subgrupo de congruencia

Si${\displaystyle n\geqslant 1}$es un número entero, hay un homomorfismo${\displaystyle \pi _{n}:\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$inducido por el módulo de reducción${\displaystyle n}$morfismo​${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$⁠ . El subgrupo de congruencia principal de nivel${\displaystyle n}$en${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$es el núcleo de${\displaystyle \pi _{n}}$⁠ , y se suele denotar ⁠${\displaystyle \Gamma (n)}$Se describe explícitamente de la siguiente manera :

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d\equiv 1{\pmod {n}},\quad b,c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

Esta definición implica inmediatamente que${\displaystyle \Gamma (n)}$es un subgrupo normal de índice finito en${\displaystyle \Gamma }$⁠ . El teorema de aproximación fuerte (en este caso una consecuencia sencilla del teorema chino del resto ) implica que${\displaystyle \pi _{n}}$es sobreyectiva, de modo que el cociente${\displaystyle \Gamma /\Gamma (n)}$es isomorfo a ⁠${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$Calcular el orden de este grupo finito produce la siguiente fórmula para el índice :

${\displaystyle [\Gamma$ :\Gamma (n)]=n^{3}\cdot \prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}

donde el producto se toma sobre todos los números primos dividiendo ⁠${\displaystyle n}$⁠ .

Si${\displaystyle n\geqslant 3}$entonces la restricción de${\displaystyle \pi _{n}}$a cualquier subgrupo finito de${\displaystyle \Gamma }$es inyectiva. Esto implica el siguiente resultado:

Si${\displaystyle n\geqslant 3}$luego los subgrupos de congruencia principales${\displaystyle \Gamma (n)}$son libres de torsión .

El grupo${\displaystyle \Gamma (2)}$contiene${\displaystyle -\operatorname {Id} }$y no es libre de torsión. Por otro lado, su imagen en${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$es libre de torsión, y el cociente del plano hiperbólico por este subgrupo es una esfera con tres cúspides.

Un subgrupo${\displaystyle H}$en${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ se denomina subgrupo de congruencia si existe${\displaystyle n\geqslant 1}$de tal manera que${\displaystyle H}$contiene el subgrupo de congruencia principal${\displaystyle \Gamma (n)}$⁠ . El nivel${\displaystyle l}$de${\displaystyle H}$es entonces el más pequeño de tales${\displaystyle n}$⁠ .

De esta definición se deduce que:

• Los subgrupos de congruencia tienen un índice finito en ⁠${\displaystyle \Gamma }$;​
• Los subgrupos de congruencia de nivel${\displaystyle \ell }$están en correspondencia uno a uno con los subgrupos de ⁠${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )}$⁠ .

El subgrupo${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$⁠ , a veces llamado subgrupo de congruencia de Hecke de nivel ⁠${\displaystyle n}$⁠ , se define como la preimagen por${\displaystyle \pi _{n}}$del grupo de matrices triangulares superiores. Es decir,

${\displaystyle \Gamma _{0}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

El índice viene dado por la fórmula:

${\displaystyle [\Gamma$ :\Gamma _{0}(n)]=n\cdot \prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}

donde el producto se toma sobre todos los números primos dividiendo ⁠${\displaystyle n}$⁠ . Si${\displaystyle p}$es primo entonces${\displaystyle \Gamma /\Gamma _{0}(p)}$está en biyección natural con la recta proyectiva sobre el cuerpo finito .${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$⁠ , y representantes explícitos para las clases laterales (izquierda o derecha) de${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$en${\displaystyle \Gamma }$son las siguientes matrices:

${\displaystyle \operatorname {Id} ,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}1&0\\p-1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Los subgrupos${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$Nunca están libres de torsión, ya que siempre contienen la matriz .${\displaystyle -I}$⁠ . Hay infinitas${\displaystyle n}$de tal manera que la imagen de${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$en${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$También contiene elementos de torsión.

