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Articulo de referencia

Distribución generalizada de valores extremos

\\textrm{GEV}(\\mu, \\sigma, \\xi) "},"parameters":{"wt":" \\mu \\in \\mathbb{R}\\ ([[location parameter|location]]) \\sigma > 0 ~~ ([[scale parameter|scale]]) \\xi \\in \\mathb...

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En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución de valores extremos generalizada ( GEV ) [ 2 ] es una familia de distribuciones de probabilidad continuas desarrolladas dentro de la teoría de valores extremos para combinar las familias de Gumbel , Fréchet y Weibull, también conocidas como distribuciones de valores extremos de tipo I, II y III. Según el teorema de valores extremos, la distribución GEV es la única distribución límite posible de máximos debidamente normalizados de una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. [ 3 ] Cabe señalar que debe existir una distribución límite, lo que requiere condiciones de regularidad en la cola de la distribución. A pesar de esto, la distribución GEV se utiliza a menudo como una aproximación para modelar los máximos de secuencias largas (finitas) de variables aleatorias.

En algunos campos de aplicación, la distribución generalizada de valores extremos se conoce como distribución de Fisher-Tippett , llamada así en honor a R. A. Fisher y Tippett del LHC , quienes reconocieron tres formas diferentes que se describen a continuación. Sin embargo, el uso de este nombre a veces se restringe para referirse al caso especial de la distribución de Gumbel . El origen de la forma funcional común para las tres distribuciones se remonta al menos a Jenkinson (1955) [ 4 ] , aunque supuestamente [ 3 ] también podría haber sido dada por von Mises (1936) [ 5 ] .

Especificación

Utilizando la variable estandarizada s≡incógnita−μσ ,{\displaystyle \ s\equiv {\tfrac {x-\mu }{\sigma }}\ ,}dónde μ ,{\displaystyle \ \mu \ ,}es el parámetro de ubicación y puede ser cualquier número real , y σ>0 ,{\displaystyle \ \sigma >0\ ,}es el parámetro de escala; la función de distribución acumulativa de la distribución GEV es entonces

F(s;ξ)={exp⁡(−mi−s)para ξ=0 ,exp⁡(−(1+ξs)−1/ξ)para ξ≠0   y   ξs>−1 ,0para ξ>0   y   s≤−1ξ ,1para ξ<0   y   s≥1|ξ| ,{\displaystyle F(s;\xi )={\begin{cases}\exp(-\mathrm {e} ^{-s})\quad &{\text{para }}\quad \xi =0\ ,\\\exp {\bigl (}\!-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\bigr )}&{\text{para }}\quad \xi \neq 0~~{\text{ y }}~~\xi s>-1\ ,\\0&{\text{para }}\quad \xi >0~~{\text{ y }}~~s\leq -{\tfrac {1}{\xi }}\ ,\\1&{\text{para }}\quad \xi <0~~{\text{ y }}~~s\geq {\tfrac {1}{|\xi |}}\ ,\end{cases}}}

dónde ξ ,{\displaystyle \ \xi \ ,}El parámetro de forma puede ser cualquier número real. Por lo tanto, para ξ>0 ,{\displaystyle \ \xi >0\ ,}La expresión es válida para s>−1ξ ,{\displaystyle \ s>-{\tfrac {1}{\xi }}\ ,}mientras que para ξ<0 ,{\displaystyle \ \xi <0\ ,}es válido para s<−1ξ .{\displaystyle \ s<-{\tfrac {1}{\xi }}~.}En el primer caso, −1ξ {\displaystyle \ -{\tfrac {1}{\xi }}\ }es el extremo inferior negativo, donde F {\displaystyle \ F\ }es 0 ; en el segundo caso, −1ξ {\displaystyle \ -{\tfrac {1}{\xi }}\ }es el punto final positivo y superior, dondeF{\displaystyle F}es 1. Para ξ=0 ,{\displaystyle \ \xi =0\ ,}, la segunda expresión no está formalmente definida y se reemplaza con la primera expresión, que es el resultado de tomar el límite de la segunda, como ξ→0 {\displaystyle \ \xi \to 0\ }en cuyo caso s {\displaystyle \ s\ }puede ser cualquier número real.

