factor Q

En física e ingeniería , el factor de calidad o factor $Q$ es un parámetro adimensional que describe el grado de amortiguación de un oscilador o resonador . Los resonadores con un alto factor de calidad presentan una baja amortiguación , lo que les permite vibrar durante más tiempo. Por ejemplo, un péndulo suspendido de un cojinete de precisión, que oscila en el aire, tiene un $factor Q$ alto , mientras que un péndulo sumergido en aceite tiene un factor Q bajo.

Hay dos definiciones de Q que dan resultados numéricamente similares, pero no idénticos. ^{[ 1 ]} La definición más general es la relación entre la energía inicial almacenada en el resonador y la energía perdida en un radián del ciclo de oscilación. ^{[ 2 ]} Una definición alternativa del factor $Q$ , más aplicable a osciladores de alto $Q$ , es la relación entre la frecuencia central de un resonador y su ancho de banda cuando está sujeto a una fuerza impulsora oscilante.

Explicación

El factor $Q$ es un parámetro que describe el comportamiento de resonancia de un oscilador armónico amortiguado (resonador). Los resonadores con excitación sinusoidal que presentan factores $Q más altos$ resuenan con mayor amplitud (en la frecuencia de resonancia), pero tienen un rango de frecuencias más pequeño alrededor de dicha frecuencia; este rango se denomina ancho de banda. Por lo tanto, un circuito sintonizado con un $factor Q$ alto en un receptor de radio sería más difícil de sintonizar, pero tendría mayor selectividad ; filtraría mejor las señales de otras estaciones cercanas en el espectro. Los osciladores con $un factor Q alto$ oscilan con un rango de frecuencias más pequeño y son más estables.

El factor de calidad de los dispositivos varía sustancialmente de un sistema a otro, dependiendo de su función y diseño . Los sistemas en los que la amortiguación es importante (como los amortiguadores que impiden que una puerta se cierre de golpe) tienen $un Q$ cercano a 1/2 . Los relojes, los láseres y otros sistemas resonantes que necesitan una fuerte resonancia o una alta estabilidad de frecuencia tienen factores de calidad elevados. Los diapasones tienen factores de calidad cercanos a 1000. El factor de calidad de los relojes atómicos , las cavidades de RF superconductoras utilizadas en aceleradores y algunos láseres de alto $Q$ pueden alcanzar ^10¹¹^[³^] y superiores. ^[⁴^]

Existen muchas magnitudes alternativas que utilizan los físicos e ingenieros para describir el grado de amortiguación de un oscilador. Algunos ejemplos importantes son: el coeficiente de amortiguación , el ancho de banda relativo , el ancho de línea y el ancho de banda medido en octavas .

El concepto de $Q$ se originó con KS Johnson del Departamento de Ingeniería de Western Electric Company mientras evaluaba la calidad de las bobinas (inductores). Eligió el símbolo $Q$ simplemente porque, en ese momento, todas las demás letras del alfabeto estaban ocupadas. El término no pretendía ser una abreviatura de "calidad" o "factor de calidad", aunque estos términos se han asociado con él. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Definición

La definición de $Q$ desde su primer uso en 1914 se ha generalizado para aplicarse a bobinas y condensadores, circuitos resonantes, dispositivos resonantes, líneas de transmisión resonantes, resonadores de cavidad, ^{[ 5 ]} . Se ha extendido más allá del campo de la electrónica para aplicarse a sistemas dinámicos en general: resonadores mecánicos y acústicos, $Q$ de materiales y sistemas cuánticos como líneas espectrales y resonancias de partículas, y resonadores ópticos como cavidades láser . Hay dos definiciones comunes para $Q$ , que se aplican generalmente a todos estos sistemas pero no son exactamente equivalentes. Se vuelven aproximadamente equivalentes a medida que $Q$ aumenta, lo que significa que el resonador se vuelve menos amortiguado.

