Linealidad

En matemáticas, una aplicación lineal o función lineal f ( x ) es una función que satisface las dos propiedades: ^{[ 1 ]}

• Aditividad : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) .
• Homogeneidad de grado 1: f (α x ) = α f ( x ) para todo α.

Estas propiedades se conocen como el principio de superposición . En esta definición, x no es necesariamente un número real , sino que puede ser, en general, un elemento de cualquier espacio vectorial . En matemáticas elementales se utiliza una definición más específica de función lineal , que no coincide con la definición de aplicación lineal (véase más adelante).

La aditividad por sí sola implica homogeneidad para α racional , ya que${\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}$implica${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$para cualquier número natural n por inducción matemática , y luego${\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}$implica${\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}$La densidad de los números racionales en los números reales implica que cualquier función aditiva continua es homogénea para cualquier número real α y, por lo tanto, es lineal.

El concepto de linealidad puede extenderse a los operadores lineales . Ejemplos importantes de operadores lineales incluyen la derivada , considerada como un operador diferencial , y otros operadores construidos a partir de ella, como del y el laplaciano . Cuando una ecuación diferencial puede expresarse en forma lineal, generalmente se puede resolver dividiéndola en partes más pequeñas, resolviendo cada una de ellas y sumando las soluciones.

En un uso distinto a la definición anterior, se dice que un polinomio de grado 1 es lineal, porque la gráfica de una función de esa forma es una línea recta. ^{[ 2 ]}

Sobre los números reales, un ejemplo sencillo de ecuación lineal viene dado por $${\displaystyle y=mx+b,}$$ donde m se suele llamar pendiente o gradiente , y b la intersección con el eje y , que da el punto de intersección entre la gráfica de la función y el eje y  .

Cabe señalar que este uso del término lineal no es el mismo que en la sección anterior, ya que los polinomios lineales sobre los números reales no satisfacen, en general, ni la aditividad ni la homogeneidad. De hecho, lo hacen si y solo si el término constante —b en el ejemplo— es igual a 0. Si b ≠ 0 , la función se denomina función afín (véase, para mayor generalidad, la transformación afín ).   

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se ocupa de los sistemas de ecuaciones lineales.

En álgebra booleana , una función lineal es una función${\displaystyle f}$para los cuales existen${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}$de tal manera que

${\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}$, dónde${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}$

Tenga en cuenta que si${\displaystyle a_{0}=1}$La función anterior se considera afín en álgebra lineal (es decir, no lineal).

Una función booleana es lineal si se cumple alguna de las siguientes condiciones para la tabla de verdad de la función :

1. En cada fila donde el valor de verdad de la función es T , se asigna un número impar de T a los argumentos, y en cada fila donde la función es F, se asigna un número par de T a los argumentos. Específicamente, f (F, F, ..., F) = F , y estas funciones corresponden a aplicaciones lineales sobre el espacio vectorial booleano.
2. En cada fila en la que el valor de la función es T, hay un número par de T asignados a los argumentos de la función; y en cada fila en la que el valor de verdad de la función es F, hay un número impar de T asignados a los argumentos. En este caso, f (F, F, ..., F) = T .

Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre marca la diferencia en el valor de verdad de la operación o nunca la marca.

La negación , la bicondicional lógica , la disyunción exclusiva , la tautología y la contradicción son funciones lineales.

Para un dispositivo electrónico (u otro dispositivo físico) que convierte una cantidad en otra cantidad, Bertram S. Kolts escribe: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Existen tres definiciones básicas de linealidad integral de uso común: linealidad independiente, linealidad con base en cero y linealidad terminal o de punto final. En cada caso, la linealidad define qué tan bien el rendimiento real del dispositivo en un rango operativo específico se aproxima a una línea recta. La linealidad generalmente se mide en términos de una desviación, o no linealidad, con respecto a una línea recta ideal y se expresa típicamente en porcentaje de la escala completa o en ppm ( partes por millón ) de la escala completa. Generalmente, la línea recta se obtiene mediante un ajuste de mínimos cuadrados de los datos. Las tres definiciones difieren en la forma en que la línea recta se posiciona con respecto al rendimiento real del dispositivo. Además, estas tres definiciones ignoran cualquier error de ganancia o compensación que pueda estar presente en las características de rendimiento reales del dispositivo.