En el caso especial de incógnita=μ ,{\displaystyle \ x=\mu \ ,}tenemos s=0 ,{\displaystyle \ s=0\ ,}conque F(0;ξ)=mi−1≈0,368 {\displaystyle \ F(0;\xi )=\mathrm {e} ^{-1}\approx 0.368\ }independientemente de los valores de ξ {\displaystyle \ \xi \ }y σ .{\displaystyle \ \sigma ~.}

La función de densidad de probabilidad de la distribución estandarizada es

F(s;ξ)={mi−sexp⁡(−mi−s)para ξ=0 ,(1+ξs)−(1+1/ξ)exp⁡(−(1+ξs)−1/ξ)para ξ≠0   y   ξs>−1 ,0de lo contrario;{\displaystyle f(s;\xi )={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-s}\exp(-\mathrm {e} ^{-s})&{\text{for }}\quad \xi =0\ ,\\(1+\xi s)^{-(1+1/\xi )}\exp {\bigl (}\!-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\bigr )}&{\text{for }}\quad \xi \neq 0~~{\text{ and }}~~\xi s>-1\ ,\\0&{\text{otherwise;}}\end{cases}}}

nuevamente válido para s>−1ξ {\displaystyle \ s>-{\tfrac {1}{\xi }}\ }en el caso ξ>0 {\displaystyle \ \xi >0\ }y para s<−1ξ {\displaystyle \ s<-{\tfrac {1}{\xi }}\ }en el caso ξ<0 .{\displaystyle \ \xi <0~.}La densidad es cero fuera del rango relevante. En el caso ξ=0 ,{\displaystyle \ \xi =0\ ,}La densidad es positiva en toda la recta real.

Dado que la función de distribución acumulativa es invertible, la función cuantil para la distribución GEV tiene una expresión explícita, a saber:

Q(pag;μ,σ,ξ)={μ−σ ln⁡(−ln⁡pag)  para   ξ=0   y   pag∈(0,1) ,μ+σξ( (−ln⁡pag)−ξ−1 )  para   ξ>0   y   pag∈[0,1) ,   o para   ξ<0   y   pag∈(0,1];{\displaystyle Q(p;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{cases}\mu -\sigma \ \ln(-\ln p)~~&{\text{for }}~~\xi =0~~{\text{ and }}~~p\in (0,1)\ ,\\\mu +{\dfrac {\sigma }{\xi }}{\Big (}\ (-\ln p)^{-\xi }-1\ {\Big )}~~&{\text{for }}~~\xi >0~~{\text{ and }}~~p\in [0,1)\ ,~~{\text{ or for }}~~\xi <0~~{\text{ and }}~~p\in (0,1];\end{cases}}}

y por lo tanto la función de densidad de cuantiles q=dQdpag {\displaystyle \ q={\tfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} p}}\ }es

q(pag;σ,ξ)=σ(−ln⁡pag)ξ+1pagpara pag∈(0,1) ,{\displaystyle q(p;\sigma ,\xi )={\frac {\sigma }{(-\ln p)^{\xi +1}\,p}}\qquad {\text{for }}p\in (0,1)\ ,}

válido para σ>0 {\displaystyle \ \sigma >0\ }y para cualquier real ξ .{\displaystyle \ \xi ~.}

Ejemplo de funciones de densidad de probabilidad para distribuciones de la familia GEV.[ 6 ]

