menudo se trata de una compensación entre disminuir el sobreimpulso y aumentar el tiempo de estabilización.

La ausencia de acción derivativa puede hacer que el sistema sea más estable en estado estacionario en el caso de datos ruidosos. Esto se debe a que la acción derivativa es más sensible a los términos de alta frecuencia en las entradas.

Sin acción derivativa, un sistema controlado por PI responde con menor rapidez a las alteraciones de estado reales (sin ruido) y relativamente rápidas, por lo que el sistema tardará más en alcanzar el punto de ajuste y responderá más lentamente a las perturbaciones que un sistema PID bien ajustado.

Muchos bucles PID controlan un dispositivo mecánico (por ejemplo, una válvula). El mantenimiento mecánico puede suponer un coste importante, y el desgaste provoca una degradación del control, manifestándose como fricción o holgura en la respuesta mecánica a una señal de entrada. La tasa de desgaste mecánico depende principalmente de la frecuencia con la que se activa el dispositivo para producir un cambio. Cuando el desgaste es un problema importante, el bucle PID puede incorporar una banda muerta de salida para reducir la frecuencia de activación de la salida (válvula). Esto se consigue modificando el controlador para que mantenga su salida constante si el cambio es pequeño (dentro del rango de banda muerta definido). La salida calculada debe salir de la banda muerta antes de que la salida real cambie.

Los términos proporcional y derivativo pueden producir movimientos excesivos en la salida cuando un sistema se ve sometido a un incremento instantáneo del error, como un cambio brusco en el punto de consigna. En el caso del término derivativo, esto se debe a que se calcula la derivada del error, que es muy grande en el caso de un cambio instantáneo. Por consiguiente, algunos algoritmos PID incorporan algunas de las siguientes modificaciones:

Rampa del punto de ajuste

En esta modificación, el punto de ajuste se desplaza gradualmente desde su valor anterior hasta un valor nuevo mediante una función de rampa lineal o diferencial de primer orden. Esto evita la discontinuidad presente en un cambio escalonado simple.

Derivada de la variable del proceso

En este caso, el controlador PID mide la derivada de la PV medida, en lugar de la derivada del error. Esta magnitud es siempre continua (es decir, nunca experimenta un cambio brusco como resultado de una modificación del punto de consigna). Esta modificación es un caso sencillo de ponderación del punto de consigna.

ponderación del punto de ajuste

La ponderación del punto de consigna añade factores ajustables (generalmente entre 0 y 1) al error en el elemento proporcional y derivativo del controlador. El error en el término integral debe ser el error de control real para evitar errores de control en estado estacionario. Estos dos parámetros adicionales no afectan la respuesta a perturbaciones de carga ni al ruido de medición, y pueden ajustarse para mejorar la respuesta del controlador al punto de consigna.

El rendimiento del sistema de control puede mejorarse combinando el control de retroalimentación (o de lazo cerrado) de un controlador PID con el control de prealimentación (o de lazo abierto). El conocimiento del sistema (como la aceleración y la inercia deseadas) puede utilizarse como prealimentación y combinarse con la salida del PID para mejorar el rendimiento general del sistema. El valor de prealimentación por sí solo suele proporcionar la mayor parte de la salida del controlador. El controlador PID debe compensar principalmente cualquier diferencia o error que quede entre el punto de consigna (SP) y la respuesta del sistema al control de lazo abierto. Dado que la salida de prealimentación no se ve afectada por la retroalimentación del proceso, nunca puede provocar oscilaciones en el sistema de control, mejorando así la respuesta del sistema sin afectar la estabilidad. La prealimentación puede basarse en el punto de consigna y en perturbaciones adicionales medidas. La ponderación del punto de consigna es una forma sencilla de prealimentación.

Por ejemplo, en la mayoría de los sistemas de control de movimiento, para acelerar una carga mecánica de forma controlada, se requiere mayor fuerza del actuador. Si se utiliza un controlador PID de lazo de velocidad para controlar la velocidad de la carga y la fuerza aplicada por el actuador, resulta beneficioso tomar la aceleración instantánea deseada, escalarla adecuadamente y sumarla a la salida del controlador PID de lazo de velocidad. Esto significa que, tanto al acelerar como al desacelerar la carga, se aplica una fuerza proporcional al actuador, independientemente del valor de retroalimentación. En este caso, el lazo PID utiliza la información de retroalimentación para modificar la salida combinada y reducir la diferencia restante entre el punto de consigna del proceso y el valor de retroalimentación. La combinación del controlador de prealimentación de lazo abierto y el controlador PID de lazo cerrado proporciona un sistema de control más sensible.

Los controladores PID suelen implementarse con una función de inicialización "sin interrupciones" que recalcula el término del acumulador integral para mantener una salida de proceso consistente a través de cambios de parámetros. ^{[ 33 ]} Una implementación parcial consiste en almacenar la ganancia integral multiplicada por el error en lugar de almacenar el error y luego multiplicarlo por la ganancia integral, lo que evita una salida discontinua cuando cambia la ganancia I, pero no las ganancias P o D.

