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Modelo reticular (física)

Una red tridimensional rellena con dos moléculas A y B, representadas aquí como esferas blancas y negras. Este tipo de redes se utilizan, por ejemplo, en la teoría de soluciones...

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Una red tridimensional rellena con dos moléculas A y B, representadas aquí como esferas blancas y negras. Este tipo de redes se utilizan, por ejemplo, en la teoría de soluciones de Flory-Huggins.

En física matemática , un modelo reticular es un modelo matemático de un sistema físico definido en una red , a diferencia de un continuo , como el continuo del espacio o el espacio-tiempo . Los modelos reticulares surgieron originalmente en el contexto de la física de la materia condensada , donde los átomos de un cristal forman automáticamente una red. Actualmente, los modelos reticulares son muy populares en física teórica por diversas razones. Algunos modelos son exactamente solubles y, por lo tanto, ofrecen una comprensión de la física que va más allá de lo que se puede aprender de la teoría de perturbaciones . Los modelos reticulares también son ideales para el estudio mediante los métodos de la física computacional , ya que la discretización de cualquier modelo continuo lo convierte automáticamente en un modelo reticular. La solución exacta de muchos de estos modelos (cuando son solubles) incluye la presencia de solitones . Las técnicas para resolverlos incluyen la transformada de dispersión inversa y el método de pares de Lax , la ecuación de Yang-Baxter y los grupos cuánticos . La solución de estos modelos ha proporcionado información sobre la naturaleza de las transiciones de fase , la magnetización y el comportamiento de escalamiento , así como sobre la naturaleza de la teoría cuántica de campos . Los modelos de red física se utilizan frecuentemente como aproximación a una teoría continua, ya sea para establecer un límite ultravioleta que evite divergencias o para realizar cálculos numéricos . Un ejemplo de teoría continua ampliamente estudiada mediante modelos de red es el modelo de red de QCD , una discretización de la cromodinámica cuántica . Sin embargo, la física digital considera la naturaleza fundamentalmente discreta a la escala de Planck, lo que impone un límite superior a la densidad de información , también conocido como principio holográfico . De forma más general, la teoría de gauge en red y la teoría de campos en red son áreas de estudio. Los modelos de red también se utilizan para simular la estructura y la dinámica de los polímeros.

Descripción matemática

Varios modelos de red pueden describirse mediante los siguientes datos:

  • Una redΛ{\displaystyle \Lambda }, a menudo considerado como una red end{\displaystyle d}espacio euclidiano de -dimensionesRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}o eld{\displaystyle d}toro -dimensional si la red es periódica. Concretamente,Λ{\displaystyle \Lambda }a menudo es la red cúbica . Si dos puntos de la red se consideran "vecinos más cercanos", entonces se pueden conectar mediante una arista, convirtiendo la red en un grafo reticular . Los vértices deΛ{\displaystyle \Lambda }A veces se les denomina sitios.
  • Un espacio de espín variableS{\displaystyle S}El espacio de configuracióndo{\displaystyle {\mathcal {C}}}El espacio de posibles estados del sistema es entonces el espacio de funciones.σ:Λ→S{\displaystyle \sigma :\Lambda \rightarrow S} . Para algunos modelos, podríamos considerar en su lugar el espacio de funcionesσ:mi→S{\displaystyle \sigma :E\rightarrow S}dóndemi{\displaystyle E}es el conjunto de aristas del grafo definido anteriormente.
  • Un funcional de energíami:do→R{\displaystyle E:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} }, que podrían depender de un conjunto de parámetros adicionales o "constantes de acoplamiento".{gramoi}{\displaystyle \{g_{i}\}}.

Ejemplos

El modelo de Ising viene dado por el grafo de red cúbica usual.GRAMO=(Λ,mi){\displaystyle G=(\Lambda,E)}dóndeΛ{\displaystyle \Lambda }es una red cúbica infinita enRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}o un períodonorte{\displaystyle n}red cúbica enTd{\displaystyle T^{d}}, ymi{\displaystyle E}es el conjunto de aristas de vecinos más cercanos (se usa la misma letra para el funcional de energía , pero los diferentes usos se distinguen según el contexto). El espacio de variables de espín esS={+1,−1}=Z2{\displaystyle S=\{+1,-1\}=\mathbb {Z} _{2}}. El funcional de energía es

mi(σ)=−H∑v∈Λσ(v)−J∑{v1,v2}∈miσ(v1)σ(v2).{\displaystyle E(\sigma )=-H\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)-J\sum _{\{v_{1},v_{2}\}\in E}\sigma (v_{1})\sigma (v_{2}).}

El espacio de variables de espín a menudo se puede describir como una clase lateral . Por ejemplo, para el modelo de Potts tenemosS=Znorte{\displaystyle S=\mathbb {Z} _ {n}}En el límitenorte→∞{\displaystyle n\rightarrow \infty }, obtenemos el modelo XY que tieneS=SO(2){\displaystyle S=SO(2)}. Generalizar el modelo XY a dimensiones superiores da como resultado:norte{\displaystyle n}-modelo vectorial que tieneS=Snorte=SO(norte+1)/SO(norte){\displaystyle S=S^{n}=SO(n+1)/SO(n)}.

