Sistema numérico

Un sistema numérico es un sistema de escritura para expresar números sin palabras; es decir, una notación matemática para representar números de un conjunto dado, utilizando dígitos (en notación posicional ) u otros símbolos (en notación de signo-valor ) de manera consistente.

La misma secuencia de símbolos puede representar números diferentes en distintos sistemas numéricos. Por ejemplo, "11" representa el número once en el sistema numérico decimal o de base 10 (actualmente, el sistema más común a nivel mundial), el número tres en el sistema numérico binario o de base 2 (utilizado en las computadoras modernas) y el número dos en el sistema numérico unario (utilizado para contar puntuaciones).

El número que representa el numeral se llama su valor . Además, no todos los sistemas numéricos pueden representar el mismo conjunto de números; por ejemplo, los numerales romanos , griegos y egipcios carecen de una representación oficial del número cero .

Idealmente, un sistema numérico debería:

• Representar un conjunto útil de números (por ejemplo, todos los números enteros o los números racionales ).
• Asigne a cada número representado una representación única (o al menos una representación estándar).
• Reflejan la estructura algebraica y aritmética de los números.

Por ejemplo, la representación decimal habitual proporciona a cada número natural distinto de cero una representación única como una secuencia finita de dígitos, que comienza con un dígito distinto de cero.

A veces se denomina sistemas numéricos a los sistemas de numeración , pero este nombre es ambiguo, ya que podría referirse a diferentes sistemas de números, como el sistema de números reales , el sistema de números complejos , varios sistemas de números hipercomplejos , el sistema de números p -ádicos , etc. Sin embargo, estos sistemas no son el tema de este artículo.

Los primeros sistemas de numeración variaron entre civilizaciones: los babilonios usaban un sistema de base 60 , los egipcios desarrollaron numerales jeroglíficos y los chinos emplearon numerales de varilla. Los mayas crearon de forma independiente los numerales mayas vigesimales (de base 20) que incluían un símbolo para el cero . Matemáticos indios, como Brahmagupta en el siglo VII, desempeñaron un papel crucial en la historia del cero , formalizando su concepto y reglas aritméticas; esto fue posteriormente perfeccionado por eruditos como Al-Juarismi en el mundo islámico . A medida que estos sistemas de numeración evolucionaron, la eficiencia de la notación posicional y la inclusión del cero contribuyeron a dar forma a la representación numérica moderna, influyendo en el comercio, la ciencia y la tecnología globales. El primer sistema de numeración posicional escrito verdadero se considera el sistema de numeración indoarábigo . Este sistema se estableció en el siglo VII en la India, ^{[ 1 ]} pero aún no estaba en su forma moderna porque el uso del dígito cero aún no había sido ampliamente aceptado. En lugar de un cero, a veces los dígitos se marcaban con puntos para indicar su significado, o se usaba un espacio como marcador de posición. El primer uso ampliamente reconocido del cero fue en 876. ^{[ 2 ]} Los numerales originales eran muy similares a los modernos, incluso en los glifos utilizados para representar los dígitos. ^{[ 1 ]} 

En el siglo XIII, los números arábigos occidentales fueron aceptados en los círculos matemáticos europeos ( Fibonacci los utilizó en su Liber Abaci ). Aunque inicialmente encontraron resistencia, los números indoarábigos obtuvieron una mayor aceptación en Europa debido a su eficiencia en las operaciones aritméticas, particularmente en la banca y el comercio. La invención de la imprenta en el siglo XV contribuyó a estandarizar su uso, ya que los textos matemáticos impresos favorecieron este sistema sobre los números romanos. Comenzaron a utilizarse comúnmente en el  siglo XV. ^{[ 3 ]} En el siglo XVII, el sistema se había convertido en dominante en las obras científicas, influyendo en los avances matemáticos de figuras como Isaac Newton y René Descartes. En los siglos XIX y XX, la adopción generalizada de los números arábigos facilitó el desarrollo global de las finanzas, la ingeniería y la tecnología, sentando las bases de la informática moderna y la representación digital de datos. A finales del  siglo XX, prácticamente todos los cálculos no informatizados del mundo se realizaban con números arábigos, que han sustituido a los sistemas de numeración autóctonos en la mayoría de las culturas.