Además de la alimentación directa, los controladores PID a menudo se mejoran mediante métodos como la programación de ganancia PID (cambio de parámetros en diferentes condiciones de operación), lógica difusa o lógica de verbos computacional. ^{[ 34 ] [ 35 ]} Pueden surgir otros problemas de aplicación práctica a partir de la instrumentación conectada al controlador. Se requiere una frecuencia de muestreo, precisión de medición y exactitud de medición suficientemente altas para lograr un rendimiento de control adecuado. Otro método nuevo para mejorar los controladores PID es aumentar el grado de libertad mediante el uso de orden fraccional . El orden del integrador y del diferenciador agrega mayor flexibilidad al controlador. ^{[ 36 ]}

La forma del controlador PID que se encuentra con mayor frecuencia en la industria, y la más relevante para los algoritmos de ajuste, es la forma estándar . En esta forma, el${\displaystyle K_{p}}$La ganancia se aplica a la${\displaystyle I_{\mathrm {out} }}$, y${\displaystyle D_{\mathrm {out} }}$términos, que producen:

${\displaystyle u(t)=K_{p}\left(e(t)+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,d\tau +T_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)\right)}$

dónde

${\displaystyle T_{i}}$es el tiempo integral

${\displaystyle T_{d}}$es el tiempo derivado

En esta forma estándar, los parámetros tienen un significado físico claro. En particular, la suma interna produce un nuevo valor de error único, que se compensa con los errores pasados ​​y futuros. El término de error proporcional es el error actual. El término derivativo intenta predecir el valor del error en${\displaystyle T_{d}}$segundos (o muestras) en el futuro, suponiendo que el control del bucle permanece sin cambios. El componente integral ajusta el valor del error para compensar la suma de todos los errores pasados, con la intención de eliminarlos por completo en${\displaystyle T_{i}}$segundos (o muestras). El valor de error único compensado resultante se escala luego por la ganancia única.${\displaystyle K_{p}}$para calcular la variable de control.

En la forma paralela, mostrada en la sección de teoría del controlador.

${\displaystyle u(t)=K_{p}e(t)+K_{i}\int _{0}^{t}e(\tau )\,d\tau +K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)}$

Los parámetros de ganancia están relacionados con los parámetros de la forma estándar a través de${\displaystyle K_{i}=K_{p}/T_{i}}$y${\displaystyle K_{d}=K_{p}T_{d}}$Esta forma paralela, donde los parámetros se tratan como ganancias simples, es la más general y flexible. Sin embargo, también es la que presenta la relación más débil entre los parámetros y el comportamiento físico, y generalmente se reserva para el análisis teórico del controlador PID. La forma estándar, si bien es ligeramente más compleja matemáticamente, es la más común en la industria.

En muchos casos, la variable manipulada que produce el controlador PID es una fracción adimensional entre 0 y 100% de un valor máximo posible, y su conversión a unidades reales (como caudal de bombeo o potencia del calentador en vatios) está fuera del control del controlador PID. Sin embargo, la variable de proceso se expresa en unidades dimensionales, como la temperatura. En este caso, es común expresar la ganancia.${\displaystyle K_{p}}$no como "producción por grado", sino más bien en la forma recíproca de una banda proporcional${\displaystyle 100/K_{p}}$, que significa "grados por salida máxima": el rango en el que la salida varía de 0 a 1 (0% a 100%). Más allá de este rango, la salida está saturada, completamente apagada o completamente encendida. Cuanto más estrecha sea esta banda, mayor será la ganancia proporcional.

En la mayoría de los sistemas de control comerciales, la acción derivativa se basa en la variable de proceso, no en el error. Es decir, un cambio en el punto de consigna no afecta la acción derivativa. Esto se debe a que la versión digitalizada del algoritmo produce un pico no deseado cuando se modifica el punto de consigna. Si el punto de consigna es constante, los cambios en la variable de proceso serán equivalentes a los cambios en el error. Por lo tanto, esta modificación no altera la forma en que el controlador responde a las perturbaciones del proceso.

La mayoría de los sistemas de control comerciales ofrecen la opción de basar la acción proporcional únicamente en la variable de proceso. Esto significa que solo la acción integral responde a los cambios en el punto de consigna. La modificación del algoritmo no afecta la forma en que el controlador responde a las perturbaciones del proceso. Basar la acción proporcional en la variable de proceso elimina el cambio instantáneo y posiblemente muy grande en la salida causado por un cambio repentino en el punto de consigna. Dependiendo del proceso y la sintonización, esto puede ser beneficioso para la respuesta a un cambio brusco en el punto de consigna.

${\displaystyle \mathrm {MV(t)} =K_{p}\left(\,{-PV(t)}+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }-T_{d}{\frac {d}{dt}}PV(t)\right)}$

King ^{[ 39 ]} describe un método eficaz basado en gráficos.

