Resultante

Las siguientes propiedades se cumplen para la resultante de dos polinomios con coeficientes en un anillo conmutativo R. Si R es un cuerpo o, más generalmente, un dominio de integridad , la resultante es la única función de los coeficientes de dos polinomios que satisface estas propiedades.

• Si R es un subanillo de otro anillo S , entonces${\displaystyle \operatorname {res} _{R}(A,B)=\operatorname {res} _{S}(A,B).}$Es decir, A y B tienen el mismo resultante cuando se consideran como polinomios sobre R o S.
• Si d = 0 (es decir, si${\displaystyle A=a_{0}}$es una constante distinta de cero) entonces${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}.}$De manera similar, si e = 0 , entonces${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=b_{0}^{d}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (x+a_{1},x+b_{1})=b_{1}-a_{1}}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (B,A)=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (AB,C)=\operatorname {res} (A,C)\operatorname {res} (B,C)}$

• La resultante de dos polinomios con coeficientes en un dominio de integridad ^D es cero si y solo si tienen un divisor común de grado positivo sobre el cuerpo de fracciones de D. [ ^{a ]}
• El resultante de dos polinomios con coeficientes en un dominio de integridad es cero si y solo si tienen una raíz común en un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes.
• Existe un polinomio P de grado menor que e y un polinomio Q de grado menor que d tales que${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=AP+BQ.}$Esta es una generalización de la identidad de Bézout a polinomios sobre un anillo conmutativo arbitrario. En otras palabras, el resultante de dos polinomios pertenece al ideal generado por dichos polinomios.

Sean A y B dos polinomios de grados respectivos d y e con coeficientes en un anillo conmutativo R , y${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$un homomorfismo de anillos de R en otro anillo conmutativo S. Aplicando${\displaystyle \varphi }$a los coeficientes de un polinomio se extiende${\displaystyle \varphi }$a un homomorfismo de anillos polinomiales${\displaystyle R[x]\to S[x]}$, que también se denota${\displaystyle \varphi .}$Con esta notación, tenemos:

• Si${\displaystyle \varphi }$conserva los grados de A y B (es decir, si${\displaystyle \deg(\varphi (A))=d}$y${\displaystyle \deg(\varphi (B))=e}$), entonces$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$
• Si${\displaystyle \deg(\varphi (A))<d}$y${\displaystyle \deg(\varphi (B))<e,}$entonces$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=0.}$$
• Si${\displaystyle \deg(\varphi (A))=d}$y${\displaystyle \deg(\varphi (B))=f<e,}$ y el coeficiente principal de A es${\displaystyle a_{0}}$entonces$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=\varphi (a_{0})^{e-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$
• Si${\displaystyle \deg(\varphi (A))=f<d}$y${\displaystyle \deg(\varphi (B))=e,}$ y el coeficiente principal de B es${\displaystyle b_{0}}$entonces$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=(-1)^{e(d-f)}\varphi (b_{0})^{d-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$

Estas propiedades se deducen fácilmente de la definición del resultante como determinante. Se utilizan principalmente en dos situaciones. Para calcular un resultante de polinomios con coeficientes enteros, generalmente es más rápido calcularlo módulo varios primos y recuperar el resultante deseado con el teorema chino del resto . Cuando R es un anillo de polinomios en otras indeterminadas, y S es el anillo obtenido al especializar a valores numéricos algunas o todas las indeterminadas de R , estas propiedades pueden reformularse como si los grados se conservan por la especialización, el resultante de la especialización de dos polinomios es la especialización del resultante . Esta propiedad es fundamental, por ejemplo, para la descomposición algebraica cilíndrica .

• ${\displaystyle \operatorname {res} (A(x+a),B(x+a))=\operatorname {res} (A(x),B(x))}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (A(ax),B(ax))=a^{de}\operatorname {res} (A(x),B(x))}$
• Si${\displaystyle A_{r}(x)=x^{d}A(1/x)}$y${\displaystyle B_{r}(x)=x^{e}B(1/x)}$son los polinomios recíprocos de A y B , respectivamente, entonces$${\displaystyle \operatorname {res} (A_{r},B_{r})=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)}$$

Esto significa que la propiedad de que el resultante sea cero es invariante bajo cambios lineales y proyectivos de la variable.