El subgrupo${\displaystyle \Gamma _{1}(n)}$es la preimagen del subgrupo de matrices unipotentes:

${\displaystyle \Gamma _{1}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :a,d\equiv 1{\pmod {n}},c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

Sus índices vienen dados por la fórmula:

${\displaystyle [\Gamma$ :\Gamma _{1}(n)]=n^{2}\cdot \prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}

El subgrupo theta${\displaystyle \Lambda }$es el subgrupo de congruencia de${\displaystyle \Gamma }$definido como la preimagen del grupo cíclico de orden dos generado por${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$. Es de índice 3 y se describe explícitamente por: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Lambda =\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :ac\equiv 0{\pmod {2}},bd\equiv 0{\pmod {2}}\right\}.}$

Estos subgrupos satisfacen las siguientes inclusiones :${\displaystyle \Gamma (n)\subset \Gamma _{1}(n)\subset \Gamma _{0}(n)}$⁠ , así como ⁠${\displaystyle \Gamma (2)\subset \Lambda }$⁠ .

Los subgrupos de congruencia del grupo modular y las superficies de Riemann asociadas se distinguen por algunas propiedades geométricas y topológicas particularmente interesantes. He aquí un ejemplo:

• Solo hay un número finito de recubrimientos de congruencia de la superficie modular que tienen género cero; ^{[ 3 ]}
• ( Teorema 3/16 de Selberg ) Si${\displaystyle f}$es una autofunción no constante del operador de Laplace-Beltrami en una cubierta de congruencia de la superficie modular con autovalor${\displaystyle \lambda }$entonces​${\displaystyle \lambda \geqslant {\tfrac {3}{16}}}$⁠ .

También existe una colección de operadores distinguidos llamados operadores de Hecke sobre funciones suaves en recubrimientos de congruencia, que conmutan entre sí y con el operador de Laplace-Beltrami y son diagonalizables en cada espacio propio de este último. Sus autofunciones comunes son un ejemplo fundamental de formas automorfas . Otras formas automorfas asociadas a estos subgrupos de congruencia son las formas modulares holomorfas, que pueden interpretarse como clases de cohomología en las superficies de Riemann asociadas mediante el isomorfismo de Eichler-Shimura .

El normalizador${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$de${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$en${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$Se ha investigado; un resultado de la década de 1970, debido a Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg y John G. Thompson, es que la curva modular correspondiente (la superficie de Riemann resultante de tomar el cociente del plano hiperbólico por ⁠${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$⁠ ) ​​tiene género cero (es decir, la curva modular es una esfera de Riemann) si y solo si ⁠${\displaystyle p}$⁠ es 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 o 71. Cuando Ogg más tarde se enteró del grupo de monstruos , notó que estos eran precisamente los factores primos del tamaño de ⁠${\displaystyle M}$, redactó un artículo ofreciendo una botella de whisky Jack Daniel's a cualquiera que pudiera explicar este hecho; este fue un punto de partida para la teoría del aguardiente monstruoso , que explica las profundas conexiones entre la teoría de la función modular y el grupo de monstruos.

La noción de grupo aritmético es una vasta generalización basada en el ejemplo fundamental de${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$En general, para dar una definición se necesita un grupo algebraico semisimple.${\displaystyle \mathbf {G} }$definido sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$y una representación fiel${\displaystyle \rho }$⁠ , también definido sobre ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ , de${\displaystyle \mathbf {G} }$en​${\displaystyle \mathrm {GL} _{d}}$⁠ ; entonces un grupo aritmético en${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$es cualquier grupo${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$que es de índice finito en el estabilizador de una subred de índice finito en ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$⁠ .

Dejar${\displaystyle \Gamma }$sea ​​un grupo aritmético: por simplicidad es mejor suponer que${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$⁠ . Como en el caso de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$Existen morfismos de reducción .${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma \to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$⁠ . Podemos definir un subgrupo de congruencia principal de${\displaystyle \Gamma }$ser el núcleo de${\displaystyle \pi _{n}}$(que puede depender a priori de la representación )${\displaystyle \rho }$⁠ ), y un subgrupo de congruencia de${\displaystyle \Gamma }$Se trata de cualquier subgrupo que contiene un subgrupo de congruencia principal (una noción que no depende de una representación). Son subgrupos de índice finito que corresponden a los subgrupos de los grupos finitos .${\displaystyle \pi _{n}(\Gamma )}$y se define el nivel.