Definición de ancho de banda

Una de estas definiciones, que es más aplicable a dispositivos de alto $Q$ , es la relación frecuencia-ancho de banda del resonador: ^{[ 5 ]}

$Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\frac {f_{\mathrm {r} }}{\Delta f}}={\frac {\omega _ {\mathrm {r} }}{\Delta \omega }},$

donde $f r$ es la frecuencia de resonancia, $Δ f$ es el ancho de resonancia o ancho completo a media altura (FWHM), es decir, el ancho de banda sobre el cual la potencia de vibración es mayor que la mitad de la potencia en la frecuencia de resonancia, $ω r = 2 πf r$ es la frecuencia de resonancia angular y $Δ ω$ es el ancho de banda de media potencia angular.

Según esta definición, $Q$ es el recíproco del ancho de banda fraccional .

Definición de energía almacenada

La otra definición común casi equivalente para $Q$ es la relación entre la energía almacenada en el resonador oscilante y la energía disipada por ciclo mediante procesos de amortiguación: ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 5 ]}

$Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} 2\pi \times {\frac {\text{energía almacenada}}{\text{energía disipada por ciclo}}}=2\pi f_{\mathrm {r} }\times {\frac {\text{energía almacenada}}{\text{pérdida de potencia}}}.$

El factor $2π$ permite expresar $Q$ en términos más sencillos, involucrando únicamente los coeficientes de la ecuación diferencial de segundo orden que describe la mayoría de los sistemas resonantes, eléctricos o mecánicos. En los sistemas eléctricos, la energía almacenada es la suma de las energías almacenadas en inductores y capacitores sin pérdidas $;$ la energía disipada es la suma de las energías disipadas en resistencias por ciclo. En los sistemas mecánicos, la energía almacenada es la suma de las energías potencial y cinética en un instante dado; la energía disipada es el trabajo realizado por una fuerza externa , por ciclo, para mantener la amplitud.

De manera más general y en el contexto de la especificación de componentes reactivos (especialmente inductores), se utiliza la definición de $Q$ dependiente de la frecuencia : ^{[ 8 ]}^{[ 10 ]}^[⁹^]

$Q(\omega )=\omega \times {\frac {\text{energía máxima almacenada}}{\text{pérdida de potencia}}},$

donde $ω$ es la frecuencia angular a la que se miden la energía almacenada y la pérdida de potencia. Esta definición es coherente con su uso para describir circuitos con un único elemento reactivo (condensador o inductor), donde se puede demostrar que es igual a la relación entre la potencia reactiva y la potencia real . ( Véase Componentes reactivos individuales ).

$Factor Q$ y amortiguación

El factor $Q$ determina el comportamiento cualitativo de los osciladores amortiguados simples. (Para obtener detalles matemáticos sobre estos sistemas y su comportamiento, consulte oscilador armónico y sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) ).

Partiendo de la definición de energía almacenada, se puede demostrar que $Q={\frac {1}{2\zeta }}$ , dónde $\zeta$ es el coeficiente de amortiguación . Hay tres casos clave distintos:

