lema ddbar

En geometría compleja , el${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$El lema (pronunciado ddbar lema ) es un lema matemático sobre la clase de cohomología de de Rham de una forma diferencial compleja .${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$El lema es un resultado de la teoría de Hodge y las identidades de Kähler en una variedad de Kähler compacta . A veces también se le conoce como el${\displaystyle dd^{c}}$-lema, debido al uso de un operador relacionado${\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}$, siendo la relación entre los dos operadores la siguiente${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}}$y entonces${\displaystyle \alpha =dd^{c}\beta }$. ^{[ 1 ] : 1.17 [ 2 ] : Lem 5.50}

El${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$El lema afirma que si${\displaystyle (X,\omega )}$es un colector Kähler compacto y${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$es una forma diferencial compleja de bigrado (p,q) (con${\displaystyle p,q\geq 1}$) cuya clase${\displaystyle [\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}$es cero en la cohomología de de Rham, entonces existe una forma${\displaystyle \beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$de grado binario (p-1,q-1) tal que

$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta ,}$$

dónde${\displaystyle \partial }$y${\displaystyle {\bar {\partial }}}$son los operadores de Dolbeault de la variedad compleja${\displaystyle X}$. ^{[ 3 ] : Cap. VI Lema 8.6}

El${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$El lema es una consecuencia de la teoría de Hodge aplicada a una variedad de Kähler compacta. ^{[ 3 ] [ 1 ] : 41–44 [ 2 ] : 73–77}

El teorema de Hodge para un complejo elíptico se puede aplicar a cualquiera de los operadores.${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$y respectivamente a sus operadores de Laplace${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$A estos operadores se les pueden definir espacios de formas diferenciales armónicas dados por los núcleos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}_{d}^{k}&=\ker \Delta _{d}:\Omega ^{k}(X)\to \Omega ^{k}(X)\\{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}&=\ker \Delta _{\partial }:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}&=\ker \Delta _ {\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\\end{aligned}}}$$

El teorema de descomposición de Hodge afirma que existen tres descomposiciones ortogonales asociadas a estos espacios de formas armónicas, dadas por

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega ^{k}(X)&={\mathcal {H}}_{d}^{k}\oplus \operatorname {im} d\oplus \operatorname {im} d^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}\oplus \operatorname {im} \partial \oplus \operatorname {im} \partial ^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}}$son los adjuntos formales de${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$con respecto a la métrica riemanniana de la variedad de Kähler, respectivamente. ^{[ 4 ] : Teorema 3.2.8} Estas descomposiciones se cumplen por separado en cualquier variedad compleja compacta. La importancia de que la variedad sea de Kähler radica en que existe una relación entre los laplacianos de${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$y por lo tanto de las descomposiciones ortogonales anteriores. En particular, en una variedad de Kähler compacta.

$${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\partial }=2\Delta _{\bar {\partial }}}$$

lo que implica una descomposición ortogonal

$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{d}^{k}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}}$$

donde existen las relaciones adicionales${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}={\overline {{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{q,p}}}}$relacionando los espacios de${\displaystyle \partial }$y${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-formas armónicas. ^{[ 4 ] : Prop. 3.1.12}

Como resultado de las descomposiciones anteriores, se puede demostrar el siguiente lema.

La prueba es la siguiente. ^{[ 4 ] : Cor. 3.2.10} Sea${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$sea ​​una forma cerrada (p,q) en una variedad de Kähler compacta${\displaystyle (X,\omega )}$De ello se deduce rápidamente que (d) implica (a), (b) y (c). Además, las descomposiciones ortogonales anteriores implican que cualquiera de (a), (b) o (c) implica (e). Por lo tanto, la principal dificultad reside en demostrar que (e) implica (d).