• Si a y b son constantes distintas de cero (es decir, son independientes de la indeterminada x ), y A y B son como se indicó anteriormente, entonces$${\displaystyle \operatorname {res} (aA,bB)=a^{e}b^{d}\operatorname {res} (A,B).}$$
• Si A y B son como se indicó anteriormente, y C es otro polinomio tal que el grado de A – CB es δ , entonces $${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=b_{0}^{\delta -d}\operatorname {res} (B,A).}$$

Es solo cuando${\displaystyle BC}$y​​${\displaystyle A}$tienen el mismo grado que${\displaystyle \delta }$No se puede deducir de los grados de los polinomios dados. Si B es mónico , o deg C < deg A – deg B , entonces$${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=\operatorname {res} (B,A),}$$Si f = grados C > grados A – grados B = d – e , entonces$${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=b_{0}^{e+f-d}\operatorname {res} (B,A).}$$

Estas propiedades implican que en el algoritmo euclidiano para polinomios , y todas sus variantes ( secuencias de pseudorestos ), el resultante de dos restos sucesivos (o pseudorestos) difiere del resultante de los polinomios iniciales por un factor fácil de calcular. A la inversa, esto permite deducir el resultante de los polinomios iniciales a partir del valor del último resto o pseudoresto. Esta es la idea inicial del algoritmo de secuencia de pseudorestos subresultante , que utiliza las fórmulas anteriores para obtener polinomios subresultantes como pseudorestos, y el resultante como el último pseudoresto distinto de cero (siempre que el resultante no sea cero). Este algoritmo funciona para polinomios sobre los enteros o, más generalmente, sobre un dominio de integridad, sin ninguna división que no sean divisiones exactas (es decir, sin involucrar fracciones).${\displaystyle O(de)}$operaciones aritméticas, mientras que el cálculo del determinante de la matriz de Sylvester con algoritmos estándar requiere${\displaystyle O((d+e)^{3})}$operaciones aritméticas.

En esta sección, consideramos dos polinomios $${\displaystyle A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}}$$ y $${\displaystyle B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}}$$ cuyos d + e + 2 coeficientes son indeterminadas distintas . Sea $${\displaystyle R=\mathbb {Z} [a_{0},\ldots ,a_{d},b_{0},\ldots ,b_{e}]}$$ Sea el anillo de polinomios sobre los enteros definidos por estas indeterminadas. El resultante${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$A menudo se le llama la resultante genérica para los grados d y e . Tiene las siguientes propiedades.

• ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$es un polinomio absolutamente irreducible .
• Si${\displaystyle I}$es el ideal de${\displaystyle R[x]}$generado por A y B , entonces${\displaystyle I\cap R}$es el ideal principal generado por${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$.

La resultante genérica para los grados d y e es homogénea de diversas maneras. Más precisamente:

• Es homogéneo de grado e en${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{d}.}$
• Es homogéneo de grado d en${\displaystyle b_{0},\ldots ,b_{e}.}$
• Es homogéneo de grado d + e en todas las variables.${\displaystyle a_{i}}$y${\displaystyle b_{j}.}$
• Si${\displaystyle a_{i}}$y${\displaystyle b_{i}}$Se les da el peso i (es decir, el peso de cada coeficiente es su grado como polinomio simétrico elemental ), entonces es cuasi-homogéneo de peso total de .
• Si P y Q son polinomios multivariados homogéneos de grados respectivos d y e , entonces su resultante en grados d y e con respecto a una indeterminada x , denotada${\displaystyle \operatorname {res} _{x}^{d,e}(P,Q)}$En la notación §  , es homogénea de grado de en las demás indeterminadas.