Estadísticas descriptivas

Usandogramok≡Γ(1−kξ){\displaystyle g_{k}\equiv \Gamma (1-k\xi )}para k∈{1,2,3,4} ,{\displaystyle ~k\in \{1,2,3,4\}\ ,}dóndeΓ(⋅){\displaystyle \Gamma (\cdot )}es la función gamma , algunas estadísticas simples de la distribución vienen dadas por:

mi⁡(incógnita)=μ+(gramo1−1)σξ{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (X)=\mu +(g_{1}-1)\,{\frac {\sigma }{\xi }}\quad }paraξ<1 ,{\displaystyle \xi <1\ ,}
Var⁡(incógnita)=(gramo2−gramo12)σ2ξ2 ,{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=(g_{2}-g_{1}^{2})\,{\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}}\ ,}
Modo⁡(incógnita)=μ+((1+ξ)−ξ−1)σξ .{\displaystyle \operatorname {Mode} (X)=\mu +{\bigl (}(1+\xi )^{-\xi }-1{\bigr )}\,{\frac {\sigma }{\xi }}~.}

La asimetría es

 oblicuidad⁡(incógnita)={gramo3−3gramo2gramo1+2gramo13(gramo2−gramo12)3/2⋅sgn⁡(ξ)ξ≠0 ,126ζ(3)π3≈1.14ξ=0 .{\displaystyle \ \operatorname {skewness} (X)={\begin{cases}{\dfrac {g_{3}-3g_{2}g_{1}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}\cdot \operatorname {sgn}(\xi )&\xi \neq 0\ ,\\{\dfrac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14&\xi =0~.\end{cases}}}

La curtosis excesiva es:

 ktúrtosis miincógnitadomiss⁡(incógnita)=gramo4−4gramo3gramo1+6gramo2gramo12−3gramo14(gramo2−gramo12)2−3 .{\displaystyle \ \operatorname {kurtosis\ excess} (X)={\frac {g_{4}-4g_{3}g_{1}+6g_{2}g_{1}^{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}-3~.}

El parámetro de forma ξ {\displaystyle \ \xi \ }gobierna el comportamiento de la cola de la distribución. Las subfamilias se definen mediante tres casos: ξ=0 ,{\displaystyle \ \xi =0\ ,} ξ>0 ,{\displaystyle \ \xi >0\ ,}y ξ<0 ;{\displaystyle \ \xi <0\ ;} Estas corresponden, respectivamente, a las familias Gumbel , Fréchet y Weibull , cuyas funciones de distribución acumulativa se muestran a continuación.

  • Distribución de valores extremos de tipo  I o Gumbel , caso ξ=0 ,{\displaystyle ~\xi =0\ ,\quad }a pesar deincógnita∈( −∞ , +∞ ) :{\displaystyle \quad x\in {\Bigl (}\ -\infty \ ,\ +\infty \ {\Bigr )}\ :}
F( incógnita; μ, σ, 0 )=exp⁡(−exp⁡(− incógnita−μ σ)) .{\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ 0\ )=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {\ x-\mu \ }{\sigma }}\right)\right)~.}
  • Distribución de valores extremos tipo  II o Fréchet , caso ξ>0 ,{\displaystyle ~\xi >0\ ,\quad }a pesar deincógnita∈( μ−σ ξ  , +∞ ) :{\displaystyle \quad x\in \left(\ \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\ ,\ +\infty \ \right)\ :}
Dejarα≡ 1 ξ>0{\displaystyle \quad \alpha \equiv {\tfrac {\ 1\ }{\xi }}>0\quad }yy≡1+ξσ(incógnita−μ) ;{\displaystyle \quad y\equiv 1+{\tfrac {\xi }{\sigma }}(x-\mu )\ ;}
F( incógnita; μ, σ, ξ )={0y≤0 or miqtúiv. incógnita≤μ−σ ξ exp⁡(−1 yα )y>0 or miqtúiv. incógnita>μ−σ ξ  .{\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}0&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\leq \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\\\exp \left(-{\frac {1}{~y^{\alpha }\ }}\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x>\mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}~.\end{cases}}}
  • Distribución de valores extremos de Weibull tipo  III o inversa , caso ξ<0 ,{\displaystyle ~\xi <0\ ,\quad }a pesar deincógnita∈(−∞ , μ+σ | ξ |  ) :{\displaystyle \quad x\in \left(-\infty \ ,\ \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\ \right)\ :}
Dejarα≡−1 ξ >0{\displaystyle \quad \alpha \equiv -{\tfrac {1}{\ \xi \ }}>0\quad }yy≡1− | ξ | σ(incógnita−μ) ;{\displaystyle \quad y\equiv 1-{\tfrac {\ |\ \xi \ |\ }{\sigma }}(x-\mu )\ ;}
F( incógnita; μ, σ, ξ )={exp⁡(−yα)y>0 or miqtúiv. incógnita<μ+σ | ξ | 1y≤0 or miqtúiv. incógnita≥μ+σ | ξ |  .{\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}\exp \left(-y^{\alpha }\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x<\mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\\1&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\geq \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}~.\end{cases}}}