Modelos resolubles

Nos especializamos en una red con un número finito de puntos y un espacio finito de variables de espín. Esto se puede lograr haciendo que la red sea periódica, con un períodonorte{\displaystyle n}end{\displaystyle d}dimensiones. Luego el espacio de configuracióndo{\displaystyle {\mathcal {C}}}También es finito. Podemos definir la función de partición.

Z=∑σ∈doexp⁡(−βmi(σ)){\displaystyle Z=\sum _{\sigma \in {\mathcal {C}}}\exp(-\beta E(\sigma ))}

y no hay problemas de convergencia (como los que surgen en la teoría de campos) ya que la suma es finita. En teoría, esta suma se puede calcular para obtener una expresión que depende solo de los parámetros.{gramoi}{\displaystyle \{g_{i}\}}yβ{\displaystyle \beta }En la práctica, esto suele ser difícil debido a las interacciones no lineales entre los sitios. Los modelos con una expresión de forma cerrada para la función de partición se conocen como exactamente solubles .

Ejemplos de modelos exactamente solubles son el modelo de Ising 1D periódico y el modelo de Ising 2D periódico con campo magnético externo nulo,H=0,{\displaystyle H=0,}pero por dimensiónd>2{\displaystyle d>2}El modelo de Ising sigue sin resolverse.

Teoría del campo medio

Debido a la dificultad de obtener soluciones exactas, para obtener resultados analíticos a menudo debemos recurrir a la teoría del campo medio . Este campo medio puede variar espacialmente o ser global.

campo medio global

El espacio de configuracióndo{\displaystyle {\mathcal {C}}}de funcionesσ{\displaystyle \sigma }es reemplazado por la envoltura convexa del espacio de giroS{\displaystyle S}, cuandoS{\displaystyle S}tiene una realización en términos de un subconjunto deRmetro{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}Lo denotaremos por⟨do⟩{\displaystyle \langle {\mathcal {C}}\rangle }. Esto surge cuando, al ir al valor medio del campo, tenemosσ↦⟨σ⟩:=1|Λ|∑v∈Λσ(v){\displaystyle \sigma \mapsto \langle \sigma \rangle :={\frac {1}{|\Lambda |}}\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)} .

A medida que aumenta el número de sitios de la rednorte=|Λ|→∞{\displaystyle N=|\Lambda |\rightarrow \infty }, los posibles valores de⟨σ⟩{\displaystyle \langle \sigma \rangle }rellenar la envoltura convexa deS{\displaystyle S}. Al realizar una aproximación adecuada, el funcional de energía se convierte en una función del campo medio, es decir,mi(σ)↦mi(⟨σ⟩).{\displaystyle E(\sigma )\mapsto E(\langle \sigma \rangle ).}La función de partición se convierte entonces en:

Z=∫⟨do⟩d⟨σ⟩mi−βmi(⟨σ⟩)Ω(⟨σ⟩)=:∫⟨do⟩d⟨σ⟩mi−norteβF(⟨σ⟩).{\displaystyle Z=\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-\beta E(\langle \sigma \rangle )}\Omega (\langle \sigma \rangle )=:\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle )}.}

Comonorte→∞{\displaystyle N\rightarrow \infty }, es decir, en el límite termodinámico , la aproximación del punto de silla nos dice que la integral está asintóticamente dominada por el valor en el queF(⟨σ⟩){\displaystyle f(\langle \sigma \rangle )}se minimiza:

Z∼mi−norteβF(⟨σ⟩0){\displaystyle Z\sim e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle _{0})}}

dónde⟨σ⟩0{\displaystyle \langle \sigma \rangle _{0}}es el argumento minimizandoF{\displaystyle f}.

Un enfoque más sencillo, aunque menos riguroso matemáticamente, que sin embargo a veces da resultados correctos, consiste en linealizar la teoría sobre el campo medio.⟨σ⟩{\displaystyle \langle \sigma \rangle }. Escribir configuraciones comoσ(v)=⟨σ⟩+Δσ(v){\displaystyle \sigma (v)=\langle \sigma \rangle +\Delta \sigma (v)}, truncando términos deO(Δσ2){\displaystyle {\mathcal {O}}(\Delta \sigma ^{2})}Luego, al sumar sobre las configuraciones, se puede calcular la función de partición.

Tal enfoque al modelo de Ising periódico end{\displaystyle d}Las dimensiones proporcionan información sobre las transiciones de fase .

Campo medio espacialmente variable

Supongamos el límite continuo de la redΛ{\displaystyle \Lambda }esRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}. En lugar de promediar sobre todos losΛ{\displaystyle \Lambda }, promediamos sobre vecindarios deincógnita∈Rd{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}Esto da como resultado un campo medio que varía espacialmente.⟨σ⟩:Rd→⟨do⟩{\displaystyle \langle \sigma \rangle :\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \langle {\mathcal {C}}\rangle } . Reetiquetamos⟨σ⟩{\displaystyle \langle \sigma \rangle }conϕ{\displaystyle \phi }para acercar la notación a la teoría de campos. Esto permite escribir la función de partición como una integral de trayectoria.

Z=∫Dϕmi−βF[ϕ]{\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\beta F[\phi ]}}

donde la energía libreF[ϕ]{\displaystyle F[\phi ]}es una versión rotada de Wick de la acción en la teoría cuántica de campos .

Ejemplos

Física de la materia condensada

Física de polímeros

Física de altas energías

Véase también

Referencias

  • Baxter, Rodney J. (1982), Modelos resueltos exactamente en mecánica estadística (PDF) , Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578