progresión geométrica

Una progresión geométrica , también conocida como sucesión geométrica , es una secuencia matemática de números distintos de cero donde cada término posterior al primero se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón común . Por ejemplo, la secuencia 2, 6, 18, 54, ... es una progresión geométrica con una razón común de 3. De manera similar, 10, 5, 2.5, 1.25, ... es una sucesión geométrica con una razón común de 1/2.

Ejemplos de una sucesión geométrica son las potencias r ^k de un número fijo distinto de cero r , como 2 ^k y 3 ^k . La forma general de una sucesión geométrica es

a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots

donde r es la razón común y a es el valor inicial.

La suma de los términos de una progresión geométrica se denomina serie geométrica . Dado que cada par de números sucesivos en la progresión guarda la misma proporción , se dice que los términos de una serie geométrica están en proporción continua , especialmente en el contexto de las matemáticas de la antigua Grecia , donde las progresiones geométricas se describían de esta manera en lugar de mediante potencias de la razón común. ^{[ 1 ]}

Propiedades

El enésimo término de una sucesión geométrica con valor inicial a = a ₁ y razón común r viene dado por $a_{n}=a\,r^{n-1},$ y en general $a_{n}=a_{m}\,r^{nm}.$ Las secuencias geométricas satisfacen la relación de recurrencia lineal. $a_{n}=r\,a_{n-1}$ para cada entero $n>1.$ Se trata de una recurrencia lineal homogénea de primer orden con coeficientes constantes .

Las secuencias geométricas también satisfacen la relación de recurrencia no lineal. $a_{n}=a_{n-1}^{2}/a_{n-2}$ para cada entero $n>2$ Se trata de una recurrencia no lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

Cuando la razón común de una sucesión geométrica es positiva, todos los términos de la sucesión comparten el signo del primer término. Cuando la razón común de una sucesión geométrica es negativa, los términos de la sucesión alternan entre positivos y negativos; esto se denomina sucesión alternada. Por ejemplo, la sucesión 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... es una sucesión geométrica alternada con un valor inicial de 1 y una razón común de −3. Cuando el término inicial y la razón común son números complejos, los argumentos complejos de los términos siguen una progresión aritmética .

Si el valor absoluto de la razón común es menor que 1, los términos disminuirán en magnitud y tenderán a cero mediante un decaimiento exponencial . Si el valor absoluto de la razón común es mayor que 1, los términos aumentarán en magnitud y tenderán al infinito mediante un crecimiento exponencial . Si el valor absoluto de la razón común es igual a 1, los términos mantendrán el mismo tamaño indefinidamente, aunque sus signos o argumentos complejos puedan cambiar.

Las progresiones geométricas muestran crecimiento o decrecimiento exponencial, a diferencia de las progresiones aritméticas, que muestran crecimiento o decrecimiento lineal . Esta comparación fue tomada por T. R. Malthus como fundamento matemático de su Ensayo sobre el principio de la población . Ambos tipos de progresión están relacionados mediante la función exponencial y el logaritmo : al elevar al exponente cada término de una progresión aritmética se obtiene una progresión geométrica, mientras que al tomar el logaritmo de cada término de una progresión geométrica se obtiene una progresión aritmética. La relación que el logaritmo establece entre una progresión geométrica en su argumento y una progresión aritmética de valores impulsó a A. A. de Sarasa a conectar la cuadratura de Saint-Vincent con la tradición de los logaritmos en la prostaféresis , dando origen al término "logaritmo hiperbólico", sinónimo de logaritmo natural.

Series geométricas

Ilustración de una serie geométrica infinita ${\textstyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{256}}+\cdots }$ Es convergente.

Ilustración de una serie geométrica infinita ${\textstyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{256}}+\cdots }$ Es convergente.

Una serie geométrica es una serie derivada del número de términos. $a+ar+ar^{2},\dots +ar^{n}$ [ ²^]^La serie geométrica puede ser finita o infinita. La serie geométrica infinita suma los infinitos términos de una progresión geométrica. El cálculo puede tener un resultado ( convergencia ) o no ( divergencia ). Una serie geométrica infinita es convergente si el valor absoluto de una razón común es menor que uno. $|r|<1$ , mostrando que los términos tienden a cero y las sumas parciales se vuelven más pequeñas en magnitud. Asimismo, una serie geométrica infinita es divergente si el valor absoluto de una razón común es mayor que uno. $|r|>1$ , lo que indica que los términos y las sumas parciales aumentan en magnitud. ^{[ 3 ]} Una serie geométrica infinita cuando $|r|=1$ muestra que sus términos no aumentan ni disminuyen en magnitud, y la secuencia de sumas parciales de la serie no converge.

