Curva modular

En teoría de números y geometría algebraica , una curva modular Y (Γ) es una superficie de Riemann , o la curva algebraica correspondiente , construida como un cociente del semiplano superior complejo H por la acción de un subgrupo de congruencia Γ del grupo modular de matrices enteras de 2×2 SL(2, Z ). El término curva modular también puede usarse para referirse a las curvas modulares compactificadas X (Γ), que son compactificaciones obtenidas al agregar un número finito de puntos (llamados cúspides de Γ ) a este cociente (mediante una acción sobre el semiplano superior complejo extendido ). Los puntos de una curva modular parametrizan clases de isomorfismo de curvas elípticas , junto con alguna estructura adicional que depende del grupo Γ. Esta interpretación permite dar una definición puramente algebraica de curvas modulares, sin referencia a números complejos , y, además, demostrar que las curvas modulares se definen sobre el cuerpo de los números racionales Q o sobre un cuerpo ciclotómico Q (ζn ₎ . Este último hecho y sus generalizaciones son de fundamental importancia en la teoría de números.

Definición analítica

El grupo modular SL(2, Z ) actúa sobre el semiplano superior mediante transformaciones lineales fraccionarias . La definición analítica de una curva modular implica la elección de un subgrupo de congruencia Γ de SL(2, Z ), es decir, un subgrupo que contiene el subgrupo de congruencia principal de nivel N para algún entero positivo N , que se define como

\Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N{\text{ y }}b,c\equiv 0\mod N\right\}.

El mínimo de N se llama nivel de Γ . Se puede colocar una estructura compleja en el cociente Γ\ H para obtener una superficie de Riemann no compacta llamada curva modular , y comúnmente denotada Y (Γ).

Curvas modulares compactadas

Una compactificación común de Y (Γ) se obtiene añadiendo un número finito de puntos llamados cúspides de Γ. Específicamente, esto se hace considerando la acción de Γ sobre el semiplano superior complejo extendido H * = H ∪ Q ∪ {∞ }. Introducimos una topología en H * tomando como base:

cualquier subconjunto abierto de H ,
para todo r > 0, el conjunto $\{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Estoy}}(\tau )>r\}$
para todos los enteros coprimos a , c y todo r > 0, la imagen de $\{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Estoy}}(\tau )>r\}$ bajo la acción de

{\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}

donde m y n son enteros tales que an + cm = 1.

Esto convierte a H * en un espacio topológico que es un subconjunto de la esfera de Riemann ^P1( C ) . El grupo Γ actúa sobre el subconjunto Q ∪ {∞ }, dividiéndolo en un número finito de órbitas llamadas cúspides de Γ . Si Γ actúa transitivamente sobre Q ∪ {∞ }, el espacio Γ\ H * se convierte en la compactificación de Alexandroff de Γ\ H . Una vez más, se puede colocar una estructura compleja sobre el cociente Γ\ H *, convirtiéndolo en una superficie de Riemann denotada X (Γ), que ahora es compacta . Este espacio es una compactificación de Y (Γ). ^[¹^]

Ejemplos

Los ejemplos más comunes son las curvas X ( N ), X ₀ ( N ) y X ₁ ( N ) asociadas con los subgrupos Γ( N ), Γ ₀ ( N ) y Γ ₁ ( N ).

La curva modular X (5) tiene género 0: es la esfera de Riemann con 12 cúspides ubicadas en los vértices de un icosaedro regular . El recubrimiento X (5) → X (1) se realiza mediante la acción del grupo icosaédrico sobre la esfera de Riemann. Este grupo es un grupo simple de orden 60 isomorfo a A ₅ y PSL(2, 5).

La curva modular X (7) es la cuártica de Klein de género 3 con 24 cúspides. Puede interpretarse como una superficie con tres asas teselada por 24 heptágonos, con una cúspide en el centro de cada cara. Estos teselados pueden entenderse mediante dibujos infantiles y funciones de Belyi : las cúspides son los puntos que se encuentran sobre ∞ (puntos rojos), mientras que los vértices y centros de las aristas (puntos negros y blancos) son los puntos que se encuentran sobre 0 y 1. El grupo de Galois del recubrimiento X (7) → X (1) es un grupo simple de orden 168 isomorfo a PSL(2, 7) .

