Elección discreta

En economía , los modelos de elección discreta , o modelos de elección cualitativa , describen, explican y predicen elecciones entre dos o más alternativas discretas , como entrar o no entrar en el mercado laboral , o elegir entre diferentes modos de transporte . Estas elecciones contrastan con los modelos de consumo estándar, en los que se supone que la cantidad de cada bien consumido es una variable continua . En el caso continuo, se pueden utilizar métodos de cálculo (por ejemplo, condiciones de primer orden) para determinar la cantidad óptima elegida, y la demanda se puede modelar empíricamente mediante análisis de regresión . Por otro lado, el análisis de elección discreta examina situaciones en las que los resultados potenciales son discretos, de modo que el óptimo no se caracteriza por las condiciones estándar de primer orden. Así, en lugar de examinar "cuánto", como en los problemas con variables de elección continuas, el análisis de elección discreta examina "cuál". Sin embargo, el análisis de elección discreta también se puede utilizar para examinar la cantidad elegida cuando solo se debe elegir entre unas pocas cantidades distintas, como el número de vehículos que un hogar decide poseer ^{[ 1 ]} y el número de minutos de servicio de telecomunicaciones que un cliente decide comprar. ^{[ 2 ]} Se pueden utilizar técnicas como la regresión logística y la regresión probit para el análisis empírico de la elección discreta.

Los modelos de elección discreta modelan teórica o empíricamente las decisiones que toman las personas entre un conjunto finito de alternativas. Estos modelos se han utilizado para examinar, por ejemplo, la elección de qué coche comprar, ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]} dónde ir a la universidad, ^{[ 4 ]} qué medio de transporte (coche, autobús, tren) tomar para ir al trabajo ^{[ 5 ]} entre muchas otras aplicaciones. Los modelos de elección discreta también se utilizan para examinar las decisiones de organizaciones, como empresas o agencias gubernamentales. En la discusión que sigue, se supone que la unidad de toma de decisiones es una persona, aunque los conceptos son aplicables de forma más general. Daniel McFadden ganó el Premio Nobel en 2000 por su trabajo pionero en el desarrollo de la base teórica de la elección discreta.

Los modelos de elección discreta relacionan estadísticamente la elección de cada persona con sus atributos y los de las alternativas disponibles. Por ejemplo, la elección del automóvil que compra una persona está estadísticamente relacionada con sus ingresos y edad, así como con el precio, la eficiencia de combustible , el tamaño y otros atributos de cada automóvil disponible. Estos modelos estiman la probabilidad de que una persona elija una alternativa en particular. Se utilizan con frecuencia para predecir cómo cambiarán las elecciones de las personas ante cambios demográficos o en los atributos de las alternativas.

Los modelos de elección discreta especifican la probabilidad de que un individuo elija una opción entre un conjunto de alternativas. La descripción probabilística del comportamiento de elección discreta no se utiliza para reflejar un comportamiento individual que se considera intrínsecamente probabilístico, sino que es la falta de información lo que nos lleva a describir la elección de forma probabilística. En la práctica, no podemos conocer todos los factores que afectan las decisiones de elección individuales, ya que sus determinantes se observan parcialmente o se miden de forma imperfecta. Por lo tanto, los modelos de elección discreta se basan en supuestos y especificaciones estocásticas para tener en cuenta factores no observados relacionados con a) las alternativas de elección, b) la variación de gustos entre personas (heterogeneidad interpersonal) y a lo largo del tiempo (dinámica de elección intraindividual), y c) conjuntos de elección heterogéneos. Las diferentes formulaciones se han resumido y clasificado en grupos de modelos. ^{[ 6 ]} Cuando los modelos de elección discreta se combinan con modelos de ecuaciones estructurales para integrar variables psicológicas (latentes), se denominan modelos de elección híbridos . ^{[ 7 ]}