Se dice que un sistema con $un$ factor de calidad bajo ( $Q < 1/2)$ está sobreamortiguado . Dicho sistema no oscila en absoluto, pero cuando se desvía de su salida de estado estacionario de equilibrio, regresa a ella mediante $un$ decaimiento exponencial $,$ aproximándose asintóticamente al valor de estado estacionario . Tiene una respuesta impulsional que es la suma de dos funciones exponenciales decrecientes con diferentes tasas de decaimiento. A medida que el factor de calidad disminuye, el modo de decaimiento más lento se vuelve más fuerte en relación con el modo más rápido y domina la respuesta del sistema, lo que resulta en un sistema más lento. Un filtro paso bajo de segundo orden con un factor de calidad muy bajo tiene una respuesta escalón casi de primer orden; la salida del sistema responde a una entrada escalón aumentando lentamente hacia una asíntota.
Se dice que un sistema con $un$ alto factor de calidad $($ Q $> 1/2) está$ subamortiguado . Los sistemas subamortiguados combinan la oscilación a una frecuencia específica con una disminución de la amplitud de la señal. Los sistemas subamortiguados con un bajo factor de calidad (un poco por encima de $Q$ $= 1/2$ $) pueden oscilar solo una o pocas veces antes de desvanecerse. A medida que aumenta el factor de$ calidad, la cantidad relativa de amortiguación disminuye. Una campana de alta calidad suena con un solo tono puro durante mucho tiempo después de ser golpeada. Un sistema puramente oscilatorio, como una campana que suena eternamente, tiene un factor de calidad infinito. De manera más general, la salida de un filtro paso bajo de segundo orden con un factor de calidad muy alto responde a una entrada escalón elevándose rápidamente, oscilando alrededor y, finalmente, convergiendo a un valor de estado estacionario.
$Se dice que$ un sistema con un factor de calidad intermedio ( $Q = 1/2)$ está críticamente amortiguado . Al igual que un sistema sobreamortiguado, la salida no oscila ni sobrepasa $su estado estacionario (es decir, se aproxima a una asíntota$ $de$ estado estacionario). Al igual que una respuesta subamortiguada, la salida de dicho sistema responde rápidamente a una entrada escalón unitario. La amortiguación crítica da como resultado la respuesta más rápida posible (aproximación al valor final) sin sobreimpulso. Las especificaciones de los sistemas reales suelen permitir cierto sobreimpulso para una respuesta inicial más rápida o requieren una respuesta inicial más lenta para proporcionar un margen de seguridad contra el sobreimpulso.

En los sistemas de retroalimentación negativa , la respuesta dominante en lazo cerrado suele modelarse adecuadamente mediante un sistema de segundo orden. El margen de fase del sistema en lazo abierto determina el factor de calidad $Q$ del sistema en lazo cerrado; a medida que disminuye el margen de fase, el sistema aproximado de segundo orden en lazo cerrado se vuelve más oscilatorio (es decir, tiene un factor de calidad mayor).

Algunos ejemplos

Una topología de filtro paso bajo Sallen-Key de ganancia unitaria con capacitores iguales y resistencias iguales está críticamente amortiguada (es decir, $Q = ⁠ 1 / 2 ⁠$ ).
Un filtro Bessel de segundo orden (es decir, $un$ filtro de tiempo continuo con el retardo de grupo más plano) tiene un $Q$ subamortiguado $=$ $1$ $/$ $\sqrt$ $3$ $.$
Un filtro Butterworth de segundo orden (es decir, un filtro de tiempo continuo con la respuesta en frecuencia de banda de paso más plana) tiene un $factor Q subamortiguado = ⁠ 1 / \sqrt 2 ⁠$ . ^{[ 11 ]}
$El factor Q$ de un péndulo es: $Q = Mω / Γ$ , donde $M$ es la masa de la masa, $ω = 2 π / T$ es la frecuencia angular de oscilación del péndulo y $Γ$ es la fuerza de amortiguación por fricción sobre el péndulo por unidad de velocidad.
El diseño de un girotrón de alta energía (cerca del terahercio ) considera tanto el factor Q difractivo, ${\textstyle Q_{D}\approx 30\left({\frac {L}{\lambda }}\right)^{2}}$ en función de la longitud del resonador $L$ , la longitud de onda $λ$ y el factor $Q$ óhmico ( modos $TE m,p$ ) $Q_{\Omega }={\frac {R_{\mathrm {w} }}{\delta }}{\frac {1-m^{2}}{v_{m,p}^{2}}},$ donde $R w$ es el radio de la pared de la cavidad, $δ$ es la profundidad de penetración de la pared de la cavidad, $v m,p$ es el escalar de valor propio ( $m$ es el índice azimutal, $p$ es el índice radial; en esta aplicación, la profundidad de penetración es ${\textstyle \delta ={1}/{\sqrt {\pi f\sigma u_ {o}}}}$ ) ^{[ 12 ]}
En la ecografía médica , un transductor con un factor $Q$ alto es adecuado para la ecografía Doppler debido a su largo tiempo de resonancia, que permite medir las velocidades del flujo sanguíneo. Por otro lado, un transductor con un factor $Q$ bajo tiene un tiempo de resonancia corto y es adecuado para la obtención de imágenes de órganos, ya que puede recibir una amplia gama de ecos reflejados de los órganos corporales. ^{[ 13 ]}