Dejar${\displaystyle I=\langle A,B\rangle }$Sea el ideal generado por dos polinomios A y B en un anillo de polinomios.${\displaystyle R[x],}$dónde${\displaystyle R=k[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$es en sí mismo un anillo de polinomios sobre un cuerpo. Si al menos uno de A y B es mónico en x , entonces:

• ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)\in I\cap R}$
• Los ideales${\displaystyle I\cap R}$y${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$definen el mismo conjunto algebraico . Es decir, una tupla de n elementos de un cuerpo algebraicamente cerrado es un cero común de los elementos de${\displaystyle I\cap R}$si y solo si es un cero de${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B).}$
• El ideal${\displaystyle I\cap R}$tiene el mismo radical que el ideal principal${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B).}$Es decir, cada elemento de${\displaystyle I\cap R}$tiene un poder que es un múltiplo de${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B).}$
• Todos los factores irreducibles de${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$divide cada elemento de${\displaystyle I\cap R.}$

La primera afirmación es una propiedad básica del resultante. Las demás afirmaciones son corolarios inmediatos de la segunda, que se pueden demostrar de la siguiente manera.

Como al menos uno de A y B es mónico, una tupla${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$es un cero de${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$si y solo si existe${\displaystyle \alpha }$de tal manera que${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$es un cero común de A y B. Dicho cero común es también un cero de todos los elementos de${\displaystyle I\cap R.}$Por el contrario, si${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$es un cero común de los elementos de${\displaystyle I\cap R,}$es un cero del resultante, y existe${\displaystyle \alpha }$de tal manera que${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$es un cero común de A y B. Entonces${\displaystyle I\cap R}$y${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$tienen exactamente los mismos ceros.

Consideremos el sistema de dos ecuaciones polinómicas $${\displaystyle {\begin{aligned}P(x,y)&=0\\Q(x,y)&=0,\end{aligned}}}$$ donde P y Q son polinomios de grados totales respectivos d y e . Entonces${\displaystyle R=\operatorname {res} _{y}^{d,e}(P,Q)}$es un polinomio en x , que genéricamente es de grado de (por propiedades de §  Homogeneidad ). Un valor${\displaystyle \alpha }$de x es una raíz de R si y solo si existe${\displaystyle \beta }$en un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes, de tal manera que${\displaystyle P(\alpha ,\beta )=Q(\alpha ,\beta )=0}$, o${\displaystyle \deg(P(\alpha ,y))<d}$y${\displaystyle \deg(Q(\alpha ,y))<e}$(en este caso, se dice que P y Q tienen una raíz común en el infinito para${\displaystyle x=\alpha }$).

Por lo tanto, las soluciones del sistema se obtienen calculando las raíces de R y para cada raíz${\displaystyle \alpha ,}$calcular la(s) raíz(ces) común(es) de${\displaystyle P(\alpha ,y),}$${\displaystyle Q(\alpha ,y),}$y${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q).}$

El teorema de Bézout resulta del valor de${\displaystyle \deg \left(\operatorname {res} _{y}(P,Q)\right)\leq de}$, el producto de los grados de P y Q. De hecho, tras un cambio lineal de variables, se puede suponer que, para cada raíz x de la resultante, existe exactamente un valor de y tal que ( x , y ) es un cero común de P y Q. Esto demuestra que el número de ceros comunes es como máximo el grado de la resultante, es decir, como máximo el producto de los grados de P y Q. Con algunos tecnicismos, esta demostración puede extenderse para mostrar que, contando multiplicidades y ceros en el infinito, el número de ceros es exactamente el producto de los grados.

A primera vista, parece que las resultantes pueden aplicarse a un sistema general de ecuaciones polinómicas.$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0\\&\;\;\vdots \\P_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0\end{aligned}}}$$ calculando las resultantes de cada par${\displaystyle (P_{i},P_{j})}$con respecto a${\displaystyle x_{n}}$para eliminar una incógnita y repetir el proceso hasta obtener polinomios univariados. Desafortunadamente, esto introduce muchas soluciones espurias, que son difíciles de eliminar.

Un método, introducido a finales del siglo XIX, funciona de la siguiente manera: introducir k − 1 nuevas indeterminadas${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$y calcular $${\displaystyle \operatorname {res} _{x_{n}}(P_{1},U_{2}P_{2}+\cdots +U_{k}P_{k}).}$$ Este es un polinomio en${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$cuyos coeficientes son polinomios en${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1},}$que tienen la propiedad de que${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$es un cero común de estos coeficientes polinómicos, si y solo si los polinomios univariados${\displaystyle P_{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},x_{n})}$tienen un cero común, posiblemente en el infinito . Este proceso puede repetirse hasta encontrar polinomios univariados.

