Octaedro

En geometría , un octaedro ( plural : octaedros ) es cualquier poliedro con ocho caras. Un caso especial es el octaedro regular , un sólido platónico compuesto por ocho triángulos equiláteros , cuatro de los cuales se unen en cada vértice. También existen muchos tipos de octaedros irregulares, incluyendo formas convexas y no convexas.

El octaedro regular tiene ocho lados triangulares equiláteros , seis vértices en los que se unen cuatro lados y doce aristas. Su poliedro dual es un cubo . ^{[ 1 ]} Puede formarse como la envoltura convexa de los seis vectores unitarios paralelos a los ejes en el espacio euclidiano tridimensional . Es uno de los cinco sólidos platónicos , ^{[ 2 ]} y el caso tridimensional de una familia infinita de politopos regulares , los politopos cruzados . ^{[ 3 ]} Aunque no recubre el espacio por sí mismo, puede recubrirlo junto con el tetraedro regular para formar el panal tetraédrico-octaédrico . ^{[ 4 ]}

Los siguientes poliedros son combinatoriamente equivalentes al octaedro regular. Todos ellos tienen seis vértices, ocho caras triangulares y doce aristas que se corresponden uno a uno con las características del octaedro:

• Antiprismas triangulares : Dos caras son equiláteras, se encuentran en planos paralelos y tienen un eje de simetría común. Los otros seis triángulos son isósceles. El octaedro regular es un caso especial en el que los seis triángulos laterales también son equiláteros. ^{[ 5 ]}
• Bipirámides tetragonales , en las que al menos uno de los cuadriláteros ecuatoriales se encuentra sobre un plano. El octaedro regular es un caso especial en el que los tres cuadriláteros son cuadrados planos. ^{[ 6 ]}
• Poliedro de Schönhardt , un poliedro no convexo que no puede dividirse en tetraedros sin introducir nuevos vértices. ^{[ 7 ]}
• Octaedro de Bricard , un poliedro flexible autointersecante no convexo . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

El octaedro regular tiene 6 vértices y 12 aristas, el mínimo para un octaedro; los octaedros irregulares pueden tener hasta 12 vértices y 18 aristas. ^{[ 10 ]} Hay 257 octaedros convexos topológicamente distintos , excluyendo las imágenes especulares. Más específicamente, hay 2, 11, 42, 74, 76, 38 y 14 para octaedros con 6 a 12 vértices respectivamente. ^{[ 11 ] [ 12 ]} (Dos poliedros son "topológicamente distintos" si tienen disposiciones intrínsecamente diferentes de caras y vértices, de tal manera que es imposible distorsionar uno en el otro simplemente cambiando las longitudes de las aristas o los ángulos entre aristas o caras).

Entre los poliedros convexos de ocho lados más destacados se incluyen:

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  Prisma hexagonal : Dos caras son hexágonos regulares paralelos; seis cuadrados unen pares correspondientes de aristas hexagonales. Con todas las caras regulares y todos los vértices simétricos entre sí, este es un poliedro uniforme . ^{[ 13 ]} Cubre el espacio mediante traslación como un paraleloedro . ^{[ 14 ]} El tronco hexagonal es topológicamente equivalente.
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  Tetraedro truncado : Las cuatro caras del tetraedro se truncan para convertirse en hexágonos regulares, y hay cuatro caras triangulares equiláteras adicionales donde se truncó cada vértice del tetraedro. Como poliedro uniforme que no es un prisma ni un antiprisma , se trata de un sólido arquimediano . ^{[ 15 ] [ 16 ]}
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  Girobifastigium : Dos prismas triangulares uniformes pegados sobre uno de sus lados cuadrados de manera que ningún triángulo comparte una arista con otro. Como poliedro cuyas caras son polígonos regulares, es un sólido de Johnson . ^{[ 16 ]} Es un poliedro que llena el espacio . ^{[ 17 ]} Su poliedro dual también es un octaedro. ^{[ 18 ]}
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  Prisma triangular aumentado : Resultado de pegar un prisma triangular a una pirámide cuadrada , este tiene seis caras triangulares equiláteras y dos caras cuadradas. También es un sólido de Johnson. ^{[ 16 ]}
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  Cúpula triangular : Otro sólido de Johnson, este tiene una cara hexagonal regular, tres caras cuadradas y cuatro caras triangulares equiláteras. ^{[ 16 ]}
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  Icosaedro tridimensionado : Otro sólido de Johnson, obtenido al eliminar tres pirámides pentagonales de un icosaedro regular, lo que resulta en tres caras pentagonales y cinco triangulares. ^{[ 19 ]}
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  Pirámide heptagonal : Una cara es un heptágono (generalmente regular) y las siete caras restantes son triángulos (generalmente isósceles ). ^{[ 20 ]} No es posible que todas las caras triangulares sean equiláteras. Es un poliedro autodual .
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  Trapezoedro tetragonal : Las ocho caras son cometas congruentes . ^{[ 21 ]} Salvo equivalencia topológica, es el único octaedro cuyas caras son todas cuadriláteros . ^{[ 22 ]}
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  Bifrustum triangular : El dual de una bipirámide triangular alargada (un sólido de Johnson), que puede realizarse con seis caras trapezoidales isósceles y dos caras triangulares equiláteras.
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  Trapezoedro triangular truncado , también llamado sólido de Durero: Se obtiene truncando dos vértices opuestos de un cubo o romboedro, y tiene seis caras pentagonales y dos caras triangulares. ^{[ 23 ]}
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  Romboedro a dos aguas con cuatro caras pentagonales y cuatro caras rectangulares. ^{[ 24 ]} Al igual que el girobifastigio, es un poliedro que llena el espacio. ^{[ 25 ]}