Aplicaciones

Los investigadores de marketing utilizan modelos de elección discreta para estudiar la demanda del consumidor y predecir las respuestas de la competencia, lo que permite a los modeladores de elección resolver diversos problemas empresariales, como la fijación de precios , el desarrollo de productos y la estimación de la demanda . En la investigación de mercado, esto se conoce comúnmente como análisis conjunto . ^{[ 1 ]}
Los planificadores de transporte utilizan modelos de elección discreta para predecir la demanda de los sistemas de transporte planificados , como la ruta que tomará un conductor y si alguien utilizará el transporte público rápido . ^{[ 5 ]}^{[ 8 ]} Las primeras aplicaciones de los modelos de elección discreta se dieron en la planificación del transporte, y gran parte de la investigación más avanzada en este campo la llevan a cabo investigadores del transporte.
Los planificadores y los ingenieros de desastres se basan en modelos de elección discreta para predecir las decisiones que tomarán los propietarios de viviendas u ocupantes de edificios en evacuaciones a pequeña y gran escala, como incendios de edificios, incendios forestales, huracanes, entre otros. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} Estos modelos ayudan en el desarrollo de planes confiables de gestión de desastres y un diseño más seguro para el entorno construido .
Los pronosticadores y responsables políticos del sector energético utilizan modelos de elección discreta para la elección de sistemas de calefacción, niveles de eficiencia de electrodomésticos y niveles de eficiencia de combustible de vehículos por parte de hogares y empresas. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}
Los estudios ambientales utilizan modelos de elección discreta para examinar la elección de los recreadores, por ejemplo, de un sitio para pescar o esquiar, e inferir el valor de las comodidades, como campamentos, poblaciones de peces y refugios para resguardarse del frío, y estimar el valor de las mejoras en la calidad del agua. ^{[ 14 ]}
Los economistas laborales utilizan modelos de elección discreta para examinar la participación en la fuerza laboral, la elección de ocupación y la elección de programas universitarios y de formación. ^{[ 4 ]}
Los estudios ecológicos emplean modelos de elección discreta para investigar los parámetros que impulsan la selección de hábitat en los animales. ^{[ 15 ]}

Características comunes de los modelos de elección discreta

Los modelos de elección discreta adoptan diversas formas, entre ellas: Logit binario, Probit binario, Logit multinomial, Logit condicional, Probit multinomial, Logit anidado, Modelos generalizados de valores extremos, Logit mixto y Logit expandido. Todos estos modelos comparten las características que se describen a continuación.

Conjunto de opciones

El conjunto de opciones es el conjunto de alternativas que están disponibles para la persona. Para un modelo de elección discreta, el conjunto de opciones debe cumplir tres requisitos:

El conjunto de alternativas debe ser exhaustivo , es decir, debe incluir todas las alternativas posibles. Este requisito implica que la persona necesariamente elige una alternativa del conjunto.
Las alternativas deben ser mutuamente excluyentes , lo que significa que elegir una alternativa implica no elegir ninguna otra. Este requisito implica que la persona elige solo una alternativa del conjunto.
El conjunto debe contener un número finito de alternativas. Este tercer requisito distingue el análisis de elección discreta de las formas de análisis de regresión en las que la variable dependiente puede (teóricamente) tomar un número infinito de valores.

Por ejemplo, el conjunto de opciones para una persona que decide qué medio de transporte usar para ir al trabajo incluye conducir solo, compartir coche, tomar el autobús, etc. Este conjunto se complica porque una persona puede usar varios medios de transporte para un mismo trayecto, como conducir un coche hasta la estación de tren y luego tomar el tren al trabajo. En este caso, el conjunto de opciones puede incluir todas las combinaciones posibles de medios de transporte. Alternativamente, la elección puede definirse como la elección del medio de transporte "principal", cuyo conjunto consta de coche, autobús, tren y otros (por ejemplo, caminar, bicicleta, etc.). Cabe destacar que la alternativa "otros" se incluye para que el conjunto de opciones sea exhaustivo.

Las personas pueden tener diferentes opciones según sus circunstancias. Por ejemplo, el automóvil Scion no se vendía en Canadá en 2009, por lo que los compradores de autos nuevos en Canadá tenían opciones distintas a las de los consumidores estadounidenses. Estas consideraciones se tienen en cuenta en la formulación de modelos de elección discreta.