A veces resulta útil escribir el regulador PID en forma de transformada de Laplace :

${\displaystyle G(s)=K_{p}+{\frac {K_{i}}{s}}+K_{d}{s}={\frac {K_{d}{s^{2}}+K_{p}{s}+K_{i}}{s}}}$

Disponer del controlador PID escrito en forma de Laplace y de la función de transferencia del sistema controlado facilita la determinación de la función de transferencia de lazo cerrado del sistema.

Otra representación del controlador PID es la forma en serie o interactiva.

${\displaystyle G(s)=K_{c}\left({\frac {1}{\tau _{i}{s}}}+1\right)(\tau _{d}{s}+1)}$

donde los parámetros están relacionados con los parámetros de la forma estándar a través de

${\displaystyle K_{p}=K_{c}\cdot \alpha }$,${\displaystyle T_{i}=\tau _{i}\cdot \alpha }$, y

${\displaystyle T_{d}={\frac {\tau _{d}}{\alpha }}}$

con

${\displaystyle \alpha =1+{\frac {\tau _{d}}{\tau _{i}}}}$.

Esta configuración consiste esencialmente en un controlador PD y un controlador PI en serie. Dado que se requiere la integral para calcular el sesgo del controlador, esta configuración permite el seguimiento de un valor de sesgo externo, necesario para la correcta implementación de esquemas de control avanzados con múltiples controladores.

El análisis para diseñar una implementación digital de un controlador PID en un microcontrolador (MCU) o dispositivo FPGA requiere que la forma estándar del controlador PID se discretice . ^{[ 40 ]} Las aproximaciones para las derivadas de primer orden se hacen mediante diferencias finitas hacia atrás .${\displaystyle u(t)}$y${\displaystyle e(t)}$se discretizan con un período de muestreo${\displaystyle \Delta t}$, k es el índice de la muestra.

Al derivar ambos lados de la ecuación PID utilizando la notación de Newton , se obtiene:

${\displaystyle {\dot {u}}(t)=K_{p}{\dot {e}}(t)+K_{i}e(t)+K_{d}{\ddot {e}}(t)}$

Los términos derivados se aproximan como,

${\displaystyle {\dot {f}}(t_{k})={\dfrac {df(t_{k})}{dt}}={\dfrac {f(t_{k})-f(t_{k-1})}{\Delta t}}}$

Entonces,

${\displaystyle {\frac {u(t_{k})-u(t_{k-1})}{\Delta t}}=K_{p}{\frac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{\Delta t}}+K_{i}e(t_{k})+K_{d}{\frac {{\dot {e}}(t_{k})-{\dot {e}}(t_{k-1})}{\Delta t}}}$

Aplicando de nuevo la diferencia hacia atrás obtenemos:

${\displaystyle {\frac {u(t_{k})-u(t_{k-1})}{\Delta t}}=K_{p}{\frac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{\Delta t}}+K_{i}e(t_{k})+K_{d}{\frac {{\frac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{\Delta t}}-{\frac {e(t_{k-1})-e(t_{k-2})}{\Delta t}}}{\Delta t}}}$

Al simplificar y reagrupar los términos de la ecuación anterior, se obtiene finalmente un algoritmo para la implementación del controlador PID discretizado en un microcontrolador:

${\displaystyle u(t_{k})=u(t_{k-1})+\left(K_{p}+K_{i}\Delta t+{\dfrac {K_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k})+\left(-K_{p}-{\dfrac {2K_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k-1})+{\dfrac {K_{d}}{\Delta t}}e(t_{k-2})}$

o:

${\displaystyle u(t_{k})=u(t_{k-1})+K_{p}\left[\left(1+{\dfrac {\Delta t}{T_{i}}}+{\dfrac {T_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k})+\left(-1-{\dfrac {2T_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k-1})+{\dfrac {T_{d}}{\Delta t}}e(t_{k-2})\right]}$

calle${\displaystyle T_{i}=K_{p}/K_{i},T_{d}=K_{d}/K_{p}}$

Nota: Este método resuelve de hecho${\displaystyle u(t)=K_{\text{p}}e(t)+K_{\text{i}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,\mathrm {d} \tau +K_{\text{d}}{\frac {\mathrm {d} e(t)}{\mathrm {d} t}}+u_{0}}$dónde${\displaystyle u_{0}}$es una constante independiente de t. Esta constante es útil cuando se desea tener un control de inicio y parada en el bucle de regulación. Por ejemplo, establecer Kp, Ki y Kd en 0 mantendrá u(t) constante. Del mismo modo, cuando se desea iniciar una regulación en un sistema donde el error ya está cerca de 0 con${\displaystyle u(t)}$Si no es nulo, evita que la salida sea 0.

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• Michael Barr (30/07/2002), Introducción al control de bucle cerrado , Programación de sistemas embebidos, archivado del original el 09/02/2010.
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