Para obtener un algoritmo correcto, es necesario añadir dos complementos al método. En primer lugar, en cada paso, puede ser necesario un cambio lineal de variable para que los grados de los polinomios en la última variable coincidan con su grado total. En segundo lugar, si en algún paso el resultante es cero, esto significa que los polinomios tienen un factor común y que las soluciones se dividen en dos componentes: una donde el factor común es cero y otra que se obtiene factorizando dicho factor antes de continuar.

Este algoritmo es muy complejo y tiene una enorme complejidad temporal . Por lo tanto, su interés es principalmente histórico.

El discriminante de un polinomio, que es una herramienta fundamental en la teoría de números , es${\displaystyle a_{0}^{-1}(-1)^{n(n-1)/2}\operatorname {res} _{x}(f(x),f'(x))}$, dónde${\displaystyle a_{0}}$es el coeficiente principal de${\displaystyle f(x)}$y${\displaystyle n}$su grado.

Si${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son números algebraicos tales que${\displaystyle P(\alpha )=Q(\beta )=0}$, entonces${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta }$es una raíz del resultante${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),Q(z-x)),}$y${\displaystyle \tau =\alpha \beta }$es una raíz de${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),x^{n}Q(z/x))}$, dónde${\displaystyle n}$es el grado de${\displaystyle Q(y)}$. Sumado al hecho de que${\displaystyle 1/\beta }$es una raíz de${\displaystyle y^{n}Q(1/y)=0}$, esto demuestra que el conjunto de números algebraicos es un cuerpo .

Dejar${\displaystyle K(\alpha )}$ser una extensión de cuerpo algebraico generada por un elemento${\displaystyle \alpha ,}$que tiene${\displaystyle P(x)}$como polinomio mínimo . Cada elemento de${\displaystyle \beta \in K(\alpha )}$puede escribirse como${\displaystyle \beta =Q(\alpha ),}$dónde${\displaystyle Q}$es un polinomio. Entonces${\displaystyle \beta }$es una raíz de${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),z-Q(x)),}$y este resultante es una potencia del polinomio mínimo de${\displaystyle \beta .}$

Dadas dos curvas algebraicas planas definidas como las raíces de los polinomios P ​​( x , y ) y Q ( x , y ) , la resultante permite calcular su intersección. Más precisamente, las raíces de${\displaystyle \operatorname {res} _{y}(P,Q)}$son las coordenadas x de los puntos de intersección y de las asíntotas verticales comunes, y las raíces de${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q)}$son las coordenadas y de los puntos de intersección y de las asíntotas horizontales comunes.

Una curva plana racional puede definirse mediante una ecuación paramétrica.$${\displaystyle x={\frac {P(t)}{R(t)}},\qquad y={\frac {Q(t)}{R(t)}},}$$ donde P , Q y R son polinomios. Una ecuación implícita de la curva viene dada por $${\displaystyle \operatorname {res} _{t}(xR-P,yR-Q).}$$ El grado de esta curva es el grado más alto de P , Q y R , que es igual al grado total de la resultante.

En la integración simbólica , para calcular la antiderivada de una fracción racional , se utiliza la descomposición en fracciones parciales para descomponer la integral en una "parte racional", que es una suma de fracciones racionales cuyas antiprimitivas son fracciones racionales, y una "parte logarítmica", que es una suma de fracciones racionales de la forma $${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}},}$$ donde Q es un polinomio libre de cuadrados y P es un polinomio de grado menor que Q. La antiderivada de dicha función implica necesariamente logaritmos y, generalmente, números algebraicos (las raíces de Q ). De hecho, la antiderivada es $${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{Q(\alpha )=0}{\frac {P(\alpha )}{Q'(\alpha )}}\log(x-\alpha ),}$$ donde la suma recorre todas las raíces complejas de Q.