Los principales subgrupos de congruencia de${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$son los subgrupos${\displaystyle \Gamma (n)}$dado por:

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{(a_{ij})\in \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} ):\forall i\,a_{ii}\equiv 1{\pmod {n}},\,\forall i\neq j\,a_{ij}\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

Los subgrupos de congruencia corresponden entonces a los subgrupos de${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$.

Otro ejemplo de grupo aritmético lo dan los grupos${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O)}$dónde${\displaystyle O}$es el anillo de enteros en un campo numérico , por ejemplo${\displaystyle O=\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}$⁠ . Entonces si${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es un ideal primo que divide un ideal primo racional${\displaystyle p}$los subgrupos${\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {p}})}$Ese es el núcleo del mod de mapa de reducción${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es un subgrupo de congruencia ya que contiene el subgrupo de congruencia principal definido por reducción módulo ⁠${\displaystyle p}$⁠ .

Otro grupo aritmético son los grupos modulares de Siegel .${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$⁠ , definido por:

${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )=\left\{\gamma \in \mathrm {GL} _{2g}(\mathbb {Z} ):\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\right\}.}$

Tenga en cuenta que si${\displaystyle g=1}$entonces​${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$⁠ . El subgrupo theta${\displaystyle \Gamma _{\vartheta }^{(n)}}$de${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$es el conjunto de todos${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$de tal manera que ambos${\displaystyle AB^{\top }}$y${\displaystyle CD^{\top }}$tienen entradas diagonales pares. ^{[ 4 ]}

La familia de subgrupos de congruencia en un grupo aritmético dado${\displaystyle \Gamma }$siempre tiene la propiedad ( τ ) de Lubotzky – Zimmer. ^{[ 5 ]} Esto puede tomarse como que la constante de Cheeger de la familia de sus grafos de clases laterales de Schreier (con respecto a un conjunto generador fijo para ⁠${\displaystyle \Gamma }$) está uniformemente acotado lejos de cero, en otras palabras son una familia de grafos expansores . También hay una interpretación teórica de la representación: si${\displaystyle \Gamma }$es una red en un grupo de Lie${\displaystyle G}$⁠ entonces la propiedad ( τ ) es equivalente a las representaciones unitarias no trivialesde ⁠${\displaystyle G}$que ocurren en los espacios${\displaystyle L^{2}(G/\Gamma )}$estando acotado lejos de la representación trivial (en la topología de Fell sobre el dual unitario de ⁠${\displaystyle G}$⁠ ). La propiedad ( τ ) es un debilitamiento de la propiedad (T) de Kazhdan que implica que la familia de todos los subgrupos de índice finito tiene la propiedad ( τ ).

Si${\displaystyle \mathbf {G} }$es un${\displaystyle \mathbb {Q} }$-grupo y${\displaystyle S=\{p_{1},\ldots ,p_{r}\}}$es un conjunto finito de números primos, un${\displaystyle S}$-subgrupo aritmético de${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$se define como un subgrupo aritmético pero usando${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$en lugar de${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ . El ejemplo fundamental es ⁠${\displaystyle \operatorname {SL} _{d}(\mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$⁠ .

Dejar${\displaystyle \Gamma _{S}}$frijol${\displaystyle S}$-grupo aritmético en un grupo algebraico${\displaystyle \mathbf {G} \subset \operatorname {GL} _{d}}$⁠ . Si${\displaystyle n}$es un número entero no divisible por ningún número primo en${\displaystyle S}$⁠ , entonces todos los primos${\displaystyle p_{i}}$son invertibles módulo${\displaystyle n}$y de ello se deduce que existe un morfismo .${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma _{S}\to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$⁠ . Por lo tanto, es posible definir subgrupos de congruencia en ⁠${\displaystyle \Gamma _{S}}$⁠ , cuyo nivel es siempre coprimo con todos los números primos en ⁠${\displaystyle S}$⁠ .