Otros sistemas de numeración históricos que utilizan dígitos

Se desconoce la edad exacta de los numerales mayas , pero es posible que sean anteriores al sistema indoarábigo. El sistema era vigesimal (base  20), por lo que consta de veinte dígitos. Los mayas utilizaban un símbolo de concha para representar el cero. ^{[ 4 ]} Los numerales se escribían verticalmente, con las unidades en la parte inferior. Los mayas no tenían un equivalente al separador decimal moderno , por lo que su sistema no podía representar fracciones.

El sistema de numeración tailandés es idéntico al sistema de numeración indoarábigo, excepto por los símbolos utilizados para representar los dígitos. El uso de estos dígitos es menos común en Tailandia que antes, pero aún se utilizan junto con los números arábigos. ^{[ 5 ]}

Los numerales de varilla, las formas escritas de las varillas de conteo que alguna vez usaron los matemáticos chinos y japoneses , son un sistema posicional decimal utilizado para realizar cálculos decimales. Las varillas se colocaban en un tablero de conteo y se deslizaban hacia adelante o hacia atrás para cambiar el lugar decimal. El Sūnzĭ Suànjīng , un tratado matemático que data de entre los siglos III y V d. C., proporciona instrucciones detalladas para el sistema, que se cree que ha estado en uso desde al menos el siglo IV a. C. ^{[ 6 ]} El cero no se trató inicialmente como un número, sino como una posición vacía. ^{[ 7 ]} Fuentes posteriores introdujeron convenciones para la expresión del cero y los números negativos. El uso de un símbolo redondo 〇 para el cero se atestigua por primera vez en el Tratado matemático en nueve secciones de 1247 d. C. ^{[ 8 ]} El origen de este símbolo es desconocido; puede que se haya producido modificando un símbolo cuadrado. ^{[ 9 ]} Los numerales de Suzhou , descendientes de los numerales de varilla, todavía se utilizan hoy en día para algunos fines comerciales.

El sistema de numeración más utilizado es el decimal . Se atribuye a los matemáticos indios el desarrollo de la versión entera, el sistema de numeración indoarábigo . ^{[ 10 ]} Aryabhata de Kusumapura desarrolló la notación de valor posicional en el  siglo V y un siglo después Brahmagupta introdujo el símbolo del cero. El sistema se extendió lentamente a otras regiones circundantes como Arabia debido a sus actividades comerciales y militares con la India. Los matemáticos de Oriente Medio extendieron el sistema para incluir potencias negativas de 10, o fracciones, como se registra en un tratado del matemático sirio Abu'l-Hasan al-Uqlidisi en 952-953, y la notación del punto decimal fue introducida por Sind ibn Ali , quien también escribió el primer tratado sobre numeración arábiga. El sistema de numeración indoarábigo se extendió luego a Europa debido al comercio, y los dígitos utilizados en Europa se llaman numeración arábiga , ya que los aprendieron de los árabes.

El sistema numérico más simple es el sistema numérico unario , en el que cada número natural se representa mediante una cantidad correspondiente de símbolos. Si se elige el símbolo / , por ejemplo, el número siete se representaría con /////// . Las marcas de conteo representan un ejemplo de este sistema que aún se usa comúnmente. El sistema unario se suele reservar para números pequeños, aunque desempeña un papel importante en la informática teórica . La codificación gamma de Elias , que se usa comúnmente en la compresión de datos , expresa números de tamaño arbitrario utilizando el sistema unario para indicar la longitud de un número binario.

La notación unaria se puede abreviar introduciendo diferentes símbolos para ciertos valores nuevos. Muy comúnmente, estos valores son potencias de 10; así, por ejemplo, si / representa uno, − diez y + 100, entonces el número 304 se puede representar de forma compacta como +++ //// y el número 123 como + − − /// sin usar el cero. Esto se llama notación signo-valor . El antiguo sistema de numeración egipcio era de este tipo, y el sistema de numeración romano fue una modificación de esta idea.

