Sistema multifractal

Un sistema multifractal es una generalización de un sistema fractal en el que un solo exponente (la dimensión fractal ) no es suficiente para describir su dinámica; en su lugar, se necesita un espectro continuo de exponentes (el llamado espectro de singularidades ). ^{[ 1 ]}

Los sistemas multifractales son comunes en la naturaleza. Incluyen la longitud de las costas , la topografía de las montañas, ^{[ 2 ]} la turbulencia completamente desarrollada , las series temporales de luminosidad natural, ^{[ 3 ]} y escenas del mundo real. ^{[ 4 ]} Se han propuesto modelos en diversos contextos que van desde la turbulencia en la dinámica de fluidos hasta el tráfico de internet, las finanzas, el modelado de imágenes, la síntesis de texturas, la meteorología, la geofísica y más. El origen de la multifractalidad en datos secuenciales (series temporales) se ha atribuido a efectos de convergencia matemática relacionados con el teorema del límite central que tienen como focos de convergencia la familia de distribuciones estadísticas conocidas como modelos de dispersión exponencial de Tweedie , ^{[ 5 ]} así como los modelos geométricos de Tweedie. ^{[ 6 ]} El primer efecto de convergencia produce secuencias monofractales, y el segundo efecto de convergencia es responsable de la variación en la dimensión fractal de las secuencias monofractales. ^{[ 7 ]}

El análisis multifractal se utiliza para investigar conjuntos de datos, a menudo junto con otros métodos de análisis fractal y de lacunaridad . La técnica implica distorsionar conjuntos de datos extraídos de patrones para generar espectros multifractales que ilustran cómo varía la escala en el conjunto de datos. El análisis multifractal se ha utilizado para descifrar las reglas de generación y las funcionalidades de redes complejas. ^{[ 8 ]} Las técnicas de análisis multifractal se han aplicado en diversas situaciones prácticas, como la predicción de terremotos y la interpretación de imágenes médicas. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

En un sistema multifractal , el comportamiento alrededor de cualquier punto se describe mediante una ley de potencia local :${\displaystyle s}$

${\displaystyle s({\vec {x}}+{\vec {a}})-s({\vec {x}})\sim a^{h({\vec {x}})}.}$

El exponente se llama exponente de singularidad , ya que describe el grado local de singularidad o regularidad alrededor del punto . ^{[ 12 ]}${\displaystyle h({\vec {x}})}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

El conjunto formado por todos los puntos que comparten el mismo exponente de singularidad se llama variedad de singularidad de exponente h , y es un conjunto fractal de dimensión fractal el espectro de singularidad. La curva versus se llama espectro de singularidad y describe completamente la distribución estadística de la variable .${\displaystyle D(h):}$${\displaystyle D(h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle s}$

En la práctica, el comportamiento multifractal de un sistema físico no se caracteriza directamente por su espectro de singularidades . Más bien, el análisis de datos permite acceder a los exponentes de multiescalamiento . De hecho, las señales multifractales generalmente obedecen una propiedad de invariancia de escala que produce comportamientos de ley de potencias para cantidades multirresolución, dependiendo de su escala . Dependiendo del objeto de estudio, estas cantidades multirresolución, denotadas por , pueden ser promedios locales en cajas de tamaño , gradientes sobre la distancia , coeficientes de ondículas a escala , etc. Para objetos multifractales, se suele observar un escalamiento global de ley de potencias de la forma:${\displaystyle X}$${\displaystyle D(h)}$${\displaystyle \zeta (q),\ q\in {\mathbb {R} }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle T_{X}(a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \langle T_{X}(a)^{q}\rangle \sim a^{\zeta (q)}\ }$

al menos en cierto rango de escalas y para cierto rango de órdenes . Cuando se observa tal comportamiento, se habla de invariancia de escala, autosimilitud o multiescalamiento. ^{[ 13 ]}${\displaystyle q}$

Utilizando el formalismo multifractal , se puede demostrar que, bajo ciertas suposiciones adecuadas, existe una correspondencia entre el espectro de singularidades y los exponentes de multiescalamiento mediante una transformada de Legendre . Si bien la determinación de requiere un análisis local exhaustivo de los datos, lo que resultaría en cálculos difíciles y numéricamente inestables, la estimación de se basa en el uso de promedios estadísticos y regresiones lineales en diagramas logarítmicos. Una vez conocidos los , se puede deducir una estimación de gracias a una simple transformada de Legendre.${\displaystyle D(h)}$${\displaystyle \zeta (q)}$${\displaystyle D(h)}$${\displaystyle \zeta (q)}$${\displaystyle \zeta (q)}$${\displaystyle D(h),}$