Existe un modelo clásico explícito para X ₀ ( N ), la curva modular clásica ; a veces se la denomina curva modular. La definición de Γ( N ) se puede reformular de la siguiente manera: es el subgrupo del grupo modular que es el núcleo de la reducción módulo N . Entonces Γ ₀ ( N ) es el subgrupo mayor de matrices que son triangulares superiores módulo N :

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\},

y Γ ₁ ( N ) es el grupo intermedio definido por:

\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv d\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}.

Estas curvas tienen una interpretación directa como espacios de módulos para curvas elípticas con estructura de nivel y por esta razón juegan un papel importante en la geometría aritmética . La curva modular de nivel N X ( N ) es el espacio de módulos para curvas elípticas con una base para la N - torsión . Para X ₀ ( N ) y X ₁ ( N ), la estructura de nivel es, respectivamente, un subgrupo cíclico de orden N y un punto de orden N . Estas curvas han sido estudiadas en gran detalle y, en particular, se sabe que X ₀ ( N ) puede definirse sobre Q .

Las ecuaciones que definen las curvas modulares son los ejemplos más conocidos de ecuaciones modulares . Los "mejores modelos" pueden ser muy diferentes de los que se derivan directamente de la teoría de funciones elípticas . Los operadores de Hecke pueden estudiarse geométricamente, como correspondencias que conectan pares de curvas modulares.

Existen cocientes de H que son compactos para grupos fuchsianos Γ distintos de los subgrupos del grupo modular; una clase de ellos, construidos a partir de álgebras de cuaterniones, también es de interés en la teoría de números.

Género

El recubrimiento X ( N ) → X (1) es de Galois, con grupo de Galois SL(2, N )/{1, −1}, que es igual a PSL(2, N ) si N es primo. Aplicando la fórmula de Riemann-Hurwitz y el teorema de Gauss-Bonnet , se puede calcular el género de X ( N ). Para un nivel primo p ≥ 5,

-\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D,

donde χ = 2 − 2 g es la característica de Euler , | G | = ( p +1) p ( p −1)/2 es el orden del grupo PSL(2, p ), y D = π − π/2 − π/3 − π/ p es el defecto angular del triángulo esférico (2,3, p ). Esto da como resultado una fórmula

g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5).

Así, X (5) tiene género 0, X (7) tiene género 3 y X (11) tiene género 26. Para p = 2 o 3, se debe tener en cuenta adicionalmente la ramificación, es decir, la presencia de elementos de orden p en PSL(2, Z ), y el hecho de que PSL(2, 2) tiene orden 6, en lugar de 3. Hay una fórmula más complicada para el género de la curva modular X ( N ) de cualquier nivel N que involucra divisores de N.

Género cero

En general, un campo de funciones modular es un campo de funciones de una curva modular (o, ocasionalmente, de algún otro espacio de módulos que resulta ser una variedad irreducible ). El género cero significa que dicho campo de funciones tiene una única función trascendental como generador: por ejemplo, la función j genera el campo de funciones de X (1) = PSL(2, Z )\ H *. El nombre tradicional para dicho generador, que es único salvo una transformación de Möbius y puede normalizarse adecuadamente, es Hauptmodul ( función modular principal , plural Hauptmoduln ) .

Los espacios X ₁ ( n ) tienen género cero para n = 1, ..., 10 y n = 12. Dado que cada una de estas curvas está definida sobre Q y tiene un punto Q -racional, se deduce que hay infinitos puntos racionales en cada una de estas curvas y, por lo tanto, infinitas curvas elípticas definidas sobre Q con n -torsión para estos valores de n . La afirmación recíproca, que solo pueden darse estos valores de n , es el teorema de torsión de Mazur .

X ₀ ( N ) del género uno

Las curvas modulares $\textstyle X_{0}(N)$ son de género uno si y solo si $\textstyle N$ es igual a uno de los 12 valores enumerados en la siguiente tabla. ^{[ 2 ]} A medida que las curvas elípticas sobre $\mathbb {Q}$ Tienen modelos Weierstrass mínimos e integrales. $y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$ . Esto es, $\textstyle a_{j}\in \mathbb {Z}$ y el valor absoluto del discriminante $\Delta$ es mínimo entre todos los modelos integrales de Weierstrass para la misma curva. La siguiente tabla contiene los únicos modelos reducidos , mínimos e integrales de Weierstrass, lo que significa $\textstyle a_{1},a_{3}\in \{0,1\}$ y $\textstyle a_{2}\in \{-1,0,1\}$ . ^{[ 3 ]} La última columna de esta tabla se refiere a la página principal de la curva modular elíptica correspondiente. $\textstyle X_{0}(N)$ en la base de datos de funciones L y formas modulares (LMFDB) .

