Función de respuesta lineal

Una función de respuesta lineal describe la relación entrada-salida de un transductor de señal , como una radio que convierte ondas electromagnéticas en música o una neurona que transforma la entrada sináptica en una respuesta. Debido a sus numerosas aplicaciones en la teoría de la información , la física y la ingeniería, existen nombres alternativos para funciones de respuesta lineal específicas, como susceptibilidad , respuesta impulsional o impedancia ; véase también función de transferencia . El concepto de función de Green o solución fundamental de una ecuación diferencial ordinaria está estrechamente relacionado.

Denotemos la entrada de un sistema por${\displaystyle h(t)}$(por ejemplo, una fuerza ), y la respuesta del sistema por${\displaystyle x(t)}$(p. ej., una posición). Generalmente, el valor de${\displaystyle x(t)}$dependerá no solo del valor presente de${\displaystyle h(t)}$pero también en valores pasados. Aproximadamente${\displaystyle x(t)}$es una suma ponderada de los valores anteriores de${\displaystyle h(t')}$, con los pesos dados por la función de respuesta lineal${\displaystyle \chi (tt')}$: $${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,\chi (tt')h(t')+\cdots \,.}$$

El término explícito del lado derecho es el término de orden principal de una expansión de Volterra para la respuesta no lineal completa. Si el sistema en cuestión es altamente no lineal, los términos de orden superior en la expansión, representados por los puntos suspensivos, adquieren importancia y el transductor de señal no puede describirse adecuadamente solo mediante su función de respuesta lineal.

La transformada de Fourier de valores complejos${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$La función de respuesta lineal es muy útil ya que describe la salida del sistema si la entrada es una onda sinusoidal.${\displaystyle h(t)=h_{0}\sin(\omega t)}$con frecuencia${\displaystyle \omega }$. La salida dice

$${\displaystyle x(t)=\left|{\tilde {\chi }}(\omega )\right|h_{0}\sin(\omega t+\arg {\tilde {\chi }}(\omega ))\,,}$$

con ganancia de amplitud${\displaystyle |{\tilde {\chi }}(\omega )|}$y cambio de fase${\displaystyle \arg {\tilde {\chi }}(\omega )}$.

Consideremos un oscilador armónico amortiguado con una entrada dada por una fuerza impulsora externa.${\displaystyle h(t)}$,

$${\displaystyle {\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=h(t).}$$

La transformada de Fourier de valores complejos de la función de respuesta lineal viene dada por

$${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )={\frac {{\tilde {x}}(\omega )}{{\tilde {h}}(\omega )}}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma \omega }}.}$$

La ganancia de amplitud viene dada por la magnitud del número complejo.${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega ),}$y el desplazamiento de fase por el arcotangente de la parte imaginaria de la función dividida por la parte real.

A partir de esta representación, vemos que para pequeños${\displaystyle \gamma }$la transformada de Fourier${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$de la función de respuesta lineal produce un máximo pronunciado (" Resonancia ") en la frecuencia${\displaystyle \omega \approx \omega _{0}}$. La función de respuesta lineal para un oscilador armónico es matemáticamente idéntica a la de un circuito RLC . El ancho del máximo,${\displaystyle \Delta \omega,}$por lo general es mucho más pequeño que${\displaystyle \omega _{0},}$para que el factor de calidad${\displaystyle Q:=\omega _{0}/\Delta \omega }$pueden ser extremadamente grandes.

La exposición de la teoría de respuesta lineal, en el contexto de la estadística cuántica , se puede encontrar en un artículo de Ryogo Kubo . ^{[ 1 ]} Este define particularmente la fórmula de Kubo , que considera el caso general en que la "fuerza" h ( t ) es una perturbación del operador básico del sistema, el hamiltoniano ,${\displaystyle {\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')}$dónde${\displaystyle {\hat {B}}}$corresponde a una cantidad medible como entrada, mientras que la salida x ( t ) es la perturbación de la expectativa térmica de otra cantidad medible.${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$La fórmula de Kubo define entonces el cálculo cuántico-estadístico de la susceptibilidad .${\displaystyle \chi (tt')}$mediante una fórmula general que involucra únicamente a los operadores mencionados.

Como consecuencia del principio de causalidad , la función de valor complejo${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$tiene polos solo en el semiplano inferior. Esto conduce a las relaciones de Kramers-Kronig , que relacionan las partes real e imaginaria de${\displaystyle {\tilde {\chi }}(\omega )}$por integración. El ejemplo más sencillo es, una vez más, el oscilador armónico amortiguado . ^{[ 2 ]}

La teoría de respuesta lineal tiene versiones para procesos de no equilibrio para sistemas abiertos donde no hay equilibrio detallado pero se aplica una excitación o agitación constante. Una pequeña perturbación de estos sistemas excitados o activos da lugar a una respuesta que viola las expresiones de equilibrio. Una metodología posible procede a través de conjuntos de espacio de trayectorias donde se evalúan las probabilidades de las trayectorias; véase, por ejemplo, ^{[ 3 ].} Las fórmulas de respuesta resultantes tienen una parte entrópica (similar al caso de equilibrio detallado) y una parte frenética. Esta última implica la correlación de la frenética (exceso) (debido a la perturbación) con la observable. En equilibrio detallado, las dos contribuciones se fusionan y reproducen las fórmulas de Kubo y Green-Kubo . Fuera de equilibrio detallado, la contribución frenética es responsable de la posibilidad de capacidades caloríficas y movilidades negativas, y ya no miden una fluctuación, por ejemplo, en términos de una varianza de la energía o de la corriente.

• Circunvolución
• Relaciones entre Green y Kubo
• Teorema de fluctuación
• Dispersión (óptica)
• Lindbladian
• Respuesta semilineal
• La función de Green
• Respuesta impulsional
• Formalismo resolvente
• Propagador
• Frenesí

• Funciones de respuesta lineal en Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt y Alexander Lichtenstein (eds.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9