Los sistemas multifractales suelen modelarse mediante procesos estocásticos, como las cascadas multiplicativas . Estos procesos se interpretan estadísticamente, ya que caracterizan la evolución de las distribuciones a medida que la escala se reduce. Esta evolución se denomina a menudo intermitencia estadística y revela una desviación de los modelos gaussianos .${\displaystyle \zeta (q)}$${\displaystyle T_{X}(a)}$${\displaystyle a}$

El modelado como una cascada multiplicativa también conduce a la estimación de propiedades multifractales. ^{[ 14 ]} Este método funciona razonablemente bien, incluso para conjuntos de datos relativamente pequeños. Un ajuste de máxima verosimilitud de una cascada multiplicativa al conjunto de datos no solo estima el espectro completo, sino que también proporciona estimaciones razonables de los errores. ^{[ 15 ]}

Los espectros multifractales se pueden determinar a partir del conteo de cajas en imágenes digitales. Primero, se realiza un escaneo de conteo de cajas para determinar cómo se distribuyen los píxeles; luego, esta "distribución de masa" se convierte en la base para una serie de cálculos. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} La idea principal es que para los multifractales, la probabilidad de que un número de píxeles aparezca en una caja varía como el tamaño de la caja , a un cierto exponente , que cambia a lo largo de la imagen, como en la Ec.0.0 ( NB : Para los monofractales, en cambio, el exponente no cambia significativamente a lo largo del conjunto). se calcula a partir de la distribución de píxeles del conteo de cajas como en la Ec.2.0 .${\displaystyle P}$${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \epsilon }$= una escala arbitraria ( tamaño de la caja en el conteo de cajas) en la que se examina el conjunto

${\displaystyle i}$= el índice para cada caja colocada sobre el conjunto para un${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle m_{[i,\epsilon ]}}$= el número de píxeles o masa en cualquier caja, , a tamaño${\displaystyle i}$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle N_{\epsilon }}$= el total de cuadros que contenían más de 0 píxeles, para cada${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle P}$se utiliza para observar cómo se comporta la distribución de píxeles cuando se distorsiona de ciertas maneras como en las ecuaciones 3.0 y 3.1 :

${\displaystyle Q}$= un rango arbitrario de valores para usar como exponentes para distorsionar el conjunto de datos

• Cuando , la ecuación 3.0 es igual a 1, la suma habitual de todas las probabilidades, y cuando , cada término es igual a 1, por lo que la suma es igual al número de cajas contadas, .${\displaystyle Q=1}$${\displaystyle Q=0}$${\displaystyle N_{\epsilon }}$

Estas ecuaciones de distorsión se utilizan además para analizar cómo se comporta el conjunto cuando se escala, se resuelve o se divide en una serie de piezas de tamaño y se distorsiona por Q, para encontrar diferentes valores para la dimensión del conjunto, como se muestra a continuación:${\displaystyle \epsilon }$

• Una característica importante de la ecuación 3.0 es que también se puede observar que varía según la escala elevada al exponente en la ecuación 4.0 :${\displaystyle \tau }$

Por lo tanto, se puede encontrar una serie de valores para a partir de las pendientes de la línea de regresión para el logaritmo de la ecuación 3.0 frente al logaritmo de para cada , basándose en la ecuación 4.1 :${\displaystyle \tau _{(Q)}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle Q}$

• Para la dimensión generalizada:

• ${\displaystyle \alpha _{(Q)}}$se estima como la pendiente de la línea de regresión para versus donde:${\displaystyle \log {A_{\epsilon ,Q}}}$${\displaystyle \log {\epsilon }}$

• Entonces se obtiene de la ecuación 5.3 .${\displaystyle f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$

• La media se estima como la pendiente de la línea de regresión log-log para versus , donde:${\displaystyle \tau _{(Q)}}$${\displaystyle \tau _{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}$${\displaystyle \epsilon }$

En la práctica, la distribución de probabilidad depende de cómo se muestrea el conjunto de datos, por lo que se han desarrollado algoritmos de optimización para garantizar un muestreo adecuado. ^{[ 16 ]}

El análisis multifractal se ha utilizado con éxito en muchos campos, incluyendo las ciencias físicas, ^{[ 19 ] [ 20 ]} de la información y biológicas. ^{[ 21 ]} Por ejemplo, la cuantificación de patrones de fisuras residuales en la superficie de muros de corte de hormigón armado. ^{[ 22 ]}

Análisis de distorsión de conjuntos de datos

El análisis multifractal se ha utilizado en varios campos científicos para caracterizar diversos tipos de conjuntos de datos. ^{[ 23 ]} En esencia, el análisis multifractal aplica un factor de distorsión a los conjuntos de datos extraídos de patrones, para comparar cómo se comportan los datos en cada distorsión. Esto se hace utilizando gráficos conocidos como espectros multifractales , análogos a ver el conjunto de datos a través de una "lente de distorsión", como se muestra en la ilustración . ^{[ 16 ]} En la práctica se utilizan varios tipos de espectros multifractales.