Interpretación física

Físicamente hablando, $Q$ es aproximadamente la relación entre la energía almacenada y la energía disipada en un radián de la oscilación; o, casi equivalentemente, para valores $de Q suficientemente altos,$ $2π$ veces la relación entre la energía total almacenada y la energía perdida en un solo ciclo. ^{[ 14 ]}

Es un parámetro adimensional que compara la constante de tiempo exponencial $τ$ para la disminución de la amplitud de un sistema físico oscilante con su período de oscilación . De forma equivalente, compara la frecuencia a la que oscila un sistema con la velocidad a la que disipa su energía. Más precisamente, la frecuencia y el período utilizados deben basarse en la frecuencia natural del sistema, que para valores bajos $de Q$ es ligeramente superior a la frecuencia de oscilación medida mediante cruces por cero.

De forma equivalente (para valores grandes de $Q$ ), el factor $Q$ es aproximadamente el número de oscilaciones necesarias para que la energía de un sistema que oscila libremente disminuya a $e -2 π$ , o alrededor de 1 ⁄ 535 o 0,2%, de su energía original. ^[¹⁵^] Esto significa que la amplitud disminuye a aproximadamente $e$ $-$ $π$ o 4% de su amplitud original. ^[¹⁶^]

El ancho (ancho de banda) de la resonancia viene dado por (aproximadamente): $\Delta f={\frac {f_{\mathrm {N} }}{Q}},\,$ donde $f N$ es la frecuencia natural y $Δ f$ , el ancho de banda , es el ancho del rango de frecuencias para las cuales la energía es al menos la mitad de su valor máximo.

La frecuencia de resonancia se suele expresar en unidades naturales (radianes por segundo), en lugar de utilizar la $f N$ en hercios , como $\omega _{\mathrm {N} }=2\pi f_{\mathrm {N} }.$

Los factores $Q$ , coeficiente de amortiguación $ζ$ $,$ frecuencia natural $ωN$ , tasa de atenuación $α$ y constante de tiempo exponencial $τ$ están relacionados de tal manera que: ^{[ 17 ]}

$Q={\frac {1}{2\zeta }}={\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{2\alpha }}={\frac {\tau \omega _{\mathrm {N} }}{2}},$

y el coeficiente de amortiguación se puede expresar como:

$\zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \tau \omega _{\mathrm {N} }}.$

La envolvente de la oscilación decae proporcionalmente a $e - αt$ o $e - t/τ$ , donde $α$ y $τ$ se pueden expresar como:

$\alpha ={\omega _{\mathrm {N} } \over 2Q}=\zeta \omega _{\mathrm {N} }={1 \over \tau }$ y $\tau ={2Q \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \zeta \omega _{\mathrm {N} }}={\frac {1}{\alpha }}.$

La energía de oscilación, o la disipación de potencia, decae dos veces más rápido, es decir, como el cuadrado de la amplitud, como $e -2 αt$ o $e -2 t/τ$ .

Para un filtro paso bajo de dos polos, la función de transferencia del filtro es ^{[ 17 ].}

$H(s)={\frac {\omega _{\mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+\underbrace {\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{Q}} _{2\zeta \omega _{\mathrm {N} }=2\alpha }s+\omega _{\mathrm {N} }^{2}}}\,$

Para este sistema, cuando $Q > 1/2 ($ es decir, cuando el sistema está subamortiguado), tiene dos polos complejos conjugados $,$ cada uno con una parte real de $-α$ . Es decir, el parámetro de atenuación $α$ $representa$ la tasa de $decaimiento$ exponencial de las oscilaciones (es decir, de la salida después de un impulso ) en el sistema. Un factor de calidad más alto implica una tasa de atenuación más baja, por lo que los sistemas $de Q$ alto oscilan durante muchos ciclos. Por ejemplo, las campanas de alta calidad tienen un tono sinusoidal aproximadamente puro durante mucho tiempo después de ser golpeadas por un martillo.