Relación con el grupo Monstruo

Las curvas modulares de género 0, que son bastante raras, resultaron ser de suma importancia en relación con las conjeturas del monstruo de la luz de la luna . Los primeros coeficientes de las expansiones q de su Hauptmoduln se calcularon ya en el siglo XIX, pero fue sorprendente que esos mismos enteros grandes aparecieran como dimensiones de las representaciones del grupo simple esporádico más grande, Monster.

Otra conexión es que la curva modular correspondiente al normalizador Γ ₀ ( p ) ⁺ de Γ ₀ ( p ) en SL(2, R ) tiene género cero si y solo si p es 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 o 71, y estos son precisamente primos supersingulares en la teoría del aguardiente , es decir, los factores primos del orden del grupo monstruoso . El resultado sobre Γ ₀ ( p ) ⁺ se debe a Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg y John G. Thompson en la década de 1970, y la observación posterior que lo relaciona con el grupo monstruoso se debe a Ogg, quien escribió un artículo ofreciendo una botella de whisky Jack Daniel's a cualquiera que pudiera explicar este hecho, que fue un punto de partida para la teoría del aguardiente monstruoso. ^{[ 4 ]}

La relación es muy profunda y, como demostró Richard Borcherds , también involucra álgebras generalizadas de Kac-Moody . El trabajo en esta área subrayó la importancia de las funciones modulares que son meromorfas y pueden tener polos en las cúspides, en contraposición a las formas modulares , que son holomorfas en todas partes, incluidas las cúspides, y que habían sido los principales objetos de estudio durante la mayor parte del siglo XX.

Véase también

Teorema de Manin-Drinfeld
Módulos apilados de curvas elípticas
Teorema de modularidad
Variedad Shimura , una generalización de las curvas modulares a dimensiones superiores.

Referencias

^ Serre, Jean-Pierre (1977), Curso de aritmética , Le Mathématicien, vol. 2 (2ª ed.), Prensas Universitarias de Francia
↑ Birch, Bryan; Kuyk, Willem, eds. (1975). Funciones modulares de una variable IV . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 476. Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. p. 79. ISBN 3-540-07392-2.
^ Ligozat, Gerard (1975). "Courbes modulares de género 1" (PDF) . Boletín de la Société Mathématique de France . 43 : 44-45 . Consultado el 6 de noviembre de 2022 .
↑ Ogg (1974)

Steven D. Galbraith - Ecuaciones para curvas modulares

Shimura, Goro (1994) [1971], Introducción a la teoría aritmética de las funciones automorfas , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, vol. 11, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08092-5, MR 1291394 , Conferencias en memoria de Kanô, 1 {{citation}}: CS1 mantenimiento: postscript ( enlace )
Panchishkin, AA; Parshin, AN , "Curva modular" , Enciclopedia de Matemáticas , ISBN 1-4020-0609-8{{citation}}: CS1 mantenimiento: parámetro de trabajo con ISBN ( enlace )
Ogg, Andrew P. (1974), "Automorphismes de courbes modulares" (PDF) , Seminario Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres, tomo 16, núm. 1 (1974-1975), exp. No. 7 (en francés), SEÑOR 0417184

[1] Serre, Jean-Pierre (1977), Curso de aritmética , Le Mathématicien, vol. 2 (2ª ed.), Prensas Universitarias de Francia

[2] Birch, Bryan; Kuyk, Willem, eds. (1975). Funciones modulares de una variable IV . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 476. Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. p. 79. ISBN 3-540-07392-2.

[3] Ligozat, Gerard (1975). "Courbes modulares de género 1" (PDF) . Boletín de la Société Mathématique de France . 43 : 44-45 . Consultado el 6 de noviembre de 2022 .

[4] Ogg (1974)

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