D _Q contra Q

Un espectro multifractal práctico es la gráfica de D _Q frente a Q, donde D _Q es la dimensión generalizada de un conjunto de datos y Q es un conjunto arbitrario de exponentes. La expresión dimensión generalizada se refiere, por lo tanto, a un conjunto de dimensiones para un conjunto de datos (los cálculos detallados para determinar la dimensión generalizada mediante el conteo de cajas se describen más adelante ).

Ordenación dimensional

El patrón general de la gráfica de D _Q vs Q puede usarse para evaluar la escala en un patrón. La gráfica es generalmente decreciente, sigmoidal alrededor de Q=0, donde D _(Q=0) ≥ D _(Q=1) ≥ D _(Q=2) . Como se ilustra en la figura , la variación en este espectro gráfico puede ayudar a distinguir patrones. La imagen muestra espectros D _(Q) de un análisis multifractal de imágenes binarias de conjuntos no-, mono- y multifractales. Como es el caso en las imágenes de muestra, los no- y monofractales tienden a tener espectros D _(Q) más planos que los multifractales.

La dimensión generalizada también proporciona información específica importante. D _(Q=0) es igual a la dimensión de capacidad , que —en el análisis mostrado en las figuras aquí— es la dimensión de conteo de cajas . D _(Q=1) es igual a la dimensión de información , y D _(Q=2) a la dimensión de correlación . Esto se relaciona con el "multi" en multifractal, donde los multifractales tienen múltiples dimensiones en los espectros D _(Q) versus Q, pero los monofractales permanecen bastante planos en esa área. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

f(α) frente a α

Otro espectro multifractal útil es la gráfica de versus (ver cálculos ). Estas gráficas generalmente alcanzan un máximo que se aproxima a la dimensión fractal en Q=0, y luego descienden. Al igual que los espectros D _Q versus Q, también muestran patrones típicos útiles para comparar patrones no fractales, monofractales y multifractales. En particular, para estos espectros, los no fractales y monofractales convergen en ciertos valores, mientras que los espectros de patrones multifractales suelen formar picos en un área más amplia.${\displaystyle f(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$

• Curva de De Rham : curva fractal continua obtenida como imagen del espacio de Cantor. 
• Movimiento browniano fraccional : concepto de teoría de la probabilidad 
• Análisis de fluctuación sin tendencia : método para detectar la escala de ley de potencias en series temporales. 
• Distribuciones de Tweedie – Familia de distribuciones de probabilidad Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento
• Multifractal con conmutación de Markov

• Falconer, Kenneth J. (2014). «17. Medidas multifractales». Geometría fractal: fundamentos matemáticos y aplicaciones (3.ª ed., 1.ª  ed. publicada). Chichester: Wiley. ISBN 978-1-119-94239-9.
• Barabási, A.- L.; Stanley, HE, eds. (1995), "Superficies multiafines" , Conceptos fractales en el crecimiento de superficies , Cambridge: Cambridge University Press, pp. 262–268 , doi : 10.1017/CBO9780511599798.026 , ISBN  978-0-521-48318-6, consultado el 5 de junio de 2024
• G, Evertsz CJ; Mandelbrot, Benoît B. (1992). "Medidas multifractales" (PDF) . Caos y fractales: Nuevas fronteras de la ciencia : 922–953 . Archivado del original (PDF) el 13 de julio de 2023.
• Mandelbrot, Benoît B. (1997). Fractales y escalamiento en finanzas: discontinuidad, concentración, riesgo . Selecta. Nueva York, NY Berlín Heidelberg: Springer. ISBN 978-0-387-98363-9.
• Harte, David (26 de junio de 2001). Multifractales . Chapman and Hall/CRC. doi : 10.1201/9781420036008 . ISBN 978-0-429-12366-5.
• Stanley HE, Meakin P. (1988). "Fenómenos multifractales en física y química" (Revisión) . Nature . 335 (6189): 405– 9. Bibcode : 1988Natur.335..405S . doi : 10.1038/335405a0 . S2CID 4318433 . 
• Arneodo, Alain; Audit, Benjamin; Kestener, Pierre; Roux, Stephane (2008). "Análisis multifractal basado en ondículas" . Scholarpedia . 3 (3): 4103. Bibcode : 2008SchpJ...3.4103A . doi : 10.4249/scholarpedia.4103 . ISSN 1941-6016 . 

• Películas de visualizaciones de multifractales