Definición de probabilidades de elección

Un modelo de elección discreta especifica la probabilidad de que una persona elija una alternativa en particular, expresada como una función de variables observadas relacionadas con las alternativas y la persona. En su forma general, la probabilidad de que la persona n elija la alternativa i se expresa como:

P_{ni}\equiv \Pr({\text{La persona }}n{\text{ elige la alternativa }}i)=G(x_{ni},\;x_{nj,j\neq i},\;s_{n},\;\beta ),

dónde

x_{ni}

es un vector de atributos de la alternativa i a la que se enfrenta la persona n ,

x_{nj,j\neq i}

es un vector de atributos de las otras alternativas (distintas de i ) a las que se enfrenta la persona n ,

s_{n}

es un vector de características de la persona n y

\beta

es un conjunto de parámetros que dan los efectos de las variables sobre las probabilidades, las cuales se estiman estadísticamente.

En el ejemplo de transporte anterior, los atributos de los modos ( x_ni ), como el tiempo y el costo del viaje, y las características del consumidor ( s_n _{) , como los ingresos anuales, la edad y el género,}_se pueden usar para calcular las probabilidades de elección. Los atributos de las alternativas pueden variar entre personas; por ejemplo, el costo y el tiempo para viajar al trabajo en automóvil, autobús y tren son diferentes para cada persona dependiendo de la ubicación de su hogar y lugar de trabajo.

Propiedades:

P _ni está entre 0 y 1
$\forall n:\;\sum _ {j=1}^{J}P_ {nj}=1,$ donde J es el número total de alternativas.
(Fracción esperada de personas que eligen i ) $={1 \sobre N}{\sum _ {n=1}^{N}P_ {ni}},$ donde N es el número de personas que toman la decisión.

Los distintos modelos (es decir, los modelos que utilizan una función G diferente) tienen propiedades diferentes. A continuación se presentan algunos de los modelos más destacados.

Servicios públicos para el consumidor

Los modelos de elección discreta pueden derivarse de la teoría de la utilidad . Esta derivación es útil por tres razones:

Le da un significado preciso a las probabilidades P _ni
Motiva y distingue especificaciones de modelos alternativos, por ejemplo, la elección de una forma funcional para G.
Proporciona la base teórica para el cálculo de los cambios en el excedente del consumidor (variación compensatoria) derivados de los cambios en los atributos de las alternativas.

U _ni es la utilidad (o beneficio neto o bienestar) que la persona n obtiene al elegir la alternativa i . El comportamiento de la persona busca maximizar su utilidad: la persona n elige la alternativa que le proporciona la mayor utilidad. La elección de la persona se designa mediante variables ficticias, y _ni , para cada alternativa:

y_{ni}={\begin{cases}1&U_{ni}>U_{nj}\quad \forall j\neq i\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

Consideremos ahora al investigador que examina la elección. La elección de la persona depende de muchos factores, algunos de los cuales el investigador observa y otros que no. La utilidad que la persona obtiene al elegir una alternativa se descompone en una parte que depende de variables que el investigador observa y otra que depende de variables que el investigador no observa. En forma lineal , esta descomposición se expresa como

{\ Displaystyle U_ {ni} = \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni}}

dónde

$z_{ni}$ es un vector de variables observadas relacionadas con la alternativa i para la persona n que depende de los atributos de la alternativa, x _ni , interactuando quizás con los atributos de la persona, s _n , de tal manera que puede expresarse como ${\ Displaystyle z_ {ni} = z (x_ {ni}, s_ {n})}$ para alguna función numérica z ,
$\beta$ es un vector correspondiente de coeficientes de las variables observadas, y
$\varepsilon _ {ni}$ Captura el impacto de todos los factores no observados que afectan la elección de la persona.