Subgrupos de congruencia en${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$son subgrupos de índice finito: es natural preguntarse si dan cuenta de todos los subgrupos de índice finito en${\displaystyle \Gamma }$La respuesta es un rotundo "no". Este hecho ya era conocido por Felix Klein y existen muchas maneras de demostrar la existencia de numerosos subgrupos de índice finito no congruentes. Por ejemplo :

1. El grupo simple en la serie de composición de un cociente${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$, donde${\displaystyle \Gamma '}$es un subgrupo de congruencia normal, debe ser un grupo simple de tipo Lie (o cíclico), de hecho uno de los grupos${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{p})}$para un número primo${\displaystyle p}$⁠ . Pero por cada${\displaystyle m}$existen subgrupos de índice finito${\displaystyle \Gamma '\subset \Gamma }$de tal manera que${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$es isomorfo al grupo alternante${\displaystyle A_{m}}$(Por ejemplo${\displaystyle \Gamma (2)}$sobreyecciones en cualquier grupo con dos generadores, en particular en todos los grupos alternantes, y los núcleos de estos morfismos dan un ejemplo). Estos grupos, por lo tanto, deben ser no congruentes.
2. Hay una sobreyección .${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} }$; para${\displaystyle m}$lo suficientemente grande el núcleo de${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$debe ser no congruente (una forma de ver esto es que la constante de Cheeger del gráfico de Schreier tiende a 0; también hay una demostración algebraica simple en el espíritu del punto anterior).
3. El número${\displaystyle c_{N}}$de subgrupos de congruencia en${\displaystyle \Gamma }$índice${\displaystyle N}$satisface​${\displaystyle \log c_{N}=O\left((\log N)^{2}/\log \log N\right)}$⁠ . Por otro lado, el número${\displaystyle a_{N}}$de subgrupos de índice finito de índice${\displaystyle N}$en${\displaystyle \Gamma }$satisface​${\displaystyle N\log N=O(\log a_{N})}$⁠ , por lo que la mayoría de los subgrupos de índice finito deben ser no congruentes. ^{[ 6 ]}

Se puede plantear la misma pregunta para cualquier grupo aritmético que para el grupo modular:

Problema ingenuo de subgrupos de congruencia: Dado un grupo aritmético, ¿son todos sus subgrupos de índice finito subgrupos de congruencia?

Este problema puede tener una solución positiva: su origen está en el trabajo de Hyman Bass , Jean-Pierre Serre y John Milnor , y Jens Mennicke, quienes demostraron que, a diferencia del caso de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$, cuando${\displaystyle n\geqslant 3}$todos los subgrupos de índice finito en${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$son subgrupos de congruencia. La solución de Bass – Milnor – Serre involucró un aspecto de la teoría algebraica de números vinculado a la K-teoría . ^{[ 7 ]} Por otro lado, el trabajo de Serre sobre${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}}$Un análisis de los campos numéricos muestra que, en algunos casos, la respuesta a la pregunta ingenua es "no", mientras que una ligera relajación del problema tiene una respuesta positiva. ^{[ 8 ]}

Este nuevo problema se plantea mejor en términos de ciertos grupos topológicos compactos asociados a un grupo aritmético .${\displaystyle \Gamma }$⁠ . Hay una topología en${\displaystyle \Gamma }$para la cual una base de vecindarios del subgrupo trivial es el conjunto de subgrupos de índice finito (la topología profinita ); y hay otra topología definida de la misma manera usando solo subgrupos de congruencia. La topología profinita da lugar a una completación .${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}}$de​​${\displaystyle \Gamma }$⁠ , mientras que la topología de "congruencia" da lugar a otra completitud ⁠${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$⁠ . Ambos son grupos profinitos y existe un morfismo sobreyectivo natural.${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}\to {\overline {\Gamma }}}$(intuitivamente, hay menos condiciones que una sucesión de Cauchy debe cumplir en la topología de congruencia que en la topología profinita). ^{[ 9 ] [ 10 ]} El núcleo de congruencia${\displaystyle C(\Gamma )}$es el núcleo de este morfismo, y el problema del subgrupo de congruencia mencionado anteriormente se reduce a si${\displaystyle C(\Gamma )}$es trivial. El debilitamiento de la conclusión conduce entonces al siguiente problema.