Sistemas eléctricos

Un gráfico de la magnitud de ganancia de un filtro, que ilustra el concepto de -3 dB con una ganancia de voltaje de 0,707 o ancho de banda de media potencia. El eje de frecuencia de este diagrama simbólico puede escalarse lineal o logarítmicamente .

En un sistema eléctricamente resonante, el factor Q representa el efecto de la resistencia eléctrica y, en el caso de resonadores electromecánicos como los cristales de cuarzo , la fricción mecánica .

Relación entre $Q$ y ancho de banda

El ancho de banda bilateral relativo a una frecuencia de resonancia de $F 0$ (Hz) es ${\frac {F_{0}}{Q}}$ .

Por ejemplo, una antena sintonizada con un factor $Q$ de 10 y una frecuencia central de 100 kHz tendría un ancho de banda de 3 dB de 10 kHz.

En audio, el ancho de banda se suele expresar en términos de octavas . Entonces, la relación entre $Q$ y el ancho de banda es:

$Q={\frac {2^{\frac {BW}{2}}}{2^{BW}-1}}={\frac {1}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}\ln(2)BW\right)}},$ donde $BW$ es el ancho de banda en octavas. ^{[ 19 ]}

circuitos RLC

En un circuito RLC en serie ideal , y en un receptor de radiofrecuencia sintonizado (TRF), el factor $Q$ es: ^{[ 20 ]}

$Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{\omega _{0}RC}}$

donde $R$ , $L$ y $C$ son la resistencia , la inductancia y la capacitancia del circuito sintonizado, respectivamente. Las resistencias en serie más grandes corresponden a valores $Q$ más bajos del circuito .

Para un circuito RLC en paralelo, el factor $Q$ es el inverso del caso en serie: ^{[ 21 ]}^{[ 20 ]}

$Q=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {R}{\omega _{0}L}}=\omega _{0}RC$ ^{[ 22 ]}

Consideremos un circuito donde $R$ , $L$ y $C$ están conectados en paralelo. Cuanto menor sea la resistencia en paralelo, mayor será su efecto de amortiguación y, por lo tanto, menor será el factor $Q.$ Esto resulta útil en el diseño de filtros para determinar el ancho de banda.

En un circuito LC paralelo, donde la principal pérdida es la resistencia del inductor, $R$ , en serie con la inductancia, $L$ , $el factor Q$ es el mismo que en el circuito en serie. Esta es una circunstancia común en los resonadores, donde limitar la resistencia del inductor para mejorar $Q$ y reducir el ancho de banda es el resultado deseado.

Componentes reactivos individuales

El $factor Q$ de un componente reactivo individual depende de la frecuencia a la que se evalúa, que suele ser la frecuencia de resonancia del circuito en el que se utiliza. El $factor Q$ de un inductor con una resistencia de pérdidas en serie es el $factor Q$ de un circuito resonante que utiliza dicho inductor (incluida su resistencia de pérdidas en serie) y un condensador ideal. ^{[ 23 ]}

$Q_{L}={\frac {X_{L}}{R_{L}}}={\frac {\omega _{0}L}{R_{L}}}$

dónde:

$ω 0$ es la frecuencia de resonancia en radianes por segundo;
$L$ es la inductancia;
$X L$ es la reactancia inductiva ; y
$R L$ es la resistencia en serie del inductor.