Otros sistemas emplean abreviaturas especiales para las repeticiones de símbolos; por ejemplo, utilizando las primeras nueve letras del alfabeto para estas abreviaturas, donde A representa "una ocurrencia", B "dos ocurrencias", y así sucesivamente, se podría escribir C+D/ para el número 304; la cantidad de estas abreviaturas a veces se denomina base del sistema. Este sistema se utiliza para escribir numerales chinos y otros numerales de Asia Oriental basados ​​en el chino. El sistema numérico del idioma inglés es de este tipo, como "trescientos cuatro", al igual que los de otros idiomas hablados, independientemente de los sistemas de escritura que hayan adoptado. Muchos idiomas utilizan combinaciones de bases y otras características; por ejemplo, 79 en francés es soixante dix-neuf ( 60 + 10 + 9 ) y en galés es pedwar ar bymtheg a thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20) ) o el algo arcaico pedwar ugain namyn un ( 4 × 20 − 1 ). En inglés, "four score less one", como en el famoso Discurso de Gettysburg que representa "87 years ago" como "four score and seven years ago".

Un sistema posicional , también conocido como notación de valor posicional, se clasifica según su base o radix , que es el número de símbolos llamados dígitos que utiliza el sistema. En base 10, se utilizan  diez dígitos diferentes (0, ..., 9) y la posición de un dígito se usa para indicar la potencia de diez por la que se debe multiplicar dicho dígito, como en 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1 o, más precisamente, 3×10² ⁺ 0× ^10¹ + 4× ^10⁰ . El cero, que no se usa en los demás sistemas, se usa en este sistema para poder "saltarse" una potencia. El sistema de numeración indoarábigo, que se originó en la India y ahora se usa en todo el mundo, es un sistema posicional de base 10.  

La aritmética es mucho más fácil en los sistemas posicionales que en los anteriores sistemas aditivos; además, los sistemas aditivos necesitan un gran número de símbolos diferentes para las distintas potencias de 10; un sistema posicional necesita diez símbolos diferentes, si utiliza la base 10. ^{[ 11 ]} 

El sistema decimal posicional se utiliza universalmente en la escritura humana. ^{[ 12 ]} La base 1000 también se utiliza en muchos sistemas agrupando los dígitos y considerando una secuencia de tres dígitos decimales como un solo dígito. Este es el significado de la notación común 1.000.234.567 utilizada para números muy grandes. 

En informática, los principales sistemas numéricos se basan en el sistema posicional binario , o base  2, con dos dígitos binarios : 0 y 1. Los sistemas posicionales que se obtienen agrupando los dígitos binarios de tres en tres ( sistema octal ) o de cuatro en cuatro ( sistema hexadecimal ) son de uso común. Para números enteros muy grandes, por ejemplo, la biblioteca aritmética de precisión múltiple GNU (GMP) utiliza las bases  2³² o ^{2⁶⁴ , agrupando los dígitos binarios de 32 o 64, respectivamente} , según la longitud de la palabra de máquina .

En ciertos sistemas biológicos, se emplea el sistema de codificación unaria . Los numerales unarios se utilizan en los circuitos neuronales responsables de la producción del canto de las aves . ^{[ 13 ]} El núcleo en el cerebro de las aves cantoras que participa tanto en el aprendizaje como en la producción del canto es el centro vocal superior (HVC). Las señales de comando para las diferentes notas del canto emanan de distintos puntos del HVC. Esta codificación funciona como codificación espacial, una estrategia para circuitos biológicos debido a su simplicidad y robustez inherentes.

Los numerales utilizados para escribir números con dígitos o símbolos se dividen en dos tipos: los numerales aritméticos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y los numerales geométricos (1, 10, 100, 1000, 10000...). Los sistemas de numeración de signos utilizan únicamente los numerales geométricos, mientras que los sistemas de numeración posicional utilizan solo los numerales aritméticos. Un sistema de numeración de signos no utiliza numerales aritméticos porque se forman por repetición —excepto en el sistema jónico— , y un sistema de numeración posicional no utiliza numerales geométricos porque se forman por posición. El lenguaje hablado utiliza tanto numerales aritméticos como geométricos.