Para ello, supongamos que${\displaystyle \alpha }$es ortogonal al subespacio${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)}$. Entonces${\displaystyle \alpha \in \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}$. Desde${\displaystyle \alpha }$es${\displaystyle d}$-cerrado y${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$, también lo es${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-cerrado (es decir,${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$). Si${\displaystyle \alpha =\alpha '+\alpha ''}$dónde${\displaystyle \alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}$y${\displaystyle \alpha ''={\bar {\partial }}^{*}\gamma }$está contenido en${\displaystyle \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}$entonces, dado que esta suma proviene de una descomposición ortogonal con respecto al producto interno${\displaystyle \langle -,-\rangle }$inducido por la métrica riemanniana,

$${\displaystyle \langle \alpha '',\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}^{*}\gamma \rangle =\langle {\bar {\partial }}\alpha ,\gamma \rangle =0}$$

o en otras palabras${\displaystyle \|\alpha ''\|^{2}=0}$y${\displaystyle \alpha ''=0}$. Por lo tanto, es cierto que${\displaystyle \alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}$Esto nos permite escribir${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\eta }$para alguna forma diferencial${\displaystyle \eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)}$. Aplicando la descomposición de Hodge para${\displaystyle \partial }$a${\displaystyle \eta }$,

$${\displaystyle \eta =\eta _{0}+\partial \eta '+\partial ^{*}\eta ''}$$

dónde${\displaystyle \eta _{0}}$es${\displaystyle \Delta _{\partial }}$-armónico,${\displaystyle \eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$y${\displaystyle \eta ''\in \Omega ^{p+1,q-1}(X)}$La igualdad${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}=\Delta _{\partial }}$implica que${\displaystyle \eta _{0}}$también lo es${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}}$-armónico y por lo tanto${\displaystyle {\bar {\partial }}\eta _{0}={\bar {\partial }}^{*}\eta _{0}=0}$. De este modo${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '+{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''}$. Sin embargo, dado que${\displaystyle \alpha }$es${\displaystyle d}$-cerrado, también lo es${\displaystyle \partial }$-cerrado. Luego, usando un truco similar al anterior,

$${\displaystyle \langle {\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta '',{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =-\langle \alpha ,\partial ^{*}{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =-\langle \partial \alpha ,{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =0,}$$

aplicando también la identidad de Kähler que${\displaystyle {\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}}$. De este modo${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '}$y configuración${\displaystyle \beta =i\eta '}$produce el${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-potencial.

Una versión local de la${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$El lema se cumple y puede demostrarse sin necesidad de recurrir al teorema de descomposición de Hodge. ^{[ 4 ] : Ex 1.3.3, Rmk 3.2.11} Es el análogo del lema de Poincaré o del lema de Dolbeault-Grothendieck para el${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$operador. El local${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-El lema se cumple en cualquier dominio en el que se cumplan los lemas mencionados anteriormente.

La demostración se deduce rápidamente de los lemas mencionados. En primer lugar, observemos que si${\displaystyle \alpha }$localmente tiene la forma${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }$para algunos${\displaystyle \beta }$entonces${\displaystyle d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0}$porque${\displaystyle \partial ^{2}=0}$,${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}$, y${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial }$Por otro lado, supongamos que...${\displaystyle \alpha }$es${\displaystyle d}$-cerrado. Entonces, por el lema de Poincaré, existe un vecindario abierto.${\displaystyle U}$de cualquier punto${\displaystyle p\in X}$y un formulario${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)}$de tal manera que${\displaystyle \alpha =d\gamma }$Ahora escribiendo${\displaystyle \gamma =\gamma '+\gamma ''}$para${\displaystyle \gamma '\in \Omega ^{p-1,q}(X)}$y${\displaystyle \gamma ''\in \Omega ^{p,q-1}(X)}$tenga en cuenta que${\displaystyle d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0}$y comparando los bidegritos de las formas en${\displaystyle d\alpha }$implica que${\displaystyle {\bar {\partial }}\gamma '=0}$y${\displaystyle \partial \gamma ''=0}$y eso${\displaystyle \alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''}$Después de posiblemente reducir el tamaño del vecindario abierto${\displaystyle U}$, el lema de Dolbeault-Grothendieck puede aplicarse a${\displaystyle \gamma '}$y${\displaystyle {\overline {\gamma ''}}}$(esto último porque${\displaystyle {\overline {\partial \gamma ''}}={\bar {\partial }}({\overline {\gamma ''}})=0}$) para obtener formas locales${\displaystyle \eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$de tal manera que${\displaystyle \gamma '={\bar {\partial }}\eta '}$y${\displaystyle {\overline {\gamma ''}}={\bar {\partial }}\eta ''}$. Observando entonces que${\displaystyle \gamma ''=\partial {\overline {\eta ''}}}$Esto completa la prueba como${\displaystyle \alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta }$dónde${\displaystyle \beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}}$.