El $factor Q$ de un capacitor con una resistencia de pérdidas en serie es el mismo que el $factor Q$ de un circuito resonante que utiliza ese capacitor con un inductor perfecto: ^{[ 23 ]}

$Q_{C}={\frac {-X_{C}}{R_{C}}}={\frac {1}{\omega _{0}CR_{C}}}$

dónde:

$ω 0$ es la frecuencia de resonancia en radianes por segundo;
$C$ es la capacitancia;
$X C$ es la reactancia capacitiva ; y
$RC$ es la resistencia en serie del condensador $.$

En general, el $factor Q$ de un resonador que involucra una combinación en serie de un condensador y un inductor se puede determinar a partir de los valores $Q$ de los componentes, ya sea que sus pérdidas provengan de la resistencia en serie o de otra manera: ^{[ 23 ]}

$Q={\frac {1}{{\frac {1}{Q_{L}}}+{\frac {1}{Q_{C}}}}}$

Sistemas mecánicos

Para un sistema masa-resorte amortiguado simple, el factor $Q$ representa el efecto de la amortiguación viscosa simplificada o la resistencia , donde la fuerza de amortiguación o la fuerza de resistencia es proporcional a la velocidad. La fórmula para el factor $Q$ es: $Q={\frac {\sqrt {Mk}}{D}},\,$ donde $M$ es la masa, $k$ es la constante elástica y $D$ es el coeficiente de amortiguación, definido por la ecuación $F amortiguación = - Dv$ , donde $v$ es la velocidad. ^{[ 24 ]}

Sistemas acústicos

El $factor Q$ de un instrumento musical es fundamental; un $factor Q$ excesivamente alto en un resonador no amplificará uniformemente las múltiples frecuencias que produce el instrumento. Por esta razón, los instrumentos de cuerda suelen tener cajas de resonancia con formas complejas, para que produzcan una amplia gama de frecuencias de forma bastante uniforme.

El $factor Q$ de un instrumento de viento metal o de viento metal debe ser lo suficientemente alto como para distinguir una frecuencia específica del amplio espectro de vibraciones de los labios o la lengüeta. En cambio, una vuvuzela está hecha de plástico flexible y, por lo tanto, tiene un $factor Q$ muy bajo para un instrumento de viento metal, lo que le confiere un tono apagado y con mucho aire. Los instrumentos hechos de plástico más rígido, latón o madera tienen valores $de Q más altos. Un$ $factor Q$ excesivamente alto puede dificultar la ejecución de una nota. $El factor Q$ de un instrumento puede variar según la frecuencia, pero esto puede no ser deseable.

Los resonadores de Helmholtz tienen un $factor Q$ muy alto , ya que están diseñados para seleccionar un rango de frecuencias muy estrecho.

Sistemas ópticos

En óptica , el factor $Q de una$ cavidad resonante viene dado por $Q={\frac {2\pi f_{o}\,E}{P}},\,$ donde $f o$ es la frecuencia de resonancia, $E$ es la energía almacenada en la cavidad y $P = - ⁠ dE / dt ⁠$ es la potencia disipada. El $factor Q$ óptico es igual a la relación entre la frecuencia de resonancia y el ancho de banda de la resonancia de la cavidad. La vida media de un fotón resonante en la cavidad es proporcional al factor $Q$ de la cavidad . Si el factor $Q de la cavidad de un$ láser cambia abruptamente de un valor bajo a uno alto, el láser emitirá un pulso de luz mucho más intenso que la salida continua normal del láser. Esta técnica se conoce como conmutación $Q.$ $El factor Q$ es de particular importancia en plasmónica , donde la pérdida está relacionada con la amortiguación de la resonancia del plasmón de superficie . ^{[ 25 ]} Si bien la pérdida normalmente se considera un obstáculo en el desarrollo de dispositivos plasmónicos, es posible aprovechar esta propiedad para presentar nuevas funcionalidades mejoradas. ^{[ 26 ]}

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

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Enlaces externos

Cálculo de las frecuencias de corte cuando se proporcionan la frecuencia central y el factor Q.
Explicación del factor Q en los circuitos de sintonización de radio.

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