Sección circular

En geometría, una sección circular es un círculo sobre una superficie cuádrica (como un elipsoide o un hiperboloide ). Se trata de una sección plana especial de la cuádrica, ya que este círculo es la intersección con la cuádrica del plano que lo contiene.

Cualquier sección plana de una esfera es una sección circular si contiene al menos dos puntos. Cualquier cuádrica de revolución contiene círculos como secciones con planos ortogonales a su eje; no contiene otros círculos si no es una esfera. Más ocultos están los círculos en otras cuádricas, como los elipsoides triaxiales, los cilindros elípticos, etc. Sin embargo, es cierto que:

• Cualquier superficie cuádrica que contenga elipses también contiene círculos.

De forma equivalente, todas las superficies cuádricas contienen círculos, excepto los cilindros parabólicos e hiperbólicos y los paraboloides hiperbólicos .

Si una cuádrica contiene un círculo, entonces toda intersección de la cuádrica con un plano paralelo a dicho círculo también es un círculo, siempre que contenga al menos dos puntos. Excepto en el caso de las esferas, los círculos contenidos en una cuádrica, si los hay, son todos paralelos a uno de dos planos fijos (que son iguales en el caso de una cuádrica de revolución).

Las secciones circulares se utilizan en cristalografía . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Las secciones circulares de una cuádrica pueden calcularse a partir de la ecuación implícita de la cuádrica, como se hace en las secciones siguientes. También pueden caracterizarse y estudiarse mediante geometría proyectiva sintética .

Sea C la intersección de una superficie cuádrica Q y un plano P. En esta sección, Q y C son superficies en el espacio euclidiano tridimensional , que se extienden al espacio proyectivo sobre los números complejos . Bajo estas hipótesis, la curva C es un círculo si y solo si su intersección con el plano en el infinito está incluida en la curva ómbica (la curva en el infinito de la ecuación${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$).

El primer caso a considerar es cuando la intersección de Q con el plano en el infinito consta de una o dos rectas reales, es decir, cuando Q es un paraboloide hiperbólico , un cilindro parabólico o un cilindro hiperbólico . En este caso, los puntos en el infinito de C son reales (intersección de un plano real con rectas reales). Por lo tanto, las secciones planas de Q no pueden ser círculos (ni elipses ).

Si Q es una esfera , su intersección con el plano en el infinito es la ómbica, y todas las secciones planas son círculos.

Si Q es una superficie de revolución , su intersección con la ómbica consta de un par de puntos complejos conjugados (que son puntos dobles ). Un plano real contiene estos dos puntos si y solo si es perpendicular al eje de revolución. Por lo tanto, las secciones circulares son las secciones planas, perpendiculares al eje, que contienen al menos dos puntos reales.

En los demás casos, la intersección de Q con la ómbica consta de dos pares diferentes de puntos complejos conjugados. Como C es una curva de grado dos, su intersección con el plano en el infinito consta de dos puntos, posiblemente iguales. La curva C es, por lo tanto, un círculo si estos dos puntos son uno de estos dos pares de puntos complejos conjugados en la ómbica. Cada uno de estos pares define una recta real (que pasa por los puntos), la cual es la intersección de P con el plano en el infinito. Así, se tiene una sección circular si y solo si C tiene al menos dos puntos reales y P contiene una de estas rectas en el infinito (es decir, si P es paralela a una de las dos direcciones definidas por estas rectas en el infinito).

Para hallar los planos que contienen secciones circulares de una cuádrica dada, se utilizan las siguientes afirmaciones:

(S:) Si los puntos comunes de una cuádrica con una esfera están contenidos en un par de planos, entonces la curva de intersección consta de dos círculos.

(P:) Si la intersección de un plano y una cuádrica es un círculo, entonces cualquier plano paralelo que contenga al menos dos puntos de la cuádrica también interseca la cuádrica en un círculo.

Por lo tanto, la estrategia para la detección de secciones circulares es:

1) Encuentra una esfera que interseca la cuádrica en un par de planos y

2) Los planos que son paralelos a los detectados proporcionan las secciones circulares restantes.

Para el elipsoide con ecuación

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

y los semiejes ${\displaystyle a>b>c>0}$uno utiliza una esfera auxiliar con ecuación

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .}$

El radio de la esfera debe elegirse de tal manera que la intersección con el elipsoide esté contenida en dos planos que pasen por el origen. Multiplicación de la ecuación del elipsoide por${\displaystyle r^{2}}$y restando la ecuación de la esfera se obtiene:

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}+\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ .}$

Esta ecuación describe un par de planos, si uno de los 3 coeficientes es cero. En caso de ${\displaystyle \ r=a\ }$o${\displaystyle \ r=c\ }$La ecuación solo se cumple para el eje x o el eje z. Solo en caso de${\displaystyle \ r=b\ }$uno obtiene un par de planos con ecuación

• ${\displaystyle \left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {b^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\tfrac {c}{a}}{\sqrt {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}-c^{2}}}}\;x\ ,}$

porque solo en este caso los coeficientes restantes tienen signos diferentes (debido a:${\displaystyle a>b>c}$).