Las subsecciones que siguen comentan las propiedades de estas distribuciones.

Modificación para mínimos en lugar de máximos

La teoría aquí se relaciona con los máximos de los datos y la distribución que se discute es una distribución de valores extremos para los máximos. Se puede obtener una distribución generalizada de valores extremos para los mínimos de los datos, por ejemplo, sustituyendo −incógnita{\displaystyle \ -x\;}paraincógnita{\displaystyle \;x\;}en la función de distribución, y restando la distribución acumulativa de uno: Es decir, reemplazar F(incógnita) {\displaystyle \ F(x)\ }con 1−F(−incógnita) {\displaystyle \ 1-F(-x)\ }Al hacerlo , se obtiene otra familia de distribuciones.

Convención alternativa para la distribución de Weibull

La distribución de Weibull ordinaria surge en aplicaciones de confiabilidad y se obtiene a partir de la distribución aquí utilizando la variable t=μ−incógnita ,{\displaystyle \ t=\mu -x\ ,}Esto proporciona un apoyo estrictamente positivo, a diferencia de su uso en la formulación de la teoría de valores extremos. Esto se debe a que la distribución de Weibull ordinaria se utiliza para casos que involucran mínimos de datos en lugar de máximos. La distribución aquí tiene un parámetro adicional en comparación con la forma habitual de la distribución de Weibull y, además, está invertida, de modo que la distribución tiene un límite superior en lugar de un límite inferior. Es importante destacar que, en las aplicaciones de la GEV, el límite superior es desconocido y, por lo tanto, debe estimarse, mientras que al aplicar la distribución de Weibull ordinaria en aplicaciones de confiabilidad, el límite inferior generalmente se conoce como cero.

Rangos de las distribuciones

Nótese la diferencia en los rangos de interés para las tres distribuciones de valores extremos: Gumbel es ilimitada, Fréchet tiene un límite inferior, mientras que la Weibull inversa tiene un límite superior. Más precisamente, la teoría univariada de valores extremos describe cuál de las tres es la ley límite según la ley inicial X y, en particular, dependiendo de la cola de la distribución original.

Distribución de variables logarítmicas

Se puede vincular el tipo  I con los tipos  II y III de la siguiente manera: Si la función de distribución acumulativa de alguna variable aleatoria incógnita {\displaystyle \ X\ }es de tipo  II, y con los números positivos como soporte, es decir F( incógnita; 0, σ, α ) ,{\displaystyle \ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ \alpha \ )\ ,}entonces la función de distribución acumulativa deln⁡incógnita{\displaystyle \ln X}es de tipo I, a saber F( incógnita; ln⁡σ, 1 α , 0 ) .{\displaystyle \ F(\ x;\ \ln \sigma ,\ {\tfrac {1}{\ \alpha \ }},\ 0\ )~.}De manera similar, si la función de distribución acumulativa de incógnita {\displaystyle \ X\ }es de tipo  III, y con los números negativos como soporte, es decir F( incógnita; 0, σ, −α ) ,{\displaystyle \ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ -\alpha \ )\ ,}entonces la función de distribución acumulativa de ln⁡(−incógnita) {\displaystyle \ \ln(-X)\ }es de tipo  I, a saber F( incógnita; −ln⁡σ,  1 α, 0 ) .{\displaystyle \ F(\ x;\ -\ln \sigma ,\ {\tfrac {\ 1\ }{\alpha }},\ 0\ )~.}