La probabilidad de elección es entonces

{\begin{aligned}P_{ni}&=\Pr(y_{ni}=1)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\varepsilon _{nj}-\varepsilon _{ni}<\beta z_{ni}-\beta z_{nj},\right)\end{aligned}}

Dado β , la probabilidad de elección es la probabilidad de que los términos aleatorios, ε _nj − ε _ni (que son aleatorios desde la perspectiva del investigador, ya que el investigador no los observa) estén por debajo de las cantidades respectivas. $\forall j\neq i:\beta z_{ni}-\beta z_{nj}.$ Los diferentes modelos de elección (es decir, las diferentes especificaciones de G) surgen de las diferentes distribuciones de ε _ni para todos los i y de los diferentes tratamientos de β .

Propiedades de los modelos de elección discreta implícitas en la teoría de la utilidad.

Solo importan las diferencias.

La probabilidad de que una persona elija una alternativa en particular se determina comparando la utilidad de elegir esa alternativa con la utilidad de elegir otras alternativas:

P_{ni}=\Pr(y_{ni}=1)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj}\right)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}-U_{nj}>0\right)

Como indica el último término, la probabilidad de elección depende únicamente de la diferencia de utilidades entre las alternativas, no del nivel absoluto de utilidades. De igual modo, sumar una constante a las utilidades de todas las alternativas no altera las probabilidades de elección.

La escala debe estar normalizada.

Dado que la utilidad no tiene unidades, es necesario normalizar su escala. En los modelos de elección discreta, la escala de utilidad suele definirse mediante la varianza del término de error. Esta varianza puede variar según las características del conjunto de datos, como el momento y el lugar de su recopilación. Por lo tanto, la normalización de la varianza afecta la interpretación de los parámetros estimados en diferentes conjuntos de datos.

Tipos destacados de modelos de elección discreta

Los modelos de elección discreta pueden clasificarse, en primer lugar, según el número de alternativas disponibles.

* Modelos de elección binomial (dicotómicos): 2 alternativas disponibles

* Modelos de elección multinomial ( politómicos ): 3 o más alternativas disponibles

Los modelos de elección multinomial se pueden clasificar además según la especificación del modelo:

* Modelos, como el logit estándar, que suponen que no existe correlación entre los factores no observados y las alternativas.

* Modelos que permiten la correlación de factores no observados entre alternativas

Además, existen versiones específicas de los modelos para examinar la clasificación de las alternativas (es decir, primera opción, segunda opción, tercera opción, etc.) y para los datos de valoración.

En las siguientes secciones se ofrecen detalles sobre cada modelo.

elección binaria

A. Logit con atributos de la persona pero sin atributos de las alternativas

U _n es la utilidad (o beneficio neto) que la persona n obtiene al realizar una acción (en contraposición a no realizarla). La utilidad que la persona obtiene al realizar la acción depende de sus características, algunas de las cuales son observadas por el investigador y otras no. La persona realiza la acción, y _n = 1 , si U _n > 0. Se supone que el término no observado, ε _n , tiene una distribución logística . La especificación se escribe sucintamente como:

{\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Logístico}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta s_{n})}}

B. Probit con atributos de la persona pero sin atributos de las alternativas

La descripción del modelo es la misma que la del modelo A , excepto que los términos no observados se distribuyen según una distribución normal estándar en lugar de una distribución logística .

{\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Distribución normal estándar}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}=\Phi (\beta s_{n}),

dónde $\Phi$ es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar .

C. Logit con variables que varían según las alternativas

U _ni es la utilidad que la persona n obtiene al elegir la alternativa i . La utilidad de cada alternativa depende de los atributos de las alternativas que interactúan, posiblemente, con los atributos de la persona. Se supone que los términos no observados tienen una distribución de valores extremos . ^{[ nb 1 ]}

{\begin{casos}U_{n1}=\beta z_{n1}+\varepsilon _{n1}\\U_{n2}=\beta z_{n2}+\varepsilon _{n2}\\\varepsilon _{n1},\varepsilon _{n2}\sim {\text{iid valor extremo}}\end{casos}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {\exp(\beta z_{n1})}{\exp(\beta z_{n1})+\exp(\beta z_{n2})}}

Podemos relacionar esta especificación con el modelo A anterior, que también es un logit binario. En particular, P _{n 1} también se puede expresar como

P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta (z_{n1}-z_{n2}))}}

Tenga en cuenta que si dos términos de error son i.i.d. de valor extremo , ^{[ nb 1 ]} su diferencia es logística distribuida , que es la base para la equivalencia de las dos especificaciones.

