Limaçon

En geometría , un limaçon o limacon ( pronunciación francesa : [ limasɔ̃ ] ), también conocido como limaçon de Pascal o caracol de Pascal , se define como una curva de ruleta formada por la trayectoria de un punto fijo a un círculo cuando este rueda alrededor del exterior de un círculo de igual radio. También puede definirse como la ruleta formada cuando un círculo rueda alrededor de un círculo con la mitad de su radio, de modo que el círculo más pequeño queda dentro del círculo más grande. Por lo tanto, pertenecen a la familia de curvas llamadas trocoides centradas ; más específicamente, son epitrocoides . La cardioide es el caso especial en el que el punto que genera la ruleta se encuentra sobre el círculo rodante; la curva resultante tiene una cúspide .

Dependiendo de la posición del punto que genera la curva, esta puede tener bucles interiores y exteriores (de ahí el nombre de la familia), puede tener forma de corazón o puede ser ovalada.

Un limaçon es una curva algebraica plana racional bicircular de grado 4.

Las primeras investigaciones formales sobre limaçones se atribuyen generalmente a Étienne Pascal , padre de Blaise Pascal . Sin embargo, el artista renacentista alemán Albrecht Dürer ya había realizado investigaciones perspicaces al respecto . Su obra Underweysung der Messung (Instrucción en medición) contiene métodos geométricos específicos para la creación de limaçones. Gilles de Roberval denominó a esta curva cuando la utilizó como ejemplo para hallar líneas tangentes, derivando la palabra del latín limax : caracol.

La ecuación (salvo traslación y rotación) de un limaçon en coordenadas polares tiene la forma

${\displaystyle r=b+a\cos \theta .}$

Esto se puede convertir a coordenadas cartesianas multiplicando por r (introduciendo así un punto en el origen que en algunos casos es espurio) y sustituyendo${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$y${\displaystyle r\cos \theta =x}$para obtener ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-ax\right)^{2}=b^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).}$

Aplicando la forma paramétrica de la conversión polar a cartesiana, también tenemos ^{[ 2 ]}

${\displaystyle x=(b+a\cos \theta )\cos \theta ={a \over 2}+b\cos \theta +{a \over 2}\cos 2\theta ,}$

${\displaystyle y=(b+a\cos \theta )\sin \theta =b\sin \theta +{a \over 2}\sin 2\theta$ ;}

mientras se configura

${\displaystyle z=x+iy=(b+a\cos \theta )(\cos \theta +i\sin \theta )}$

produce esta parametrización como una curva en el plano complejo :

${\displaystyle z={a \over 2}+be^{i\theta }+{a \over 2}e^{2i\theta }.}$

Si nos desplazáramos horizontalmente por${\textstyle -{\frac {1}{2}}a}$, es decir,

${\displaystyle z=be^{it}+{a \over 2}e^{2it}}$,

Al cambiar la ubicación del origen, convertiríamos la ecuación de una trocoide centrada a su forma habitual. Nótese el cambio de variable independiente en este punto para dejar claro que ya no estamos utilizando la parametrización de coordenadas polares predeterminada.${\displaystyle \theta =\arg z}$.

Cuando${\displaystyle b>a}$La curva es una curva cerrada simple. Sin embargo, el origen satisface la ecuación cartesiana dada anteriormente, por lo que la gráfica de esta ecuación tiene un ánodo o punto aislado.

Cuando${\displaystyle b>2a}$, el área delimitada por la curva es convexa, y cuando${\displaystyle a<b<2a}$, la curva tiene una hendidura delimitada por dos puntos de inflexión . En${\displaystyle b=2a}$, el punto${\displaystyle (-a,0)}$es un punto de curvatura cero .

Como${\displaystyle b}$se reduce en relación con${\displaystyle a}$, la hendidura se vuelve más pronunciada hasta que, en${\displaystyle b=a}$, la curva se convierte en una cardioide y la hendidura en una cúspide . Para${\displaystyle 0<b<a}$, la cúspide se expande formando un bucle interior, y la curva se cruza a sí misma en el origen. Como${\displaystyle b}$Cuando se aproxima a 0, el bucle llena la curva exterior y, en el límite, el limaçon se convierte en un círculo recorrido dos veces.

El área delimitada por el limaçon${\displaystyle r=b+a\cos \theta }$es${\textstyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\pi }$. Cuando${\displaystyle b<a}$Esto cuenta el área encerrada por el bucle interior dos veces. En este caso, la curva cruza el origen en ángulos${\textstyle \pi \pm \arccos {b \over a}}$, el área encerrada por el bucle interior es

${\displaystyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\arccos {b \over a}-{3 \over 2}b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},}$

El área encerrada por el bucle exterior es

${\displaystyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\left(\pi -\arccos {b \over a}\right)+{3 \over 2}b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},}$

y el área entre los bucles es

${\displaystyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\left(\pi -2\arccos {b \over a}\right)+3b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.}$^{[ 1 ]}

La circunferencia del limaçon viene dada por una integral elíptica completa de segundo tipo :

${\displaystyle 4(a+b)E\left({{2{\sqrt {ab}}} \over a+b}\right).}$

• Dejar${\displaystyle P}$ser un punto y${\displaystyle C}$ser un círculo cuyo centro no es${\displaystyle P}$. Entonces la envoltura de aquellos círculos cuyo centro se encuentra en${\displaystyle C}$y que pasan por${\displaystyle P}$es un limaçon.

• Un pedal de un círculo es un limaçon. De hecho, el pedal con respecto al origen del círculo con radio${\displaystyle b}$y centro${\displaystyle (a,0)}$tiene ecuación polar${\displaystyle r=b+a\cos \theta }$.

• La inversa con respecto al círculo unitario de${\displaystyle r=b+a\cos \theta }$es

${\displaystyle r={1 \over {b+a\cos \theta }}}$

que es la ecuación de una sección cónica con excentricidad${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$y se enfoca en el origen. Así, un limaçon se define como la inversa de una cónica cuyo centro de inversión es uno de los focos. Si la cónica es una parábola, su inversa será una cardioide; si es una hipérbola, el limaçon correspondiente tendrá un bucle interno; y si es una elipse, el limaçon correspondiente no tendrá bucle.

• La concoide de un círculo con respecto a un punto en el círculo es un limaçon.

• Un caso especial particular de un óvalo cartesiano es un limaçon. ^{[ 3 ]}

• Ruleta
• trocoide centrado
• Lista de funciones periódicas

• Jane Grossman y Michael Grossman. "Con hoyuelo o sin hoyuelo" , The Two-Year College Mathematics Journal , enero de 1982, páginas 52-55.
• Howard Anton. Cálculo , 2ª edición, página 708, John Wiley & Sons, 1984.
• Howard Anton. págs.  725 – 726.
• Howard Eves. Un estudio de la geometría , volumen 2 (páginas 51, 56, 273), Allyn and Bacon, 1965.

• Limacón de Pascal en la Historia de las Matemáticas de MacTutor
• Limaçon en curvas matemáticas
• Limaçon de Pascal en ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES
• Limacon de Pascal en el Diccionario Visual de Curvas Planas Especiales
• "Limacon de Pascal" en PlanetPTC (Mathcad)