Los modelos logit multinomiales , y otros tipos de regresión logística , pueden describirse como modelos de variables latentes con variables de error distribuidas según distribuciones de Gumbel (distribuciones generalizadas de valores extremos de tipo I). Esta formulación es común en la teoría de los modelos de elección discreta , que incluyen modelos logit , modelos probit y diversas extensiones de estos, y se deriva del hecho de que la diferencia de dos variables con distribución GEV de tipo I sigue una distribución logística , cuya función logit es la función cuantil . Por lo tanto, la distribución GEV de tipo I desempeña el mismo papel en estos modelos logit que la distribución normal en los modelos probit correspondientes.

Propiedades

La función de distribución acumulativa de la distribución generalizada de valores extremos resuelve la ecuación del postulado de estabilidad . La distribución generalizada de valores extremos es un caso especial de una distribución max-estable y es una transformación de una distribución min-estable.

Aplicaciones

  • La distribución GEV se utiliza ampliamente en el tratamiento de los "riesgos extremos" en campos que van desde los seguros hasta las finanzas. En este último caso, se ha considerado como un medio para evaluar diversos riesgos financieros mediante métricas como el valor en riesgo . [ 7 ] [ 8 ]
Distribución de probabilidad GEV ajustada a las precipitaciones máximas mensuales de un día en octubre, Surinam
  • Sin embargo, se ha descubierto que los parámetros de forma resultantes se encuentran en el rango que conduce a medias y varianzas indefinidas, lo que subraya el hecho de que el análisis de datos fiable suele ser imposible. [ 9 ]
  • En hidrología, la distribución GEV se aplica a eventos extremos como las precipitaciones máximas anuales de un día y los caudales de los ríos. [ 10 ] La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución GEV a las precipitaciones máximas anuales de un día ordenadas, mostrando también el cinturón de confianza del 90 % basado en la distribución binomial . Los datos de precipitación se representan graficando las posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .

Predicción

Ejemplo para variables con distribución normal

Dejar { incógnitai | 1≤i≤norte } {\displaystyle \ \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ }sean variables aleatorias i.i.d. con distribución normal, con media 0 y varianza 1. El teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko [ 13 ] nos dice que  máximo{ incógnitai | 1≤i≤norte }∼GRAMOmiV(μnorte,σnorte,0) ,{\displaystyle \ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\sim GEV(\mu _{n},\sigma _{n},0)\ ,} dónde

μnorte=Φ−1(1− 1 norte)σnorte=Φ−1(1−1 norte mi )−Φ−1(1− 1 norte) .{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)\\\sigma _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ n\ \mathrm {e} \ }}\right)-\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)~.\end{aligned}}}

Esto nos permite estimar, por ejemplo, la media de máximo{ incógnitai | 1≤i≤norte } {\displaystyle \ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\ } a partir de la media de la distribución GEV:

mi⁡{ máximo{ incógnitai | 1≤i≤norte } }≈μnorte+γmi σnorte=(1−γmi) Φ−1(1− 1 norte)+γmi Φ−1(1−1 mi norte )=registro⁡(norte2 2π registro⁡(norte22π) )  ⋅ (1+γ registro⁡norte +o(1 registro⁡norte )) ,{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \max \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ \right\}&\approx \mu _{n}+\gamma _{\mathsf {E}}\ \sigma _{n}\\&=(1-\gamma _{\mathsf {E}})\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)+\gamma _{\mathsf {E}}\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ e\ n\ }}\right)\\&={\sqrt {\log \left({\frac {n^{2}}{\ 2\pi \ \log \left({\frac {n^{2}}{2\pi }}\right)\ }}\right)~}}\ \cdot \ \left(1+{\frac {\gamma }{\ \log n\ }}+{\mathcal {o}}\left({\frac {1}{\ \log n\ }}\right)\right)\ ,\end{aligned}}}

dónde γmi {\displaystyle \ \gamma _{\mathsf {E}}\ }es la constante de Euler-Mascheroni .

