óvalo cartesiano

En geometría , un óvalo cartesiano es una curva plana formada por puntos cuyas distancias a dos puntos fijos ( focos ) son la misma combinación lineal . Estas curvas reciben su nombre del matemático francés René Descartes , quien las utilizó en óptica .

Sean P y Q puntos fijos en el plano, y sean d( P , S ) y d( Q , S ) las distancias euclidianas desde estos puntos a un tercer punto variable S . Sean m y a números reales arbitrarios . Entonces, el óvalo cartesiano es el lugar geométrico de los puntos S que satisfacen d( P , S ) + m d( Q , S ) = a . Los dos óvalos formados por las cuatro ecuaciones d( P , S ) + m d( Q , S ) = ± a y d( P , S ) − m d( Q , S ) = ± a están estrechamente relacionados; juntos forman una curva plana cuártica llamada óvalos de Descartes . ^{[ 1 ]}

En la ecuación d( P , S ) + m d( Q , S ) = a , cuando m = 1 y a > d( P , Q ) la forma resultante es una elipse . En el caso límite en que P y Q coinciden, la elipse se convierte en un círculo . Cuando${\displaystyle m=a/\!\operatorname {d} (P,Q)}$Es un limón de Pascal. Si${\displaystyle m=-1}$y${\displaystyle 0<a<\operatorname {d} (P,Q)}$La ecuación da como resultado una rama de una hipérbola y, por lo tanto, no es un óvalo cerrado.

El conjunto de puntos ( x , y ) que satisfacen la ecuación polinómica de cuarto grado ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \left[(1-m^{2})(x^{2}+y^{2})+2m^{2}cx+a^{2}-m^{2}c^{2}\right]^{2}=4a^{2}(x^{2}+y^{2})}$

donde c es la distancia${\displaystyle {\text{d}}(P,Q)}$Entre los dos focos fijos P = (0, 0) y Q = ( c , 0) , se forman dos óvalos, conjuntos de puntos que satisfacen dos de las siguientes cuatro ecuaciones:

${\displaystyle \operatorname {d} (P,S)\pm m\operatorname {d} (Q,S)=a\,}$

${\displaystyle \operatorname {d} (P,S)\pm m\operatorname {d} (Q,S)=-a\,}$^{[ 2 ]}

que tienen soluciones reales. Los dos óvalos son generalmente disjuntos , excepto en el caso de que P o Q pertenezcan a ellos. Al menos una de las dos perpendiculares a PQ que pasan por los puntos P y Q corta esta curva cuártica en cuatro puntos reales; de esto se deduce que están necesariamente anidados, con al menos uno de los dos puntos P y Q contenido en el interior de ambos. ^{[ 2 ]} Para una parametrización diferente y la cuártica resultante, véase Lawrence. ^{[ 3 ]}

Como descubrió Descartes, los óvalos cartesianos pueden utilizarse en el diseño de lentes . Al elegir la relación de distancias entre P y Q para que coincida con la relación de senos de la ley de Snell , y utilizando la superficie de revolución de uno de estos óvalos, es posible diseñar una lente denominada aplanática , que no presenta aberración esférica . ^{[ 4 ]}

Además, si un frente de onda esférico se refracta a través de una lente esférica o se refleja en una superficie esférica cóncava, el frente de onda refractado o reflejado adquiere la forma de un óvalo cartesiano. Por lo tanto, la cáustica formada por la aberración esférica en este caso puede describirse como la evoluta de un óvalo cartesiano. ^{[ 5 ]}

Los óvalos de Descartes fueron estudiados por primera vez por René Descartes en 1637, en relación con sus aplicaciones en óptica.

Estas curvas también fueron estudiadas por Newton a partir de 1664. Un método para dibujar ciertos óvalos cartesianos específicos, ya utilizado por Descartes, es análogo a la construcción estándar de una elipse mediante un hilo sujeto con un alfiler. Si se estira un hilo desde un alfiler en un foco hasta que se enrolla alrededor de otro alfiler en un segundo foco, y se ata el extremo libre del hilo a una pluma, la trayectoria que sigue la pluma, cuando el hilo está tensado, forma un óvalo cartesiano con una relación de 2:1 entre las distancias a los dos focos. ^{[ 6 ]} Sin embargo, Newton rechazó tales construcciones por considerarlas insuficientemente rigurosas . ^{[ 7 ]} Definió el óvalo como la solución de una ecuación diferencial , construyó sus subnormales y volvió a investigar sus propiedades ópticas. ^{[ 8 ]}

El matemático francés Michel Chasles descubrió en el siglo XIX que, si un óvalo cartesiano está definido por dos puntos P y Q , entonces en general existe un tercer punto R en la misma línea tal que el mismo óvalo también está definido por cualquier par de estos tres puntos. ^{[ 2 ]}

James Clerk Maxwell redescubrió estas curvas, las generalizó a curvas definidas manteniendo constante la suma ponderada de las distancias desde tres o más focos, y escribió un artículo titulado Observaciones sobre figuras circunscritas con múltiples focos y radios de diversas proporciones . Un informe de sus resultados, titulado Sobre la descripción de curvas ovaladas y aquellas con múltiples focos , fue escrito por J. D. Forbes y presentado a la Royal Society de Edimburgo en 1846, cuando Maxwell tenía apenas 14 años (casi 15). ^{[ 6 ] [ 9 ] [ 10 ]}

• Óvalo de Cassini
• Coordenadas bipolares de dos centros

• Weisstein, Eric W. "Óvalos cartesianos" . MathWorld .
• Benjamin Williamson, Tratado elemental sobre el cálculo diferencial, que contiene la teoría de las curvas planas (1884)