Hiperboloide

En geometría , un hiperboloide de revolución , a veces llamado hiperboloide circular , es la superficie generada al rotar una hipérbola alrededor de uno de sus ejes principales . Un hiperboloide es la superficie obtenida a partir de un hiperboloide de revolución al deformarlo mediante escalas direccionales o, más generalmente, mediante una transformación afín .

Un hiperboloide es una superficie cuádrica , es decir, una superficie definida como el conjunto cero de un polinomio de grado dos en tres variables. Entre las superficies cuádricas, un hiperboloide se caracteriza por no ser un cono ni un cilindro , tener un centro de simetría e intersecar muchos planos en hipérbolas. Un hiperboloide tiene tres ejes de simetría perpendiculares entre sí y tres planos de simetría perpendiculares entre sí .

Dado un hiperboloide, se puede elegir un sistema de coordenadas cartesianas tal que el hiperboloide esté definido por una de las siguientes ecuaciones: $${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,}$$ o $${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.}$$ Los ejes de coordenadas son los ejes de simetría del hiperboloide y el origen es el centro de simetría del hiperboloide. En cualquier caso, el hiperboloide es asintótico al cono de las ecuaciones: $${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.}$$

Se tiene un hiperboloide de revolución si y solo si${\displaystyle a^{2}=b^{2}.}$De lo contrario, los ejes están definidos de forma única ( salvo el intercambio del eje x y el eje y ).

Existen dos tipos de hiperboloides. En el primer caso ( +1 en el lado derecho de la ecuación): un hiperboloide de una hoja , también llamado hiperboloide hiperbólico . Es una superficie conexa que tiene una curvatura gaussiana negativa en cada punto. Esto implica que, cerca de cada punto, la intersección del hiperboloide y su plano tangente en dicho punto consta de dos ramas de curva con tangentes distintas en ese punto. En el caso del hiperboloide de una hoja, estas ramas de curva son líneas , por lo que el hiperboloide de una hoja es una superficie doblemente reglada .

En el segundo caso ( −1 en el lado derecho de la ecuación): un hiperboloide de dos hojas , también llamado hiperboloide elíptico . La superficie tiene dos componentes conexas y una curvatura gaussiana positiva en cada punto. La superficie es convexa en el sentido de que el plano tangente en cada punto la interseca únicamente en ese punto.

Se pueden definir coordenadas cartesianas para los hiperboloides, de forma similar a las coordenadas esféricas , manteniendo el ángulo azimutal θ ∈ [ 0, 2 π ) , pero cambiando la inclinación v por funciones trigonométricas hiperbólicas :

Hiperboloide de una superficie: v ∈ (− ∞ , ∞ )$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\sin \theta \\z&=c\sinh v\end{aligned}}}$$

Hiperboloide de dos superficies: v ∈ [ 0, ∞ )$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sinh v\sin \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}}$$

La siguiente representación paramétrica incluye hiperboloides de una hoja, dos hojas y su cono límite común, cada uno con la${\displaystyle z}$-eje como eje de simetría: $${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)}$$

• Para${\displaystyle d>0}$se obtiene un hiperboloide de una hoja,
• Para${\displaystyle d<0}$un hiperboloide de dos hojas, y
• Para${\displaystyle d=0}$un cono doble.

Se puede obtener una representación paramétrica de un hiperboloide con un eje de coordenadas diferente como eje de simetría al cambiar la posición de los${\displaystyle cs}$añada el término al componente apropiado en la ecuación anterior.

Los hiperboloides se encuentran frecuentemente en matemáticas de dimensiones superiores. Por ejemplo, en un espacio pseudoeuclidiano se utiliza una forma cuadrática : $${\displaystyle q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\quad k<n.}$$ Cuando c es cualquier constante , entonces la parte del espacio dada por $${\displaystyle \lbrace x\$$ :\ q(x)=c\rbrace } se denomina hiperboloide . El caso degenerado corresponde a c = 0 .

Como ejemplo, considérese el siguiente pasaje: ^{[ 4 ]}

... los vectores de velocidad siempre se encuentran sobre una superficie que Minkowski denomina hiperboloide de cuatro dimensiones, ya que, expresada en términos de coordenadas ^puramente _reales ( y₁ ^, ... _, y₄ ) , su ecuación es _y₂₁ + y₂₂ + ^y₂₃ ₋ y₂₄ = −1 _, análoga _al ^hiperboloide y₂₁ ⁺ y₂₂ ⁻ y₂₃ ⁼ ₋₁ ^del _espacio tridimensional . ^{[ 6} _]

Sin embargo, el término cuasi-esfera también se utiliza en este contexto ya que la esfera y el hiperboloide tienen algunas características en común (véase §  Relación con la esfera más adelante).