  1. Si incógnita∼GEV(μ,σ,ξ) {\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,\xi )\ }entonces metroincógnita+b∼GEV(metroμ+b, |metro|σ, ξ) {\displaystyle \ mX+b\sim {\textrm {GEV}}(m\mu +b,\ |m|\sigma ,\ \xi )\ }
  2. Si incógnita∼Gumbel(μ, σ) {\displaystyle \ X\sim {\textrm {Gumbel}}(\mu ,\ \sigma )\ }( Distribución de Gumbel ) entonces incógnita∼GEV(μ,σ,0) {\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }
  3. Si incógnita∼Weibull(σ,μ) {\displaystyle \ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ }( Distribución de Weibull ) entonces μ(1−σregistro⁡incógnitaσ)∼GEV(μ,σ,0) {\displaystyle \ \mu \left(1-\sigma \log {\tfrac {X}{\sigma }}\right)\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }
  4. Si incógnita∼GEV(μ,σ,0) {\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }entonces σexp⁡(−incógnita−μμσ)∼Weibull(σ,μ) {\displaystyle \ \sigma \exp(-{\tfrac {X-\mu }{\mu \sigma }})\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ }( Distribución de Weibull )
  5. Si incógnita∼Exponencial(1) {\displaystyle \ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ }( Distribución exponencial ) entonces μ−σregistro⁡incógnita∼GEV(μ,σ,0) {\displaystyle \ \mu -\sigma \log X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }
  6. Si incógnita∼GRAMOtúmetrobmil(αincógnita,β) {\displaystyle \ X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )\ }y Y∼GRAMOtúmetrobmil(αY,β) {\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )\ }entonces incógnita−Y∼Logramoistido(αincógnita−αY,β) {\displaystyle \ X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\ }(véase Distribución logística ).
  7. Si incógnita {\displaystyle \ X\ }y Y∼GRAMOtúmetrobmil(α,β) {\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )\ }entonces incógnita+Y≁Logramoistido(2α,β) {\displaystyle \ X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ }(La suma no sigue una distribución logística).
Tenga en cuenta que mi⁡{ incógnita+Y }=2α+2βγ≠2α=mi⁡{ Logístico⁡(2α,β) } .{\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } \{\ X+Y\ \}=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \operatorname {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ \right\}~.}

Pruebas

4. Deja incógnita∼Weibull(σ,μ) ,{\displaystyle \ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ ,}luego la distribución acumulativa de gramo(incógnita)=μ(1−σregistro⁡incógnitaσ) {\displaystyle \ g(x)=\mu \left(1-\sigma \log {\frac {X}{\sigma }}\right)\ }es:

PAG⁡{ μ(1−σregistro⁡ incógnita σ)<incógnita }=PAG⁡{ registro⁡incógnitaσ>1−incógnita/μσ } Sinortedomi thmi logramoarithmetro is always inortedormiasinortegramo: =PAG⁡{ incógnita>σexp⁡[1−incógnita/μσ] }=exp⁡(−(σexp⁡[1−incógnita/μσ]⋅1σ)μ)=exp⁡(−(exp⁡[1μ−incógnita/μσ])μ)=exp⁡(−exp⁡[μ−incógnitaσ])=exp⁡(−exp⁡[−s]),s=incógnita−μσ ,{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu \left(1-\sigma \log {\frac {\ X\ }{\sigma }}\right)<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log {\frac {X}{\sigma }}>{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\sigma \exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\ \right\}\\&=\exp \left(-\left({\cancel {\sigma }}\exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\cdot {\cancel {\frac {1}{\sigma }}}\right)^{\mu }\right)\\&=\exp \left(-\left(\exp \left[{\frac {{\cancelto {\mu }{1}}-x/{\cancel {\mu }}}{\sigma }}\right]\right)^{\cancel {\mu }}\right)\\&=\exp \left(-\exp \left[{\frac {\mu -x}{\sigma }}\right]\right)\\&=\exp \left(-\exp \left[-s\right]\right),\quad s={\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ,\end{aligned}}}
que es la función de distribución acumulada para∼GEV(μ,σ,0) .{\displaystyle \sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)~.}