El diagrama ofrece una idea de las intersecciones más comunes entre una esfera y un elipsoide, y destaca el caso excepcional de la circunferencia (en azul).

Si los valores de los semiejes se aproximan, los dos haces de planos (y círculos) se aproximan entre sí. Para${\displaystyle a=b}$Todos los planos son ortogonales al eje z (eje de rotación).

Para el hiperboloide de una hoja con ecuación

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,c>0}$

De forma análoga se obtiene para la intersección con la esfera${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ }$la ecuación

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ .}$

Solo para${\displaystyle \ r=a\ }$uno recibe un par de aviones:

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {a^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ ,\ }$

Para el cilindro elíptico con ecuación

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,}$

uno obtiene la ecuación

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ .}$

Solo para${\displaystyle \ r=a\ }$uno recibe un par de aviones:

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}\;y\ .\ }$

Para el paraboloide elíptico con ecuación

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}-z=0\ ,\quad a{\color {red}{<}}b\ ,}$

Se elige una esfera que contiene el vértice (origen) y cuyo centro se encuentra sobre el eje (eje z)  :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(zr)^{2}=r^{2}\quad \leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2rz=0\ .}$

Tras eliminar las partes lineales se obtiene la ecuación.

${\displaystyle (2ra-1)\;x^{2}+(2rb-1)\;y^{2}-z^{2}=0\ .}$

Solo para${\displaystyle r={\tfrac {1}{2a}}}$uno obtiene un par de aviones  :

${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\sqrt {\frac {ba}{a}}}\;y\ .\ }$

El hiperboloide de dos hojas con ecuación

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,\ c>0\ ,}$

se desplaza inicialmente de tal manera que un vértice sea el origen (véase el diagrama):

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(z+c)^{2}}{c^{2}}}=1\quad \leftrightarrow \quad \ -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}+{\frac {2z}{c}}=0\ .}$

De forma análoga al caso del paraboloide, se elige una esfera que contenga el origen con centro en el eje z:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\quad \leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2zr=0\ .}$

Tras eliminar las partes lineales se obtiene la ecuación.

${\displaystyle \left(-{\frac {r}{a^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;x^{2}+\left(-{\frac {r}{b^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {r}{c^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)z^{2}=0\ .}$

Solo para ${\displaystyle r={\tfrac {a^{2}}{c}}}$uno recibe un par de aviones:

${\displaystyle \left(-{\frac {a^{2}}{b^{2}c}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {a^{2}}{c^{3}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ .}$

El cono elíptico con ecuación

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}=0\ ,\quad a>b\ ,}$

se desplaza de tal manera que el vértice no es el origen (ver diagrama):

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-(z-1)^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}+2z=1.}$

Ahora bien, una esfera con centro en el origen es adecuada:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .}$

Eliminación de${\displaystyle x^{2}}$rendimientos:

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-(1+a^{2})\;z^{2}+2a^{2}z=a^{2}-r^{2}\ .}$

En este caso, al completar el cuadrado se obtiene:

${\displaystyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\;y^{2}-(1+a^{2})\left(z-{\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\right)^{2}=a^{2}-{\frac {a^{4}}{1+a^{2}}}-r^{2}\ .}$

Para obtener la ecuación de un par de planos, la parte derecha de la ecuación tiene que ser cero, lo cual es cierto para${\displaystyle r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .}$ La solución para z da como resultado:

${\displaystyle z={\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\pm {\frac {1}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{1+a^{2}}}}\;y\ .}$

• Sección terrestre

• HF Baker: Principios de Geometría, Volumen 3 , Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-1-108-01779-4.
• DMY Sommerville: Geometría analítica de tres dimensiones , Cambridge University Press, 1959, ISBN 978-1-316-60190-7, pág.  204.
• KP Grotemeyer: Geometría analítica. Göschen-Verlag, 1962, pág.  143.
• H. Scheid, W. Schwarz: Elementos del álgebra lineal y análisis. Spektrum, Heidelberg, 2009, ISBN 978-3-8274-1971-2, pág.  132.

• H. Wiener, P. Treutlein: Modelos de un elipsoide triaxial y un paraboloide elíptico mediante secciones circulares (véase la pág.  15)(PDF).