Los hiperboloides de una sola hoja se utilizan en la construcción, y las estructuras resultantes se denominan estructuras hiperboloides . Un hiperboloide es una superficie doblemente reglada ; por lo tanto, se puede construir con vigas de acero rectas, lo que produce una estructura resistente a un menor costo que otros métodos. Algunos ejemplos son las torres de refrigeración , especialmente las de las centrales eléctricas , y muchas otras estructuras .

• Galería de estructuras hiperboloides de una sola hoja
• 
  El faro de Adziogol , Ucrania , 1911.
• 
  La primera torre de refrigeración Van Iterson patentada en 1916 por DSM Emma en Heerlen , Países Bajos , 1918.
• 
  Torre del Puerto de Kobe , Japón , 1963.
• 
  Planetario James S. McDonnell del Centro de Ciencias de Saint Louis , St. Louis , Missouri , 1963.
• 
  Torre de control del Aeropuerto Internacional de Newcastle , Newcastle upon Tyne , Inglaterra , 1967.
• 
  Torre de Transmisión de Ještěd , República Checa , 1968.
• 
  Catedral de Brasilia , Brasil , 1970.
• 
  Torre de agua hiperboloide con tanque toroidal , Ciechanów , Polonia , 1972.
• 
  Roy Thomson Hall , Toronto , Canadá , 1982.
• 
  La torre de refrigeración THTR-300 del reactor nuclear de torio , ahora fuera de servicio, en Hamm -Uentrop, Alemania , 1983.
• 
  El puente de Corporation Street , Manchester , Inglaterra , 1999.
• 
  La torre de observación de Killesberg , Stuttgart , Alemania , 2001.
• 
  BMW Welt (Mundo BMW), museo y espacio para eventos, Múnich , Alemania , 2007.
• 
  La Torre de Cantón , China , 2010.
• 
  La torre de agua de Essarts-le-Roi , Francia .

En 1853, William Rowan Hamilton publicó sus Lecciones sobre cuaterniones , que incluían la presentación de bicuaterniones . El siguiente fragmento de la página 673 muestra cómo Hamilton utiliza el álgebra de bicuaterniones y los vectores derivados de los cuaterniones para generar hiperboloides a partir de la ecuación de una esfera :

... la ecuación de la esfera unitaria ρ ² + 1 = 0 , y cambiamos el vector ρ a una forma bivectorial , como σ + τ √ −1 . La ecuación de la esfera se descompone entonces en el sistema de los dos siguientes,

σ ² − τ ² + 1 = 0 , S . στ = 0 ;

y sugiere que consideremos σ y τ como dos vectores reales y rectangulares, de tal manera que

T τ = ( T σ ² − 1 ) ^1/2 .

Por lo tanto, es fácil inferir que si asumimos σ || λ , donde λ es un vector en una posición dada, el nuevo vector real σ + τ terminará en la superficie de un hiperboloide equilátero de doble hoja ; y que si, por otro lado, asumimos τ || λ , entonces el lugar geométrico del extremo del vector real σ + τ será un hiperboloide equilátero de una sola hoja . El estudio de estos dos hiperboloides se conecta, por lo tanto, de esta manera muy sencilla, a través de bicuaterniones, con el estudio de la esfera;...

En este pasaje, S es el operador que da la parte escalar de un cuaternión, y T es el "tensor", ahora llamado norma , de un cuaternión.

Una visión moderna de la unificación de la esfera y el hiperboloide utiliza la idea de una sección cónica como una rebanada de una forma cuadrática . En lugar de una superficie cónica , se requieren hipersuperficies cónicas en un espacio de cuatro dimensiones con puntos p = ( w , x , y , z ) ∈ R⁴ determinados por formas cuadráticas . Consideremos primero la hipersuperficie cónica ^.

• ${\displaystyle P=\left\{p\;:\;w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\right\}}$y
• ${\displaystyle H_{r}=\lbrace p\$ :\ w=r\rbrace ,} que es un hiperplano .

Entonces${\displaystyle P\cap H_{r}}$es la esfera con radio r . Por otro lado, la hipersuperficie cónica

${\displaystyle Q=\lbrace p\$ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace } proporciona que${\displaystyle Q\cap H_{r}}$es un hiperboloide.

En la teoría de las formas cuadráticas , una cuasiesfera unitaria es el subconjunto de un espacio cuadrático X que consta de los x ∈ X tales que la norma cuadrática de x es uno. ^{[ 7 ]}

• Lista de superficies
• elipsoide
• Paraboloide / Paraboloide hiperbólico
• Regulus
• Rotación de ejes
•  Perfil de cuaternión dividido
• Traslación de ejes
• Espacio De Sitter
• cono de luz

• Weisstein, Eric W. "Hiperboloide" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Hiperboloide de una hoja" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Hiperboloide de dos hojas" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Hiperboloide elíptico" . MathWorld .