Producto

El producto infinito de una progresión geométrica es el producto de todos sus términos. El producto parcial de una progresión geométrica hasta el término con potencia $n$ es

$\prod _{k=0}^{n}ar^{(k)}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}.$

Cuando $a$ y $r$ son números reales positivos, esto es equivalente a tomar la media geométrica del primer y último término individual de la progresión parcial y luego elevar esa media a la potencia dada por el número de términos. $n+1.$

$\prod _{k=0}^{n}ar^{k}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ para }}a\geq 0,r\geq 0.$

Esto corresponde a una propiedad similar de las sumas de términos de una sucesión aritmética finita : la suma de una sucesión aritmética es igual al número de términos multiplicado por la media aritmética del primer y último término. Esta correspondencia sigue el patrón habitual de que cualquier sucesión aritmética es una sucesión de logaritmos de términos de una sucesión geométrica, y cualquier sucesión geométrica es una sucesión de exponenciaciones de términos de una sucesión aritmética. Las sumas de logaritmos corresponden a productos de valores elevados a la potencia.

Prueba

Dejar $P_{n}$ representar el producto hasta potencia $n$ Escrito íntegramente,

P_{n}=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}

.

Realizando las multiplicaciones y reuniendo términos semejantes,

P_{n}=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}

.

El exponente de $r$ es la suma de una sucesión aritmética. Sustituyendo la fórmula para esa suma,

P_{n}=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}

,

Con lo cual concluye la demostración.

Se puede reorganizar esta expresión para

P_{n}=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}.

Reescribiendo $un$ como $\textstyle {\sqrt {a^{2}}}$ y $r$ como $\textstyle {\sqrt {r^{2}}}$ aunque esto no es válido para $a<0$ o $r<0,$

P_{n}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ para }}a\geq 0,r\geq 0

que es la fórmula en términos de la media geométrica.

Historia

Una tablilla de arcilla del Período Dinástico Temprano en Mesopotamia (c. 2900 – c. 2350 a. C.), identificada como MS 3047, contiene una progresión geométrica con base 3 y multiplicador 1/2. Se ha sugerido que es sumeria , de la ciudad de Shuruppak . Es el único registro conocido de una progresión geométrica anterior a la época de las matemáticas babilónicas antiguas , que comenzó en el 2000 a. C. ^{[ 4 ]}

Los libros VIII y IX de los Elementos de Euclides analizan progresiones geométricas (como las potencias de dos , véase el artículo para más detalles) y dan varias de sus propiedades. ^[⁵^]^[¹^]

Véase también

Progresión aritmética : secuencia de números igualmente espaciados.
Sucesión aritmético-geométrica : sucesión matemática que satisface un patrón específico.
Ecuación de diferencias lineales : relación matemática que define una secuencia. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento.
Función exponencial : función matemática, denotada como exp(x) o e^x.
Progresión armónica : progresión formada al tomar los recíprocos de una progresión aritmética.
Serie armónica : suma divergente de fracciones unitarias positivas.
Serie infinita – Suma infinita
Número preferido : restricción de selección en el diseño industrial.
Thomas Robert Malthus – Economista político británico (1766–1834)
Distribución geométrica – Distribución de probabilidad

Referencias

1 2 Artmann, Benno (2012) [1999]. «Euclides, Libro VIII: Números en proporción continua, la geometría de los números». Euclides: La creación de las matemáticas . Nueva York: Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-1412-0_19 . ISBN 978-1-4612-1412-0.
↑ Young, Cynthia Y. (2010). Precálculo . John Wiley & Sons . pág. 966. ISBN 978-0-470-55665-8.
^ Varberg, Dale E.; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2007). Cálculo (9ª ed.). Pearson-Prentice Hall . pag. 456.ISBN 978-0131469686.
↑ Friberg, Jöran (2007). «MS 3047: Un texto de tabla metromatemática del antiguo sumerio». En Friberg, Jöran (ed.). Una notable colección de textos matemáticos babilónicos . Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. Nueva York: Springer. pp. 150–153 . doi : 10.1007/978-0-387-48977-3 . ISBN 978-0-387-34543-7. MR 2333050 .
↑ Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los Elementos de Euclides (2.ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ). Nueva York: Dover Publications.

Hall & Knight, Álgebra Superior , pág. 39, ISBN 81-8116-000-2

Enlaces externos

"Progresión geométrica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Series geométricas" . MathWorld .

[artmann-1] 1 2 Artmann, Benno (2012) [1999]. «Euclides, Libro VIII: Números en proporción continua, la geometría de los números». Euclides: La creación de las matemáticas . Nueva York: Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-1412-0_19 . ISBN 978-1-4612-1412-0.

[young-2] Young, Cynthia Y. (2010). Precálculo . John Wiley & Sons . pág. 966. ISBN 978-0-470-55665-8.

[vpr-3] Varberg, Dale E.; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2007). Cálculo (9ª ed.). Pearson-Prentice Hall . pag. 456.ISBN 978-0131469686.

[friberg-4] Friberg, Jöran (2007). «MS 3047: Un texto de tabla metromatemática del antiguo sumerio». En Friberg, Jöran (ed.). Una notable colección de textos matemáticos babilónicos . Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. Nueva York: Springer. pp. 150–153 . doi : 10.1007/978-0-387-48977-3 . ISBN 978-0-387-34543-7. MR 2333050 .

[heath-5] Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los Elementos de Euclides (2.ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ). Nueva York: Dover Publications.

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