Respuesta semilineal

La motivación original para introducir SLRT fue el estudio de la conductancia mesoscópica ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} . ^{[ 4 ]} El término SLRT se acuñó en ^{[ 5 ]} donde se aplicó al cálculo de la absorción de energía por granos metálicos. Posteriormente, la teoría se aplicó para analizar la tasa de calentamiento de átomos en trampas vibrantes . ^{[ 6 ]}

Consideremos un sistema que es impulsado por una fuente.${\displaystyle f(t)}$que tiene un espectro de potencia${\displaystyle {\tilde {S}}(\omega )}$. Esta última se define como la transformada de Fourier de${\displaystyle \langle f(t)f(0)\rangle }$. En la teoría de respuesta lineal (TRL), la fuente impulsora induce un estado estacionario que es solo ligeramente diferente del estado de equilibrio. En tales circunstancias, la respuesta (${\displaystyle G}$) es un funcional lineal del espectro de potencia:

${\displaystyle G=G[{\tilde {S}}(\omega )]=\int _{-\infty }^{\infty }\eta (\omega ){\tilde {S}}(\omega )\,d\omega }$

En el contexto tradicional del tren ligero${\displaystyle G}$representa la tasa de calentamiento y${\displaystyle \eta (\omega)}$se puede definir como el coeficiente de absorción. Siempre que se aplique dicha relación

${\displaystyle [A]\ \ \ \ {\tilde {S}}(\omega )\mapsto \lambda {\tilde {S}}(\omega ){\text{ implica }}G\mapsto \lambda G}$

${\displaystyle [B]\ \ \ \ {\tilde {S}}(\omega )\mapsto {\tilde {S}}_{1}(\omega )+{\tilde {S}}_{2}(\omega ){\text{ implica }}G\mapsto G_{1}+G_{2}}$

Si la excitación es muy fuerte, la respuesta se vuelve no lineal, lo que significa que ambas propiedades [A] y [B] no se cumplen. Sin embargo, existe una clase de sistemas cuya respuesta se vuelve semilineal, es decir, la primera propiedad [A] se mantiene, pero no [B].

La SLRT se aplica siempre que la excitación sea lo suficientemente fuerte como para que la relajación al estado estacionario sea lenta en comparación con la dinámica excitada. Sin embargo, se supone que el sistema puede modelarse como una red de resistencias, expresada matemáticamente como${\displaystyle G=[[G_{nm}]]}$. La notación${\displaystyle [[G_{nm}]]}$representa el cálculo habitual de ingeniería eléctrica de la conductancia de dos terminales de una red de resistencias dada. Por ejemplo, las conexiones en paralelo implican${\displaystyle G=\sum _{nm}G_{nm}}$, mientras que las conexiones en serie implican ${\displaystyle G=\left[\sum _{nm}G_{nm}^{-1}\right]^{-1}}$El cálculo de la red de resistencias es manifiestamente semilineal porque satisface${\displaystyle [[\lambda A]]=\lambda [[A]]}$pero en general${\displaystyle [[A+B]]\neq [[A]]+[[B]]}$.

En el cálculo mecánico cuántico de la absorción de energía,${\displaystyle G_{nm}}$representan las tasas de transición de la regla de oro de Fermi entre niveles de energía. Si solo los niveles vecinos están acoplados, la suma en serie implica

${\displaystyle G=G[{\tilde {S}}(\omega )]=\left[\int _{-\infty }^{\infty }\mu (\omega ){\tilde {S}}(\omega )^{-1}\,d\omega \right]^{-1}}$

lo cual es manifiestamente semilineal. Los resultados para redes dispersas, que se encuentran en el análisis de sistemas impulsados ​​débilmente caóticos, son más interesantes y se pueden obtener utilizando un esquema generalizado de salto de rango variable (VRH).