trayectoria ortogonal

Generalmente, se asume que el haz de curvas viene dado implícitamente por una ecuación.

(0)${\displaystyle$ :\ F(x,y,c)=0,\qquad } 1. ejemplo${\displaystyle$ :\ x^{2}+y^{2}-c=0\ ,\qquad } 2. ejemplo${\displaystyle y=cx^{2}\ \leftrightarrow \ y-cx^{2}=0\ ,}$

dónde${\displaystyle c}$es el parámetro del lápiz. Si el lápiz se da explícitamente mediante una ecuación${\displaystyle y=f(x,c)}$, se puede cambiar la representación por una implícita:${\displaystyle yf(x,c)=0}$Para las consideraciones que se exponen a continuación, se supone que existen todos los derivados necesarios.

Paso 1.

Diferenciando implícitamente para${\displaystyle x}$rendimientos

(1)${\displaystyle$ :\ F_{x}(x,y,c)+F_{y}(x,y,c)\;y'=0,\qquad } en 1. ejemplo${\displaystyle$ :\ 2x+2yy'=0\ ,\qquad } 2. ejemplo${\displaystyle$ :\ y'-2cx=0\ .}

Paso 2.

Ahora se supone que la ecuación (0) se puede resolver para el parámetro${\displaystyle c}$, que por lo tanto puede eliminarse de la ecuación (1). Se obtiene la ecuación diferencial de primer orden.

(2)${\displaystyle$ :\ y'=f(x,y),\qquad } en 1. ejemplo${\displaystyle$ :\ y'=-{\frac {x}{y}}\ ,\qquad } 2. ejemplo${\displaystyle$ :\ y'=2{\frac {y}{x}}\ ,}

lo cual se cumple con el lápiz de curvas dado.

Paso 3.

Debido a que la pendiente de la trayectoria ortogonal en un punto${\displaystyle (x,y)}$es el inverso multiplicativo negativo de la pendiente de la curva dada en este punto, la trayectoria ortogonal satisface la ecuación diferencial de primer orden

(3)${\displaystyle$ :\ y'=-{\frac {1}{f(x,y)}}\ ,\qquad } en 1. ejemplo${\displaystyle$ :\ y'=y/x\ ,\qquad } 2. ejemplo${\displaystyle$ :\ y'=-{\frac {x}{2y}}\ .}

Paso 4.

Esta ecuación diferencial puede (con suerte) resolverse mediante un método adecuado. Para ambos ejemplos, la separación de variables es apropiada. Las soluciones son: en el ejemplo 1, las líneas${\displaystyle y=mx,\ m\in \mathbb {R} }$y en el ejemplo 2, las elipsis${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=d,\ d>0\ .}$

Si el haz de curvas se representa implícitamente en coordenadas polares por

(0p)${\displaystyle$ :\ F(r,\varphi ,c)=0}

Se determina, al igual que en el caso cartesiano, la ecuación diferencial sin parámetros.

(1p)${\displaystyle$ :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=0,\qquad }

(2p)${\displaystyle$ :\ \varphi '=f(r,\varphi )}

del lápiz. La ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es entonces (véase Redheffer y Port, pág.  65; Heuser, pág.  120)

(3p)${\displaystyle$ :\ \varphi '=-{\frac {1}{{\color {red}r^{2}}f(r,\varphi )}}\ .}

Ejemplo: Cardioides :

(0p)${\displaystyle$ :\ F(r,\varphi ,c)=rc(1+\cos \varphi )=0,\ c>0\ .\ } (en el diagrama: azul)

(1p)${\displaystyle$ :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=1+c\sin \varphi \;\varphi '=0,\qquad }

Eliminación de${\displaystyle c}$produce la ecuación diferencial del lápiz dado:

(2p)${\displaystyle$ :\ \varphi '=-{\frac {1+\cos \varphi }{r\sin \varphi }}}

Por lo tanto, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es:

(3p)${\displaystyle$ :\ \varphi '={\frac {\sin \varphi }{r(1+\cos \varphi )}}}

Después de resolver esta ecuación diferencial por separación de variables se obtiene

${\displaystyle r=d(1-\cos \varphi )\ ,\ d>0\ ,}$

que describe el haz de cardioides (en rojo en el diagrama), simétrico al haz dado.