Logit mixto

El logit mixto es un modelo estadístico totalmente general para examinar elecciones discretas . Supera tres limitaciones importantes del modelo logit estándar al permitir la variación aleatoria de gustos entre los electores, patrones de sustitución sin restricciones entre las elecciones y correlación en factores no observados a lo largo del tiempo. ^[1] El logit mixto puede elegir cualquier distribución para los coeficientes aleatorios, a diferencia del probit que está limitado a la distribución normal. Se llama "logit mixto" porque la probabilidad de elección es una mezcla de logits, siendo como la distribución de mezcla. ^[2] Se ha demostrado que un modelo logit mixto puede aproximarse a cualquier grado de precisión a cualquier modelo de utilidad aleatorio verdadero de elección discreta, dada la especificación apropiada de las variables y la distribución de coeficientes. ^[3]${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Los coeficientes de "gusto" del modelo logit estándar, o "s", son fijos, lo que significa que son los mismos para todos. El logit mixto tiene diferentes "s para cada persona (es decir, cada tomador de decisiones). ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

En el modelo logit estándar, la utilidad de la persona para la alternativa es: ${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle U_{ni}=\beta x_{ni}+\varepsilon _{ni}}$

con

${\displaystyle \varepsilon _{ni}}$ ~ iid valor extremo

Para el modelo logit mixto, esta especificación se generaliza permitiendo que sea aleatoria. La utilidad de la persona para la alternativa en el modelo logit mixto es: ${\displaystyle \beta _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle U_{ni}=\beta _{n}x_{ni}+\varepsilon _{ni}}$

con

${\displaystyle \varepsilon _{ni}}$ ~ iid valor extremo

${\displaystyle \quad \beta _{n}\sim f(\beta |\theta )}$

donde θ son los parámetros de la distribución de s sobre la población, como la media y la varianza de . ${\displaystyle \beta _{n}}$${\displaystyle \beta _{n}}$

Condicional a , la probabilidad de que la persona elija la alternativa es la fórmula logit estándar: ${\displaystyle \beta _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle L_{ni}(\beta _{n})={\frac {e^{\beta _{n}X_{ni}}}{\sum _{j}e^{\beta _{n}X_{nj}}}}}$

Sin embargo, como es aleatorio y no se conoce, la probabilidad de elección (incondicional) es la integral de esta fórmula logit sobre la densidad de . ${\displaystyle \beta _{n}}$${\displaystyle \beta _{n}}$

${\displaystyle P_{ni}=\int L_{ni}(\beta )f(\beta |\theta )d\beta }$

Este modelo también se denomina modelo logit de coeficientes aleatorios, ya que es una variable aleatoria. Permite que las pendientes de utilidad (es decir, la utilidad marginal ) sean aleatorias, lo que es una extensión del modelo de efectos aleatorios donde solo la intersección era estocástica. ${\displaystyle \beta _{n}}$

Cualquier función de densidad de probabilidad puede especificarse para la distribución de los coeficientes en la población, es decir, para . La distribución más utilizada es la normal, principalmente por su simplicidad. Para coeficientes que toman el mismo signo para todas las personas, como un coeficiente de precio que es necesariamente negativo o el coeficiente de un atributo deseable, se utilizan distribuciones con apoyo en un solo lado de cero, como la lognormal. ^{[4] [5]} Cuando los coeficientes no pueden ser lógicamente ilimitadamente grandes o pequeños, entonces se utilizan a menudo distribuciones acotadas, como las distribuciones o triangulares. ${\displaystyle f(\beta |\theta )}$${\displaystyle S_{b}}$

El modelo logit mixto puede representar un patrón general de sustitución porque no exhibe la propiedad restrictiva de independencia de alternativas irrelevantes (IIA) del logit. El cambio porcentual en la probabilidad incondicional de una persona de elegir una alternativa dado un cambio porcentual en el m -ésimo atributo de la alternativa (la elasticidad de con respecto a ) es ${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle P_{ni}}$${\displaystyle x_{nj}^{m}}$

${\displaystyle {\text{Elasticity}}_{P_{ni},x_{nj}^{m}}=-{\frac {x_{nj}^{m}}{P_{ni}}}\int \beta ^{m}L_{ni}(\beta )L_{nj}(\beta )f(\beta )d\beta =-x_{nj}^{m}\int \beta ^{m}L_{nj}(\beta ){\frac {L_{ni}(\beta )}{P_{ni}}}f(\beta )d\beta }$

donde es el m ésimo elemento de . ^{[1] [5]} Se puede ver a partir de esta fórmula que una reducción del diez por ciento para no implica necesariamente (como con logit) una reducción del diez por ciento en cada otra alternativa . ^[1] La razón es que los porcentajes relativos dependen de la correlación entre la probabilidad condicional de que la persona elija la alternativa y la probabilidad condicional de que la persona elija la alternativa en varios sorteos de . ${\displaystyle \beta ^{m}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle P_{ni}}$${\displaystyle P_{nj}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle i,L_{ni},}$${\displaystyle n}$${\displaystyle j,L_{nj},}$${\displaystyle \beta }$