La cantidad de números algebraicos involucrados en esta expresión suele ser igual al grado de Q , pero con frecuencia se puede calcular una expresión con menos números algebraicos. El método de Lazard -Rioboo- Trager produce una expresión con un número mínimo de números algebraicos, sin necesidad de realizar ningún cálculo con ellos.

Dejar $${\displaystyle S_{1}(r)S_{2}(r)^{2}\cdots S_{k}(r)^{k}=\operatorname {res} _{r}(rQ'(x)-P(x),Q(x))}$$ Sea la factorización libre de cuadrados del resultante que aparece a la derecha. Trager demostró que la antiderivada es $${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{i=1}^{k}\sum _{S_{i}(\alpha )=0}\alpha \log(T_{i}(\alpha ,x)),}$$ donde las sumas internas recorren las raíces de la${\displaystyle S_{i}}$(si${\displaystyle S_{i}=1}$la suma es cero, ya que es la suma vacía ), y${\displaystyle T_{i}(r,x)}$es un polinomio de grado i en x . La contribución de Lazard-Rioboo es la prueba de que${\displaystyle T_{i}(r,x)}$es el subresultante de grado i de${\displaystyle rQ'(x)-P(x)}$y${\displaystyle Q(x).}$Se obtiene así gratuitamente si el resultante se calcula mediante la secuencia de pseudoresto subresultante .

Todas las aplicaciones anteriores, y muchas otras, demuestran que el resultante es una herramienta fundamental en el álgebra computacional . De hecho, la mayoría de los sistemas de álgebra computacional incluyen una implementación eficiente del cálculo de resultantes.

Un polinomio homogéneo de grado d en n variables puede tener hasta $${\displaystyle {\binom {n+d-1}{n-1}}={\frac {(n+d-1)!}{(n-1)!\,d!}}}$$ coeficientes; se dice que es genérico , si estos coeficientes son indeterminados distintos.

Dejar${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$sean n polinomios homogéneos genéricos en n indeterminadas, de grados respectivos${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}.}$Juntos, implican $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\binom {n+d_{i}-1}{n-1}}}$$ coeficientes indeterminados. Sea C el anillo de polinomios sobre los enteros, en todos estos coeficientes indeterminados. Los polinomios${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$pertenecen así a${\displaystyle C[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$y su resultante (aún por definir) pertenece a C.

El grado de Macaulay es el número entero${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1,}$lo cual es fundamental en la teoría de Macaulay. Para definir el resultante, se considera la matriz de Macaulay , que es la matriz sobre la base monomial de la aplicación C -lineal.$${\displaystyle (Q_{1},\ldots ,Q_{n})\mapsto Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n},}$$ en el que cada${\displaystyle Q_{i}}$recorre los polinomios homogéneos de grado${\displaystyle D-d_{i},}$y el codominio es el C - módulo de los polinomios homogéneos de grado D.

Si n = 2 , la matriz de Macaulay es la matriz de Sylvester, y es una matriz cuadrada , pero esto ya no es cierto para n > 2. Por lo tanto, en lugar de considerar el determinante, se consideran todos los menores máximos , es decir, los determinantes de las submatrices cuadradas que tienen tantas filas como la matriz de Macaulay. Macaulay demostró que el C -ideal generado por estos menores principales es un ideal principal , que es generado por el máximo común divisor de estos menores. Como se trabaja con polinomios con coeficientes enteros, este máximo común divisor está definido salvo su signo. El resultante genérico de Macaulay es el máximo común divisor que se convierte en 1 , cuando, para cada i , se sustituye cero por todos los coeficientes de${\displaystyle P_{i},}$excepto el coeficiente de${\displaystyle x_{i}^{d_{i}},}$por el cual se sustituye uno.

De ahora en adelante, consideramos que los polinomios homogéneos${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$de grados${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$tienen sus coeficientes en un campo k , es decir, pertenecen a${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}].}$Su resultante se define como el elemento de k obtenido al reemplazar en el resultante genérico los coeficientes indeterminados por los coeficientes reales de la${\displaystyle P_{i}.}$

La propiedad principal del resultante es que es cero si y solo si${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$tener un cero común distinto de cero en una extensión algebraicamente cerrada de k .

