Extensión de Alexandroff

En el campo matemático de la topología , la extensión de Alexandroff es una forma de extender un espacio topológico no compacto mediante la adjunción de un único punto de tal manera que el espacio resultante sea compacto . Recibe su nombre del matemático ruso Pavel Alexandroff . Más precisamente, sea X un espacio topológico. Entonces, la extensión de Alexandroff de X es un cierto espacio compacto X * junto con una inmersión abierta c : X → X * tal que el complemento de X en X * consiste en un único punto, típicamente denotado por ∞. La aplicación c es una compactificación de Hausdorff si y solo si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto y no compacto . Para tales espacios, la extensión de Alexandroff se llama compactificación de un punto o compactificación de Alexandroff . Las ventajas de la compactificación de Alexandroff radican en su estructura simple, a menudo geométricamente significativa, y en el hecho de que es, en un sentido preciso, la mínima entre todas las compactificaciones; La desventaja radica en el hecho de que solo proporciona una compactificación de Hausdorff en la clase de espacios de Hausdorff localmente compactos y no compactos, a diferencia de la compactificación de Stone-Čech que existe para cualquier espacio topológico (pero proporciona una incrustación exactamente para espacios de Tychonoff ).

Ejemplo: proyección estereográfica inversa

Un ejemplo geométricamente atractivo de compactificación de un punto viene dado por la proyección estereográfica inversa . Recordemos que la proyección estereográfica S da un homeomorfismo explícito de la esfera unitaria menos el polo norte (0,0,1) al plano euclidiano. La proyección estereográfica inversa $S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}$ es una incrustación abierta y densa en un espacio compacto de Hausdorff obtenido al adjuntar el punto adicional $\infty =(0,0,1)$ . Bajo la proyección estereográfica, círculos latitudinales $z=c$ se mapean a círculos planos ${\textstyle r={\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ . De ello se deduce que la base de vecindario eliminada de $(0,0,1)$ dado por las tapas esféricas perforadas $c\leq z<1$ corresponde a los complementos de discos planos cerrados ${\textstyle r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ De manera más cualitativa, una base vecinal en $\infty$ está provisto por los conjuntos $S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}$ mientras K recorre los subconjuntos compactos de $\mathbb {R} ^{2}$ Este ejemplo ya contiene los conceptos clave del caso general.

Motivación

Dejar $c:X\hookrightarrow Y$ sea una incrustación de un espacio topológico X a un espacio topológico compacto de Hausdorff Y , con imagen densa y resto de un punto. $\{\infty \}=Y\setminus c(X)$ Entonces c ( X ) es abierto en un espacio de Hausdorff compacto, por lo que es localmente compacto de Hausdorff; por lo tanto, su preimagen homeomorfa X también es localmente compacta de Hausdorff. Además, si X fuera compacto, entonces c ( X ) sería cerrado en Y y, por lo tanto, no denso. Así, un espacio solo puede admitir una compactificación de Hausdorff de un punto si es localmente compacto, no compacto y de Hausdorff. Además, en dicha compactificación de un punto, la imagen de una base de vecindad para x en X da una base de vecindad para c ( x ) en c ( X ), y —debido a que un subconjunto de un espacio de Hausdorff compacto es compacto si y solo si es cerrado— las vecindades abiertas de $\infty$ deben ser todos los conjuntos obtenidos al unirlos $\infty$ a la imagen bajo c de un subconjunto de X con complemento compacto.

La extensión de Alexandroff

Dejar $X$ Sea un espacio topológico. $X^{*}=X\cup \{\infty \},$ y topologiar $X^{*}$ tomando como conjuntos abiertos todos los conjuntos abiertos en X junto con todos los conjuntos de la forma $V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}$ donde C es cerrado y compacto en X. Aquí, $X\setminus C$ denota el complemento de $C$ en $X.$ Tenga en cuenta que $V$ es un vecindario abierto de $\infty ,$ y por lo tanto cualquier cubierta abierta de $\{\infty \}$ contendrá todo excepto un subconjunto compacto $C$ de $X^{*},$ lo que implica que $X^{*}$ es compacto ( Kelley 1975 , p. 150) .