D. Probit con variables que varían según las alternativas

La descripción del modelo es la misma que la del modelo C , excepto que la diferencia de los dos términos no observados se distribuyen de forma normal estándar en lugar de logística .

Entonces la probabilidad de tomar la acción es

P_{n1}=\Phi (\beta (z_{n1}-z_{n2})),

donde Φ es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar .

Elección multinomial sin correlación entre alternativas

E. Logit con atributos de la persona pero sin atributos de las alternativas

La utilidad de todas las alternativas depende de las mismas variables, s _n , pero los coeficientes son diferentes para cada alternativa:

U _ni = β _yo s _n + ε _ni ,
Dado que solo importan las diferencias de utilidad, es necesario normalizar. $\beta _{i}=0$ por una alternativa. Suponiendo $\beta _{1}=0$ ,
ε _ni son valores extremos de iid ^[^{nb 1}^]

La probabilidad de elección toma la forma

P_{ni}={\exp(\beta _{i}s_{n}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta _{j}s_{n})},

donde J es el número total de alternativas.

F. Logit con variables que varían según las alternativas (también llamado logit condicional)

La utilidad de cada alternativa depende de los atributos de esa alternativa, que pueden interactuar con los atributos de la persona:

{\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{ni}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}={\exp(\beta z_{ni}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})},

donde J es el número total de alternativas.

Nótese que el modelo E puede expresarse de la misma forma que el modelo F mediante una reespecificación adecuada de las variables. Defina $w_{nj}^{k}=s_{n}\delta _{jk}$ dónde $\delta _{jk}$ es la delta de Kronecker y s _n son del modelo E. Luego, el modelo F se obtiene usando

z_{nj}=\left\{w_{nj}^{1},\cdots ,w_{nj}^{J}\right\}\quad {\text{and}}\quad \beta =\left\{\beta _{1},\cdots ,\beta _{J}\right\},

donde J es el número total de alternativas.

Elección multinomial con correlación entre alternativas

Un modelo logit estándar no siempre es adecuado, ya que asume que no existe correlación entre los factores no observados y las alternativas. Esta falta de correlación se traduce en un patrón particular de sustitución entre alternativas que podría no ser siempre realista en una situación dada. Este patrón de sustitución se conoce a menudo como la propiedad de Independencia de Alternativas Irrelevantes (IIA) de los modelos logit estándar. ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} Se han propuesto varios modelos para permitir la correlación entre alternativas y patrones de sustitución más generales:

Modelo Logit Anidado: Captura las correlaciones entre alternativas dividiendo el conjunto de opciones en "nidos".
- Modelo Logit anidado cruzado ^{[ 18 ]} (CNL) - Las alternativas pueden pertenecer a más de un nido
- Modelo C-logit ^{[ 19 ]} - Captura correlaciones entre alternativas usando el 'factor común'
- Modelo Logit Combinatorio Pareado ^{[ 20 ]} - Adecuado para problemas de elección de ruta.
Modelo generalizado de valores extremos ^{[ 21 ]} - Clase general de modelo, derivado del modelo de utilidad aleatoria ^{[ 17 ]} al que pertenecen el logit multinomial y el logit anidado.
Probit condicional ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} - Permite una covarianza completa entre alternativas utilizando una distribución normal conjunta.
Logit mixto ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 23 ]} - Permite cualquier forma de correlación y patrones de sustitución. ^{[ 24 ]} Cuando un logit mixto tiene términos aleatorios conjuntamente normales, el modelo a veces se denomina "modelo probit multinomial con núcleo logit". ^{[ 17 ]}^{[ 25 ]} Puede aplicarse a la elección de ruta. ^{[ 26 ]}

Las siguientes secciones describen en detalle los modelos Logit Anidado, GEV, Probit y Logit Mixto.