Problema del subgrupo de congruencia: ¿Es el núcleo de congruencia?${\displaystyle C(\Gamma )}$¿finito?

Cuando el problema tiene una solución positiva, se dice que${\displaystyle \Gamma }$tiene la propiedad de subgrupo de congruencia . Una conjetura generalmente atribuida a Serre afirma que un retículo aritmético irreducible en un grupo de Lie semisimple${\displaystyle G}$tiene la propiedad de subgrupo de congruencia si y solo si el rango real de${\displaystyle G}$es al menos 2; por ejemplo, redes en${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$Siempre debería tener la propiedad.

La conjetura de Serre afirma que un retículo en un grupo de Lie de rango uno no debería tener la propiedad de subgrupo de congruencia. Hay tres familias de tales grupos: los grupos ortogonales${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1),d\geqslant 2}$⁠ , los grupos unitarios${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1),d\geqslant 2}$y los grupos${\displaystyle \mathrm {Sp} (d,1),d\geqslant 2}$(los grupos de isometría de una forma sesquilineal sobre los cuaterniones de Hamilton), más el grupo excepcional${\displaystyle F_{4}^{-20}}$(véase Lista de grupos de Lie simples ). El estado actual del problema del subgrupo de congruencia es el siguiente:

• Se sabe que tiene una solución negativa (lo que confirma la conjetura) para todos los grupos.${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1)}$con​${\displaystyle d\neq 7}$⁠ . La demostración utiliza el mismo argumento que 2. en el caso de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$: en el caso general es mucho más difícil construir una sobreyección a ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ , la demostración no es uniforme en absoluto para todos los casos y falla para algunos retículos en dimensión 7 debido al fenómeno de trialidad . ^{[ 11 ] [ 12 ]} En dimensiones 2 y 3 y para algunos retículos en dimensiones superiores también se aplican los argumentos 1 y 3.
• Es conocido por muchas celosías en${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1)}$, pero no todos (de nuevo usando una generalización del argumento 2). ^{[ 13 ]}
• En todos los demás casos, está completamente abierto.

En muchas situaciones donde se espera que el problema del subgrupo de congruencia tenga una solución positiva, se ha demostrado que este es el caso. Aquí hay una lista de grupos algebraicos tales que se sabe que la propiedad del subgrupo de congruencia se cumple para los retículos aritméticos asociados, en caso de que el rango del grupo de Lie asociado (o más generalmente la suma del rango de los reales y ⁠${\displaystyle p}$Factores -ádicos en el caso de${\displaystyle S}$-grupos aritméticos ) es al menos 2: ^{[ 14 ]}

• Cualquier grupo no anisotrópico (esto incluye los casos tratados por Bass – Milnor – Serre, así como${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$es​${\displaystyle \min(p,q)>1}$y muchos otros);
• Cualquier grupo de tipo no${\displaystyle A_{n}}$(por ejemplo, todas las formas anisotrópicas de grupos simplécticos u ortogonales de rango real ⁠${\displaystyle \geqslant 2}$) ;
• Grupos unitarios de formas hermíticas.

Los casos de formas internas y externas de tipo${\displaystyle A_{n}}$siguen abiertos. Los grupos algebraicos en el caso de formas internas de tipo${\displaystyle A_{n}}$son aquellos asociados a los grupos de unidades en álgebras de división simple central; por ejemplo, la propiedad de subgrupo de congruencia no se conoce para retículos en${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$o${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$con cociente compacto. ^{[ 15 ]}