La parte "solo si" de este teorema resulta de la última propiedad del párrafo anterior, y es una versión efectiva del Nullstellensatz proyectivo : Si el resultante es distinto de cero, entonces $${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ^{D}\subseteq \langle P_{1},\ldots ,P_{n}\rangle ,}$$ dónde${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1}$es el título de Macaulay, y${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$es el ideal homogéneo máximo. Esto implica que${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$no tienen otro cero común que el único cero común, (0, ..., 0) , de${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$

Dado que el cálculo de una resultante puede reducirse al cálculo de determinantes y máximos comunes divisores de polinomios , existen algoritmos para calcular resultantes en un número finito de pasos.

Sin embargo, el resultante genérico es un polinomio de grado muy alto (exponencial en n ) que depende de un gran número de indeterminadas. Por consiguiente, salvo para valores muy pequeños de n y grados muy pequeños de los polinomios de entrada, el resultante genérico es, en la práctica, imposible de calcular, incluso con ordenadores modernos. Además, el número de monomios del resultante genérico es tan elevado que, si fuera computable, el resultado no podría almacenarse en los dispositivos de memoria disponibles, incluso para valores relativamente pequeños de n y de los grados de los polinomios de entrada.

Por lo tanto, calcular la resultante solo tiene sentido para polinomios cuyos coeficientes pertenecen a un cuerpo o son polinomios en pocas indeterminadas sobre un cuerpo.

En el caso de polinomios de entrada con coeficientes en un campo, el valor exacto del resultante rara vez es importante; solo importa si es igual o no a cero. Como el resultante es cero si y solo si el rango de la matriz de Macaulay es menor que el número de sus filas, esta igualdad a cero puede comprobarse aplicando la eliminación gaussiana a la matriz de Macaulay. Esto proporciona una complejidad computacional .${\displaystyle d^{O(n)},}$donde d es el grado máximo de los polinomios de entrada.

Otro caso en el que el cálculo del resultante puede proporcionar información útil es cuando los coeficientes de los polinomios de entrada son polinomios en un pequeño número de indeterminadas, a menudo llamadas parámetros. En este caso, el resultante, si no es cero, define una hipersuperficie en el espacio de parámetros . Un punto pertenece a esta hipersuperficie si y solo si existen valores de${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$que, junto con las coordenadas del punto, son un cero de los polinomios de entrada. En otras palabras, el resultante es el resultado de la " eliminación " de${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$a partir de los polinomios de entrada.

El resultante de Macaulay proporciona un método, llamado " resultante U " por Macaulay, para resolver sistemas de ecuaciones polinómicas .

Dados n − 1 polinomios homogéneos${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1},}$de grados${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n-1},}$en n indeterminados${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$Sobre un cuerpo k , su U -resultante es la resultante de los n polinomios.${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1},P_{n},}$dónde $${\displaystyle P_{n}=u_{1}x_{1}+\cdots +u_{n}x_{n}}$$ es la forma lineal genérica cuyos coeficientes son nuevas indeterminadas${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}.}$Notación${\displaystyle u_{i}}$o${\displaystyle U_{i}}$para estos coeficientes genéricos es tradicional, y es el origen del término U- resultante.

El U resultante es un polinomio homogéneo en${\displaystyle k[u_{1},\ldots ,u_{n}].}$Es cero si y solo si los ceros comunes de${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1}}$forman un conjunto algebraico proyectivo de dimensión positiva (es decir, existen infinitos ceros proyectivos sobre una extensión algebraicamente cerrada de k ). Si el U -resultante no es cero, su grado es la cota de Bézout.${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n-1}.}$ El U -resultante se factoriza sobre una extensión algebraicamente cerrada de k en un producto de formas lineales. Si${\displaystyle \alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n}}$es un factor lineal, entonces${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$son las coordenadas homogéneas de un cero común de${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1}.}$Además, cada cero común puede obtenerse a partir de uno de estos factores lineales, y la multiplicidad como factor es igual a la multiplicidad de intersección de los mismos.${\displaystyle P_{i}}$en este cero. En otras palabras, el U -resultante proporciona una versión completamente explícita del teorema de Bézout .