G. Modelos Logit Anidados y de Valores Extremos Generalizados (GEV)

El modelo es el mismo que el modelo F, excepto que el componente no observado de la utilidad está correlacionado entre las alternativas en lugar de ser independiente entre ellas.

U _ni = βz _ni + ε _ni ,
La distribución marginal de cada ε _ni es de valor extremo , ^{[ nb 1 ]} pero su distribución conjunta permite la correlación entre ellos.
La probabilidad adopta diversas formas dependiendo del patrón de correlación especificado. Véase Valor extremo generalizado .

H. Probit multinomial

El modelo es el mismo que el modelo G, excepto que los términos no observados se distribuyen conjuntamente de forma normal , lo que permite cualquier patrón de correlación y heterocedasticidad :

{\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{n}\equiv (\varepsilon _{n1},\cdots ,\varepsilon _{nJ})\sim N(0,\Omega )\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)=\int I\left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)\phi (\varepsilon _{n}|\Omega )\;d\varepsilon _{n},

dónde $\phi (\varepsilon _{n}|\Omega )$ es la densidad normal conjunta con media cero y covarianza $\Omega$ .

La integral para esta probabilidad de elección no tiene una forma cerrada, por lo que la probabilidad se aproxima mediante cuadratura o simulación .

Cuando $\Omega$ Si la matriz identidad (de modo que no haya correlación ni heterocedasticidad ), el modelo se denomina probit independiente.

I. Logit mixto

Los modelos logit mixtos se han vuelto cada vez más populares en los últimos años por varias razones. En primer lugar, el modelo permite $\beta$ ser aleatorio además de $\varepsilon$ . La aleatoriedad en $\beta$ Se adapta a la variación aleatoria de gustos entre personas y a la correlación entre alternativas, lo que genera patrones de sustitución flexibles. En segundo lugar, los avances en simulación han facilitado bastante la aproximación del modelo. Además, McFadden y Train han demostrado que cualquier modelo de elección verdadero puede aproximarse, con cualquier grado de precisión, mediante un logit mixto con la especificación adecuada de las variables explicativas y la distribución de los coeficientes. ^{[ 24 ]}

U _ni = βz _ni + ε _ni ,
$\beta \sim f(\beta |\theta )$ para cualquier distribución ${\it {f}}$ , dónde $\theta$ es el conjunto de parámetros de distribución (por ejemplo, media y varianza) que se van a estimar,
ε _ni ~ iid valor extremo ,^{[ nb 1 ]}

La probabilidad de elección es

P_{ni}=\int _{\beta }L_{ni}(\beta )f(\beta |\theta )\,d\beta ,

dónde

L_{ni}(\beta )={\exp(\beta z_{ni}) \over {\sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}

¿Se evalúa la probabilidad logit en $\beta ,$ con $J$ el número total de alternativas.

La integral para esta probabilidad de elección no tiene una forma cerrada, por lo que la probabilidad se aproxima mediante simulación. ^{[ 27 ]}

Estimación a partir de opciones

Los modelos de elección discreta a menudo se estiman mediante la estimación de máxima verosimilitud . Los modelos logit se pueden estimar mediante regresión logística , y los modelos probit mediante regresión probit . Se han propuesto métodos no paramétricos , como el estimador de puntuación máxima . ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]} La estimación de dichos modelos se realiza generalmente mediante métodos de máxima verosimilitud paramétricos, semiparamétricos y no paramétricos, ^{[ 30 ]} pero también se puede realizar con el enfoque de modelado de trayectorias de mínimos cuadrados parciales . ^{[ 31 ]}

Estimación a partir de clasificaciones

En muchas situaciones, se observa la clasificación de alternativas de una persona, en lugar de solo la alternativa elegida. Por ejemplo, a una persona que ha comprado un coche nuevo se le podría preguntar qué habría comprado si ese coche no hubiera estado disponible, lo que proporciona información sobre su segunda opción, además de su primera opción. O, en una encuesta, se le podría preguntar a un encuestado:

Ejemplo : Clasifique los siguientes planes de llamadas de telefonía celular desde el que más prefiere hasta el que menos prefiere.