En algunas áreas de la informática, se utiliza un sistema posicional de base k modificado, denominado numeración biyectiva , donde los dígitos 1, 2,  ..., k ( k ≥ 1 ) y el cero se representan mediante una cadena vacía. Esto establece una biyección entre el conjunto de todas estas cadenas de dígitos y el conjunto de los enteros no negativos, evitando la falta de unicidad causada por los ceros iniciales. La numeración biyectiva de base k también se denomina notación k -ádica, que no debe confundirse con los números p -ádicos . La base 1 biyectiva  es equivalente a la unaria.

En un sistema de numeración posicional de base b (donde b es un número natural mayor que 1 , conocido como la base del sistema), se utilizan b símbolos básicos (o dígitos) que corresponden a los primeros b números naturales, incluido el cero. Para generar el resto de los números, se utiliza la posición del símbolo en la figura. El símbolo en la última posición tiene su propio valor, y a medida que se mueve hacia la izquierda, su valor se multiplica por b .

Por ejemplo, en el sistema decimal (base 10), el numeral 4327 significa ( 4 ×10 ³ ) + ( 3 ×10 ² ) + ( 2 ×10 ¹ ) + ( 7 ×10 ⁰ ) , teniendo en cuenta que 10 ⁰ = 1 .

En general, si b es la base, un número se escribe en el sistema numérico de base b expresándolo en la forma a _n b ⁿ + a _{n − 1} b ^{n − 1} + a _{n − 2} b ^{n − 2} + ... + a ₀ b ⁰ y escribiendo los dígitos enumerados a _n a _{n − 1} a _{n − 2} ... a ₀ en orden descendente. Los dígitos son números naturales entre 0 y b − 1 , ambos inclusive.

Si un texto (como este) menciona varias bases y existe ambigüedad, la base (representada en base  10) se añade como subíndice a la derecha del número, así: número _base . Salvo que el contexto especifique lo contrario, los números sin subíndice se consideran decimales.

Al usar un punto para dividir los dígitos en dos grupos, también se pueden escribir fracciones en el sistema posicional. Por ejemplo, el  numeral de base 2 10.11 denota 1×2 ¹ + 0×2 ⁰ + 1×2 ⁻¹ + 1×2 ⁻² = 2.75 .

En general, los números en el sistema de base b tienen la forma:

${\displaystyle (a_{n}a_{n-1}\cdots a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}\cdots )_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}.}$

Los números b ^k y b ^{− k} son los pesos de los dígitos correspondientes. La posición k es el logaritmo del peso correspondiente w , es decir${\displaystyle k=\log _{b}w=\log _{b}b^{k}}$La posición más utilizada es cercana al orden de magnitud del número.

El número de marcas de conteo necesarias en el sistema numérico unario para describir el peso habría sido w . En el sistema posicional, el número de dígitos necesarios para describirlo es solo${\displaystyle k+1=\log _ {b}w+1}$, para k ≥ 0. Por ejemplo, para describir el peso 1000 se necesitan cuatro dígitos porque${\displaystyle \log _{10}1000+1=3+1}$. El número de dígitos necesarios para describir la posición es${\displaystyle \log _{b}k+1=\log _{b}\log _{b}w+1}$(en las posiciones 1, 10, 100,... solo por simplicidad en el ejemplo decimal).