El modelo logit estándar no tiene en cuenta ningún factor no observado que persista en el tiempo para un determinado decisor. Esto puede ser un problema si se utilizan datos de panel, que representan elecciones repetidas a lo largo del tiempo. Al aplicar un modelo logit estándar a los datos de panel, se asume que los factores no observados que afectan la elección de una persona son nuevos cada vez que la persona hace la elección. Se trata de una suposición muy poco probable. Para tener en cuenta tanto la variación aleatoria de los gustos como la correlación en los factores no observados a lo largo del tiempo, la utilidad para el encuestado n para la alternativa i en el momento t se especifica de la siguiente manera:

${\displaystyle U_{nit}=\beta _{n}X_{nit}+\varepsilon _{nit}}$

donde el subíndice t es la dimensión temporal. Seguimos haciendo el supuesto logit, que es que es un valor extremo iid. Eso significa que es independiente en el tiempo, las personas y las alternativas. es esencialmente solo ruido blanco. Sin embargo, la correlación en el tiempo y en las alternativas surge del efecto común de los , que ingresan la utilidad en cada período de tiempo y cada alternativa. ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \beta }$

Para examinar la correlación explícitamente, supongamos que los β se distribuyen normalmente con media y varianza . Entonces la ecuación de utilidad se convierte en:${\displaystyle {\bar {\beta }}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle U_{nit}=({\bar {\beta }}+\sigma \eta _{n})X_{nit}+\varepsilon _{nit}}$

y η es un valor extraído de la densidad normal estándar. Reordenando, la ecuación se convierte en:

${\displaystyle U_{nit}={\bar {\beta }}X_{nit}+(\sigma \eta _{n}X_{nit}+\varepsilon _{nit})}$

${\displaystyle U_{nit}={\bar {\beta }}X_{nit}+e_{nit}}$

donde los factores no observados se recogen en . De los factores no observados, es independiente en el tiempo, y no es independiente en el tiempo ni en las alternativas. ${\displaystyle e_{nit}=\sigma \eta _{n}X_{nit}+\varepsilon _{nit}}$${\displaystyle \varepsilon _{nit}}$${\displaystyle \sigma \eta _{n}X_{nit}}$

Entonces la covarianza entre las alternativas y es, ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\text{Cov}}(e_{nit},e_{njt})=\sigma ^{2}(X_{nit}X_{njt})}$

y la covarianza entre el tiempo y es ${\displaystyle t}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\text{Cov}}(e_{nit},e_{niq})=\sigma ^{2}(X_{nit}X_{niq})}$

Al especificar las X adecuadamente, se puede obtener cualquier patrón de covarianza en el tiempo y las alternativas.

Condicional a , la probabilidad de la secuencia de elecciones de una persona es simplemente el producto de la probabilidad logit de cada elección individual de esa persona: ${\displaystyle \beta _{n}}$

${\displaystyle L_{n}(\beta _{n})=\prod _{t}{\frac {e^{\beta _{n}X_{nit}}}{\sum _{j}e^{\beta _{n}X_{njt}}}}}$

ya que es independiente en el tiempo. Entonces la probabilidad (incondicional) de la secuencia de elecciones es simplemente la integral de este producto de logits sobre la densidad de . ${\displaystyle \varepsilon _{nit}}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle P_{ni}=\int L_{n}(\beta )f(\beta |\theta )d\beta }$

Lamentablemente, no existe una forma cerrada para la integral que entra en la probabilidad de elección, por lo que el investigador debe simular P _n . Afortunadamente para el investigador, simular P _n puede ser muy simple. Hay cuatro pasos básicos a seguir

1. Extraiga un valor de la función de densidad de probabilidad que especificó para los coeficientes de "gusto". Es decir, extraiga un valor de y etiquételo como , para representar el primer valor. ${\displaystyle f(\beta |\theta )}$${\displaystyle \beta ^{r}}$${\displaystyle r=1}$

2. Calcular . (La probabilidad condicional). ${\displaystyle L_{n}(\beta ^{r})}$

3. Repita muchas veces, para . ${\displaystyle r=2,...,R}$

4. Promediar los resultados

Entonces la fórmula para la simulación se ve así:

${\displaystyle {\tilde {P}}_{ni}={\frac {\sum _{r}L_{ni}(\beta ^{r})}{R}}}$

donde R es el número total de extracciones realizadas de la distribución y r es una extracción.

Una vez hecho esto tendrás un valor para la probabilidad de cada alternativa i para cada encuestado n.

• Elección discreta

• Capítulo 6 de Métodos de elección discreta con simulación, de Kenneth Train ( Cambridge University Press )