Función lineal

En matemáticas , el término función lineal se refiere a dos nociones distintas pero relacionadas: ^{[ 1 ]}

• En cálculo y áreas afines, una función lineal es una función cuya gráfica es una línea recta , es decir, una función polinómica de grado cero (un polinomio constante) o uno (un polinomio lineal). ^{[ 2 ]} Para distinguir dicha función lineal del otro concepto, se suele utilizar el término función afín . ^{[ 3 ]}
• En álgebra lineal , análisis matemático ^{[ 4 ] y} análisis funcional , una función lineal es un tipo de función entre espacios vectoriales . ^{[ 5} ]

En cálculo, geometría analítica y áreas afines, una función lineal es un polinomio de grado uno o menor, incluyendo el polinomio cero . (Este último es un polinomio sin términos y no se considera de grado cero).

Cuando la función es de una sola variable , tiene la forma

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

donde a y b son constantes , a menudo números reales . La gráfica de dicha función de una variable es una línea no vertical. A menudo se hace referencia a a como la pendiente de la línea y a b como la intersección con el eje y.

Si a > 0, entonces la pendiente es positiva y la gráfica tiene pendiente ascendente.

Si a < 0, entonces la pendiente es negativa y la gráfica tiene pendiente descendente.

Para una función${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}$Para cualquier número finito de variables, la fórmula general es

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}$

y el gráfico es un hiperplano de dimensión k .

En este contexto, una función constante también se considera lineal, ya que es un polinomio de grado cero o el polinomio cero. Su gráfica, cuando solo hay una variable, es una línea horizontal.

En este contexto, una función que también es una aplicación lineal (el otro significado de funciones lineales, véase más adelante) puede denominarse función lineal homogénea o forma lineal . En el contexto del álgebra lineal, las funciones polinómicas de grado 0 o 1 son las aplicaciones afines escalares .

En álgebra lineal, una función lineal es una aplicación.${\displaystyle f}$de un espacio vectorial${\displaystyle \mathbf {V} }$a un espacio vectorial${\displaystyle \mathbf {W} }$(Ambos espacios no son necesariamente diferentes.) sobre un mismo cuerpo K tal que

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$

Aquí a denota una constante perteneciente al campo K de escalares (por ejemplo, los números reales ), y x e y son elementos de${\displaystyle \mathbf {V} }$, que podría ser K mismo. Incluso si el mismo símbolo${\displaystyle +}$se utiliza la operación de suma entre x e y (pertenecientes a${\displaystyle \mathbf {V} }$) no es necesariamente lo mismo que la operación de suma entre${\displaystyle f\left(\mathbf {x} \right)}$y${\displaystyle f\left(\mathbf {y} \right)}$(perteneciente a${\displaystyle \mathbf {W} }$).

En otras palabras, la función lineal conserva la suma de vectores y la multiplicación escalar .

Algunos autores utilizan "función lineal" solo para mapas lineales que toman valores en el campo escalar; ^{[ 6 ]} estos se denominan más comúnmente formas lineales .

Las "funciones lineales" del cálculo se consideran "aplicaciones lineales" cuando (y solo cuando) f (0, ..., 0) = 0 , o, equivalentemente, cuando la constante b es igual a cero en el polinomio de primer grado anterior. Geométricamente, la gráfica de la función debe pasar por el origen.

• Función homogénea
• Sistema no lineal
• función lineal por partes
• Aproximación lineal
• Interpolación lineal
• Mapa lineal discontinuo
• mínimos cuadrados lineales

• Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lecciones de álgebra lineal , Interscience Publishers, Inc., Nueva York. Reimpreso por Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
• Shores, Thomas S. (2007). Álgebra lineal aplicada y análisis matricial . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado . Springer. ISBN 978-0-387-33195-9.
• Stewart, James (2012). Cálculo: Primeros trascendentales (7.ª  ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9.
• Leonid N. Vaserstein (2006), «Programación lineal», en Leslie Hogben , ed., Manual de álgebra lineal , Matemáticas discretas y sus aplicaciones, Chapman and Hall/CRC, cap. 50. ISBN 1-584-88510-6