* $60 al mes por minutos ilimitados en cualquier momento, contrato de dos años con cargo por cancelación anticipada de $100.

* $30 al mes por 400 minutos de llamadas ilimitadas, 3 centavos por minuto después de los 400 minutos, contrato de un año con cargo por cancelación anticipada de $125.

* $35 al mes por 500 minutos para usar en cualquier momento, 3 centavos por minuto después de los 500 minutos, sin contrato ni cargo por cancelación anticipada.

* $50 al mes por 1000 minutos de llamadas ilimitadas, 5 centavos por minuto después de los 1000 minutos, contrato de dos años con cargo por cancelación anticipada de $75.

Los modelos descritos anteriormente pueden adaptarse para tener en cuenta clasificaciones más allá de la primera opción. El modelo más destacado para datos de clasificación es el logit expandido y su versión mixta.

J. Logit descompuesto

Bajo los mismos supuestos que para un logit estándar ( modelo F ), la probabilidad de una clasificación de las alternativas es un producto de logits estándar. El modelo se denomina "logit expandido" porque la situación de elección, que normalmente se representa como una fórmula logit para la alternativa elegida, se expande ("explota") para tener una fórmula logit independiente para cada alternativa clasificada. El modelo logit expandido es el producto de modelos logit estándar, donde el conjunto de opciones disminuye a medida que se clasifica cada alternativa y deja el conjunto de opciones disponibles en la siguiente elección.

Sin pérdida de generalidad , las alternativas pueden ser renombradas para representar la clasificación de la persona, de modo que la alternativa 1 sea la primera opción, la 2 la segunda, etc. La probabilidad de elección de clasificar J alternativas como 1, 2, ..., J es entonces

\Pr({\text{ranking }}1,2,\ldots ,J)={\exp(\beta z_{1}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}{\exp(\beta z_{2}) \over \sum _{j=2}^{J}\exp(\beta z_{nj})}\ldots {\exp(\beta z_{J-1}) \over \sum _{j=J-1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}

Al igual que el modelo logit estándar, el modelo logit expandido asume que no existe correlación entre los factores no observados de las alternativas. El modelo logit expandido puede generalizarse, de la misma manera que el logit estándar, para incorporar correlaciones entre alternativas y variaciones aleatorias en las preferencias. El modelo "logit expandido mixto" se obtiene mediante la probabilidad de la clasificación, dada anteriormente, para L _ni en el modelo logit mixto ( modelo I ).

Este modelo también se conoce en econometría como el modelo logit ordenado por rangos y fue introducido en ese campo por Beggs, Cardell y Hausman en 1981. ^{[ 32 ]}^{[ 33 ]} Una aplicación es el artículo de Combes et al. que explica la clasificación de los candidatos para convertirse en profesor. ^{[ 33 ]} También se conoce como modelo de Plackett-Luce en la literatura biomédica. ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}

Modelos pedidos

En las encuestas, a menudo se pide a los encuestados que den valoraciones, como por ejemplo:

Ejemplo : Por favor, indique su valoración sobre el desempeño del Presidente.

1: Muy mal

2: Mal

3: De acuerdo

4: Bien

5: Muy bien

O,

Ejemplo : En una escala del 1 al 5, donde 1 significa totalmente en desacuerdo y 5 significa totalmente de acuerdo, ¿en qué medida está de acuerdo con la siguiente afirmación? "El gobierno federal debería hacer más para ayudar a las personas que enfrentan la ejecución hipotecaria de sus viviendas".

Un modelo multinomial de elección discreta puede analizar las respuestas a estas preguntas ( modelo G , modelo H , modelo I ). Sin embargo, estos modelos se derivan bajo el concepto de que el encuestado obtiene cierta utilidad por cada respuesta posible y da la respuesta que le proporciona la mayor utilidad. Sería más natural pensar que el encuestado tiene alguna medida o índice latente asociado a la pregunta y responde en función de cuán alta sea esta medida. Los modelos logit ordenado y probit ordenado se derivan bajo este concepto.