El espacio $X^{*}$ Se denomina extensión de Alexandroff de X (Willard, 19A). A veces se utiliza el mismo nombre para el mapa de inclusión. $c:X\to X^{*}.$

Las propiedades que se describen a continuación se derivan de la discusión anterior:

El mapa c es continuo y abierto: incrusta X como un subconjunto abierto de $X^{*}$ .
El espacio $X^{*}$ es compacto.
La imagen c ( X ) es densa en $X^{*}$ , si X no es compacto.
El espacio $X^{*}$ es Hausdorff si y solo si X es Hausdorff y localmente compacto .
El espacio $X^{*}$ es T ₁ si y solo si X es T ₁ .

La compactificación de un punto

En particular, la extensión de Alexandroff $c:X\rightarrow X^{*}$ es una compactificación de Hausdorff de X si y solo si X es de Hausdorff, no compacta y localmente compacta. En este caso se denomina compactificación de un punto o compactificación de Alexandroff de X.

Recordemos de la discusión anterior que cualquier compactificación de Hausdorff con un resto de un punto es necesariamente (isomorfa a) la compactificación de Alexandroff. En particular, si $X$ es un espacio compacto de Hausdorff y $p$ es un punto límite de $X$ (es decir, no es un punto aislado de $X$ ), $X$ es la compactificación de Alexandroff de $X\setminus \{p\}$ .

Sea X un espacio de Tychonoff no compacto . Bajo el orden parcial natural en el conjunto ${\mathcal {C}}(X)$ De las clases de equivalencia de compactificaciones, cualquier elemento mínimo es equivalente a la extensión de Alexandroff (Engelking, Teorema 3.5.12). De ello se deduce que un espacio de Tychonoff no compacto admite una compactificación mínima si y solo si es localmente compacto.

Compactificaciones de un punto no Hausdorff

Dejar $(X,\tau )$ Sea un espacio topológico no compacto arbitrario. Se puede querer determinar todas las compactificaciones (no necesariamente de Hausdorff) de $X$ obtenido al agregar un solo punto, que también podría llamarse compactificación de un punto en este contexto. Entonces uno quiere determinar todas las formas posibles de dar $X^{*}=X\cup \{\infty \}$ una topología compacta tal que $X$ es denso en él y la topología del subespacio en $X$ inducido por $X^{*}$ es la misma que la topología original. La última condición de compatibilidad en la topología implica automáticamente que $X$ es denso en $X^{*}$ , porque $X$ no es compacto, por lo que no puede cerrarse en un espacio compacto. Además, es un hecho que el mapa de inclusión $c:X\to X^{*}$ es necesariamente una incrustación abierta , es decir, $X$ debe estar abierto en $X^{*}$ y la topología en $X^{*}$ debe contener a todos los miembros de $\tau$ . ^{[ 1 ]} Entonces la topología en $X^{*}$ está determinado por los barrios de $\infty$ Cualquier barrio de $\infty$ es necesariamente el complemento en $X^{*}$ de un subconjunto compacto cerrado de $X$ , como se mencionó anteriormente.

Las topologías en $X^{*}$ que lo convierten en una compactificación de $X$ son los siguientes:

La extensión Alexandroff de $X$ definido anteriormente. Aquí tomamos los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados de $X$ como vecindarios de $\infty$ Esta es la topología más grande que hace $X^{*}$ una compactificación de un punto de $X$ .
La topología de extensión abierta . Aquí agregamos un único vecindario de $\infty$ , es decir, todo el espacio $X^{*}$ . Esta es la topología más pequeña que hace $X^{*}$ una compactificación de un punto de $X$ .
Cualquier topología intermedia entre las dos topologías anteriores. Para vecindarios de $\infty$ uno tiene que elegir una subfamilia adecuada de los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados de $X$ ; por ejemplo, los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados finitos, o los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados numerables.

Otros ejemplos

Compactificaciones de espacios discretos

La compactificación de un punto del conjunto de enteros positivos es homeomorfa al espacio que consiste en K = {0} U {1/ n | n es un entero positivo} con la topología de orden.
Una secuencia $\{a_{n}\}$ en un espacio topológico $X$ converge a un punto $a$ en $X$ , si y solo si el mapa $f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X$ dado por $f(n)=a_{n}$ para $n$ en $\mathbb {N}$ y $f(\infty )=a$ es continuo. Aquí $\mathbb {N}$ tiene la topología discreta .
Los espacios poliádicos se definen como espacios topológicos que son la imagen continua de la potencia de una compactificación de un punto de un espacio de Hausdorff discreto y localmente compacto.