5. Deja incógnita∼Exponencial(1) ,{\displaystyle \ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ ,}luego la distribución acumulativa de gramo(incógnita)=μ−σregistro⁡incógnita {\displaystyle \ g(X)=\mu -\sigma \log X\ }es:

PAG⁡{ μ−σregistro⁡incógnita<incógnita }=PAG⁡{ registro⁡incógnita>μ−incógnitaσ } Sinortedomi thmi logramoarithmetro is always inortedormiasinortegramo: =PAG⁡{ incógnita>exp⁡( μ−incógnita σ) }=exp⁡[−exp⁡( μ−incógnita σ)]=exp⁡[−exp⁡(−s)] , whmirmi s≡incógnita−μσ ;{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu -\sigma \log X<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log X>{\frac {\mu -x}{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\ \right\}\\&=\exp \left[-\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\right]\\&=\exp \left[-\exp(-s)\right]\ ,\quad ~{\mathsf {where}}~\quad s\equiv {\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ;\end{aligned}}}
que es la distribución acumulativa de GEV⁡(μ,σ,0) .{\displaystyle \ \operatorname {GEV} (\mu ,\sigma ,0)~.}

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Muraleedharan, G.; Guedes Soares, C.; Lucas, Cláudia (2011). "Funciones características y generadoras de momentos de la distribución generalizada de valores extremos (GEV)". En Wright, Linda L. (ed.). Aumento del nivel del mar, ingeniería costera, líneas de costa y mareas . Nova Science Publishers. Capítulo 14, pp. 269–276. ISBN   978-1-61728-655-1.
  2. ↑ Weisstein, Eric W. "Distribución de valores extremos" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de agosto de 2021 .
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  4. ↑ Jenkinson, Arthur F. (1955). "La distribución de frecuencia de los valores máximos (o mínimos) anuales de los elementos meteorológicos". Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society . 81 (348): 158– 171. Bibcode : 1955QJRMS..81..158J . doi : 10.1002/qj.49708134804 .
  5. ^ von Mises, R. (1936). "La distribución de la plus grande de n valores". Rev. Matemáticas. Unión Interbalcánica . 1 : 141-160 .
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  7. ↑ Moscadelli, Marco (30 de julio de 2004). El modelado del riesgo operacional: Experiencia con el análisis de los datos recopilados por el Comité de Basilea (PDF) (artículo no revisado por pares). doi : 10.2139/ssrn.557214 . SSRN 557214. Archivado del original (PDF) el 22 de septiembre de 2015. Recuperado el 17 de junio de 2015 – a través de Archivos curso Riesgo Operativo de ND Girald (unalmed.edu.co). 
  8. ↑ Guégan, D.; Hassani, BK (2014). "Un resurgimiento matemático de la gestión de riesgos: un modelado extremo de opiniones de expertos". Frontiers in Finance and Economics . 11 (1): 25– 45. SSRN 2558747 . 
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  13. ↑ David, Herbert A.; Nagaraja, Haikady N. (2004). Order Statistics . John Wiley & Sons. p. 299. 

Lecturas adicionales

  • Embrechts, Paul; Klüppelberg, Claudia ; Mikosch, Thomas (1997). Modelado de eventos extremos para seguros y finanzas . Berlín, DE: Springer Verlag. ISBN 9783540609315– vía Google Libros.
  • Leadbetter, MR; Lindgren, G.; Rootzén, H. (1983). Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processes . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90731-9.
  • Resnick, SI (1987). Valores extremos, variación regular y procesos puntuales . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96481-9.
  • Coles, Stuart (2001). Introducción al modelado estadístico de valores extremos . Springer-Verlag. ISBN 1-85233-459-2.