K. Logit ordenado

Sea U _{n la fuerza de los sentimientos u opiniones}del encuestado n sobre el tema de la encuesta. Supongamos que existen umbrales en el nivel de opinión al elegir una respuesta particular. Por ejemplo, en el ejemplo de ayudar a las personas que enfrentan una ejecución hipotecaria, la persona elige

1, si U _n < a
2, si a < U _n < b
3, si b < U _n < c
4, si c < U _n < d
5, si U _n > d,

para algunos números reales a , b , c , d .

Definición $U_{n}=\beta z_{n}+\varepsilon ,\;\varepsilon \sim$ En la regresión logística , la probabilidad de cada respuesta posible es:

{\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Pr(U_{n}<a)=\Pr(\varepsilon <a-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Pr(a<U_{n}<b)=\Pr(a-\beta z_{n}<\varepsilon <b-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(b-\beta z_{n}))}-{1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\&\cdots \\\Pr({\text{choosing }}5)&=\Pr(U_{n}>d)=\Pr(\varepsilon >d-\beta z_{n})=1-{1 \over 1+\exp(-(d-\beta z_{n}))}\end{aligned}}

Los parámetros del modelo son los coeficientes β y los puntos de corte a − d , uno de los cuales debe normalizarse para su identificación. Cuando solo hay dos respuestas posibles, el logit ordenado es el mismo que un logit binario ( modelo A ), con un punto de corte normalizado a cero.

L. Probit ordenado

La descripción del modelo es la misma que la del modelo K , excepto que los términos no observados tienen una distribución normal en lugar de logística .

Las probabilidades de elección son ( $\Phi$ es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar):

{\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Phi (a-\beta z_{n})\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Phi (b-\beta z_{n})-\Phi (a-\beta z_{n})\\&\cdots \end{aligned}}

Véase también

Regresión binaria : método de estimación estadística
Elección discreta dinámica

Notas

1 2 3 4 5 La función de densidad y la función de distribución acumulativa de la distribución de valores extremos vienen dadas por $f(\varepsilon _{nj})=\exp(-\varepsilon _{nj})\exp(-\exp(-\varepsilon _{nj}))$ y $F(\varepsilon _{nj})=\exp(-\exp(-\varepsilon _{nj})).$ Esta distribución también se denomina distribución de valores extremos de Gumbel o de tipo I, un tipo especial de distribución generalizada de valores extremos .

Referencias

1 2 3 Train, K. (1986). Análisis cualitativo de la elección: teoría, econometría y una aplicación a la demanda de automóviles . MIT Press. ISBN 9780262200554.Capítulo 8 .
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Lecturas adicionales

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Aplicaciones

Características comunes de los modelos de elección discreta

Conjunto de opciones

Definición de probabilidades de elección

Servicios públicos para el consumidor

Propiedades de los modelos de elección discreta implícitas en la teoría de la utilidad.

Solo importan las diferencias.

La escala debe estar normalizada.

Tipos destacados de modelos de elección discreta

elección binaria

A. Logit con atributos de la persona pero sin atributos de las alternativas

B. Probit con atributos de la persona pero sin atributos de las alternativas

C. Logit con variables que varían según las alternativas

D. Probit con variables que varían según las alternativas

Elección multinomial sin correlación entre alternativas

E. Logit con atributos de la persona pero sin atributos de las alternativas

F. Logit con variables que varían según las alternativas (también llamado logit condicional)

Elección multinomial con correlación entre alternativas

G. Modelos Logit Anidados y de Valores Extremos Generalizados (GEV)

H. Probit multinomial

I. Logit mixto

Estimación a partir de opciones

Estimación a partir de clasificaciones

J. Logit descompuesto

Modelos pedidos

K. Logit ordenado

L. Probit ordenado

Véase también

Notas

Referencias

Lecturas adicionales

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