Compactificaciones de espacios continuos

La compactificación de un punto del espacio euclidiano n- dimensional R ⁿ es homeomorfa a la n- esfera S ⁿ . Como se indicó anteriormente, la aplicación se puede expresar explícitamente como una proyección estereográfica inversa n -dimensional.
La compactificación de un punto del producto de $\kappa$ copias del intervalo semicerrado [0,1), es decir, de $[0,1)^{\kappa }$ , es (homeomorfo a) $[0,1]^{\kappa }$ .
Dado que el cierre de un subconjunto conexo es conexo, la extensión de Alexandroff de un espacio conexo no compacto es conexa. Sin embargo, una compactificación de un punto puede "conectar" un espacio disconexo: por ejemplo, la compactificación de un punto de la unión disjunta de un número finito de subconjuntos conexos. $n$ de copias del intervalo (0,1) es una cuña de $n$ círculos .
La compactificación de un punto de la unión disjunta de un número contable de copias del intervalo (0,1) es el pendiente hawaiano . Esto difiere de la cuña formada por un número contable de círculos, que no es compacta.
Dado $X$ Hausdorff compacto y $C$ cualquier subconjunto cerrado de $X$ , la compactificación de un punto de $X\setminus C$ es $X/C$ , donde la barra inclinada hacia adelante denota el espacio cociente . ^{[ 2 ]}
Si $X$ y $Y$ son localmente compactos Hausdorff, entonces $(X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}$ dónde $\wedge$ es el producto de impacto . Recordemos que la definición del producto de impacto es: $A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)$ dónde $A\vee B$ es la suma de cuñas , y de nuevo, / denota el espacio cociente. ^{[ 2 ]}

Como un functor

La extensión de Alexandroff puede verse como un functor de la categoría de espacios topológicos con aplicaciones continuas propias como morfismos a la categoría cuyos objetos son aplicaciones continuas. $c\colon X\rightarrow Y$ y para los cuales los morfismos de $c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}$ a $c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}$ son pares de mapas continuos $f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ de tal manera que $f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\circ f_{X}$ En particular, los espacios homeomorfos tienen extensiones de Alexandroff isomorfas. Esta última es la categoría de flechas de espacios topológicos, a menudo construida como categoría de functores a partir de la categoría de intervalos. ${\textstyle \operatorname {Arr} (\mathrm {Top} )=\operatorname {Func} (\mathrm {I} ,\mathrm {Top} )}$ , donde la categoría de intervalo es la categoría con 2 objetos conectados por una sola flecha.

Véase también

Compactación de Bohr
Espacio compacto – Tipo de espacio matemático
Compactificación (matemáticas) : Incrustar un espacio topológico en un espacio compacto como un subconjunto denso.
Fin (topología)
Recta numérica real extendida : números reales con infinito positivo y negativo añadidos.
Espacio normal – Tipo de espacio topológico
Conjunto punteado : concepto básico en la teoría de conjuntos.
Esfera de Riemann : modelo del plano complejo extendido más un punto en el infinito.
Proyección estereográfica : mapeo particular que proyecta una esfera sobre un plano.
Compactificación de Stone-Čech : concepto en topología
Compactificación de Wallman : una compactificación de espacios topológicos _{T1 .}

Notas

↑ "Topología general – Compactificaciones de un punto no Hausdorff" .
1 2 Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1(Véase el capítulo 11 para la demostración).

Referencias

Alexandroff, Pavel S. (1924), "Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume" , Mathematische Annalen , 92 ( 3– 4): 294– 301, doi : 10.1007/BF01448011 , JFM 50.0128.04 , S2CID 121699713
Brown, Ronald (1973), "Mapas secuencialmente propios y una compactificación secuencial", Journal of the London Mathematical Society , Serie 2, 7 (3): 515– 522, doi : 10.1112/jlms/s2-7.3.515 , Zbl 0269.54015

Engelking, Ryszard (1989), Topología general , Helderman Verlag Berlin , ISBN 978-0-201-08707-9, MR 1039321
Fedorchuk, VV (2001) [1994], "Compactificación de Aleksandrov" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Kelley, John L. (1975), Topología general , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, MR 0370454
Munkres, James (1999), Topología (2.ª ed.), Prentice Hall , ISBN 0-13-181629-2, Zbl 0951.54001
Willard, Stephen (1970), Topología general , Addison-Wesley , ISBN 3-88538-006-4, MR 0264581 , Zbl 0205.26601

[1] "Topología general – Compactificaciones de un punto no Hausdorff" .

[rotman-2] 1 2 Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1(Véase el capítulo 11 para la demostración).

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