${\displaystyle {\begin{array}{l|rrrrrrr}{\text{Posición}}&3&2&1&0&-1&-2&\cdots \\\hline {\text{Peso}}&b^{3}&b^{2}&b^{1}&b^{0}&b^{-1}&b^{-2}&\cdots \\{\text{Dígito}}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&c_{1}&c_{2}&\cdots \\\hline {\text{Ejemplo de peso decimal}}&1000&100&10&1&0.1&0.01&\cdots \\{\text{Ejemplo de dígito decimal}}&4&3&2&7&0&0&\cdots \end{array}}}$

Un número tiene una expansión terminante o repetitiva si y solo si es racional ; esto no depende de la base. Un número que termina en una base puede repetirse en otra (así 0.3 ₁₀ = 0.0100110011001... ₂ ). Un número irracional permanece aperiódico (con un número infinito de dígitos no repetidos) en todas las bases enteras. Así, por ejemplo, en base  2, π = 3.1415926... ₁₀ se puede escribir como el aperiódico 11.001001000011111... ₂ .

Colocar guiones altos , n , o puntos suspensivos, ṅ , encima de los dígitos comunes es una convención utilizada para representar expansiones racionales repetitivas. Por lo tanto:

14/11 = 1.272727272727... = 1. 27  o  321.3217878787878... = 321.321 78 .

Si b = p es un número primo , se pueden definir numerales de base p cuya expansión hacia la izquierda nunca se detiene; estos se denominan números p -ádicos .

También es posible definir una variación de la base b en la que los dígitos pueden ser positivos o negativos; esto se denomina representación de dígitos con signo .

Más general es usar una notación de base mixta (aquí escrita little-endian ) como${\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}}$para${\displaystyle a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}}$, etc.

Esto se utiliza en Punycode , uno de cuyos aspectos es la representación de una secuencia de enteros no negativos de tamaño arbitrario en forma de una secuencia sin delimitadores, de "dígitos" de una colección de 36: a–z y 0–9, que representan 0–25 y 26–35 respectivamente. También existen los llamados valores umbral (${\displaystyle t_{0},t_{1},\ldots }$) que son fijos para cada posición en el número. Un dígito${\displaystyle a_{i}}$(en una posición determinada en el número) que es inferior a su valor umbral correspondiente${\displaystyle t_{i}}$significa que es el dígito más significativo, por lo tanto, en la cadena este es el final del número, y el siguiente símbolo (si está presente) es el dígito menos significativo del siguiente número.

Por ejemplo, si el valor umbral para el primer dígito es b (es decir, 1), entonces a (es decir, 0) marca el final del número (tiene solo un dígito), por lo que en números de más de un dígito, el rango del primer dígito es solo b–9 (es decir, 1–35), por lo tanto, el peso b ₁ es 35 en lugar de 36. De manera más general, si t _n es el umbral para el n -ésimo dígito, es fácil demostrar que${\displaystyle b_{n+1}=36-t_{n}}$Supongamos que los valores umbral para el segundo y tercer dígito son c (es decir, 2), entonces el rango del segundo dígito es a–b (es decir, 0–1) siendo el segundo dígito el más significativo, mientras que el rango es c–9 (es decir, 2–35) en presencia de un tercer dígito. Generalmente, para cualquier n , el peso del ( n  +  1)-ésimo dígito es el peso del anterior multiplicado por (36 − umbral del n -ésimo dígito). Por lo tanto, el peso del segundo símbolo es${\displaystyle 36-t_{0}=35}$. Y el peso del tercer símbolo es${\displaystyle 35(36-t_{1})=35\cdot 34=1190}$.

Así pues, tenemos la siguiente secuencia de números con un máximo de 3 dígitos:

a (0), ba (1), ca (2), ..., 9 a (35), bb (36), cb (37), ..., 9 b (70), bca (71), ..., 99 a (1260), bcb (1261), ..., 99 b (2450).

A diferencia de un sistema numérico regular basado en n , hay números como 9 b donde 9 y b representan cada uno 35; sin embargo, la representación es única porque ac y aca no están permitidos: la primera a terminaría cada uno de estos números.

La flexibilidad a la hora de elegir los valores umbral permite optimizar el número de dígitos en función de la frecuencia de aparición de números de distintos tamaños.

El caso en el que todos los valores umbral son iguales a 1 corresponde a la numeración biyectiva , donde los ceros corresponden a separadores de números con dígitos distintos de cero.

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