La cohomología de Bott-Chern es una teoría de cohomología para variedades complejas compactas que depende de los operadores.${\displaystyle \partial }$y${\displaystyle {\bar {\partial }}}$y mide el grado en que la${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$El lema no se cumple. En particular, cuando una variedad compleja compacta es una variedad de Kähler, la cohomología de Bott-Chern es isomorfa a la cohomología de Dolbeault , pero en general contiene más información.

Los grupos de cohomología de Bott-Chern de una variedad compleja compacta ^{[ 3 ]} se definen por

$${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)={\frac {\ker(\partial$$ :\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p+1,q})\cap \ker({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\operatorname {im} (\partial {\bar {\partial }}:\Omega ^{p-1,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.}

Dado que una forma diferencial que es ambas${\displaystyle \partial }$y${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-cerrado es${\displaystyle d}$-cerrado, hay un mapa natural${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}$desde grupos de cohomología de Bott–Chern hasta grupos de cohomología de de Rham. También hay mapas a los${\displaystyle \partial }$y${\displaystyle {\bar {\partial }}}$grupos de cohomología de Dolbeault${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)}$. Cuando el colector${\displaystyle X}$satisface la${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema, por ejemplo, si es una variedad de Kähler compacta, entonces los mapas anteriores de la cohomología de Bott-Chern a la cohomología de Dolbeault son isomorfismos, y además el mapa de la cohomología de Bott-Chern a la cohomología de de Rham es inyectivo. ^{[ 5 ]} Como consecuencia, hay un isomorfismo

$${\displaystyle H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{BC}^{p,q}(X)}$$

cuando sea${\displaystyle X}$satisface la${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema. De esta manera, el núcleo de los mapas anteriores mide el fallo de la variedad.${\displaystyle X}$para satisfacer el lema y, en particular, medir el fracaso de${\displaystyle X}$ser un colector Kähler.

La consecuencia más significativa de la${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$El lema se produce cuando la forma diferencial compleja tiene grado binario (1,1). En este caso, el lema establece que una forma diferencial exacta${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1,1}(X)}$tiene un${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-potencial dado por una función suave${\displaystyle f\in C^{\infty }(X,\mathbb {C} )}$:

$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}f.}$$

En particular, esto ocurre en el caso donde${\displaystyle \alpha =\omega }$es una forma de Kähler restringida a un pequeño subconjunto abierto${\displaystyle U\subset X}$de una variedad de Kähler (este caso se deduce de la versión local del lema), donde el lema de Poincaré mencionado anteriormente garantiza que es una forma diferencial exacta. Esto conduce a la noción de potencial de Kähler , una función definida localmente que especifica completamente la forma de Kähler. Otro caso importante es cuando${\displaystyle \alpha =\omega -\omega '}$es la diferencia de dos formas de Kähler que están en la misma clase de cohomología de De Rham${\displaystyle [\omega ]=[\omega ']}$. En este caso${\displaystyle [\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0}$en la cohomología de de Rham, por lo tanto,${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$Se aplica el lema. Al permitir que las (diferencias de) formas de Kähler se describan completamente usando una sola función, que es automáticamente una función plurisubarmónica , el estudio de las variedades de Kähler compactas se puede llevar a cabo utilizando técnicas de la teoría pluripotencial , para la cual hay muchas herramientas analíticas disponibles. Por ejemplo, la${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$El lema se utiliza para reformular la ecuación de Kähler-Einstein en términos de potenciales, transformándola en una ecuación compleja de Monge-Ampère para el potencial de Kähler.

Variedades complejas que no son necesariamente de Kähler pero que resultan satisfacer la${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema se conoce como${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-variedades. Por ejemplo, las variedades complejas compactas que son de clase C de Fujiki satisfacen la${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema pero no necesariamente Kähler. ^{[ 5 ]}

• Lema de Poincaré
• Lema de Dolbeault-Grothendieck

• Jean-Pierre, Demailly. "Página personal en Grenoble, incluyendo publicaciones" .