función de tasa

En la teoría de grandes desviaciones , una función de tasa se utiliza para cuantificar las probabilidades de eventos raros. Estas funciones se emplean para formular principios de grandes desviaciones . Un principio de grandes desviaciones cuantifica la probabilidad asintótica de eventos raros para una secuencia de probabilidades.

Una función de tasa también se denomina función de Cramér , en honor al probabilista sueco Harald Cramér .

Definiciones

Función de tasa Una función de valor real extendida $I:X\to [0,+\infty ]$ definido en un espacio topológico de Hausdorff $X$ Se dice que es una función de tasa si no es idénticamente $+\infty$ y es semicontinuo inferior, es decir, todos los conjuntos de subniveles

\{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{ para }}c\geq 0

están cerrados en $X$ . Si, además, son compactos , entonces $I$ Se dice que es una buena función de tasa .

Una familia de medidas de probabilidad $(\mu _{\delta })_{\delta >0}$ en $X$ Se dice que satisface el principio de grandes desviaciones con función de tasa. $I:X\to [0,+\infty )$ (y tasa $1/\delta$ ) si, para cada conjunto cerrado $F\subsetequ X$ y cada conjunto abierto $G\subsetequ X$ ,

\limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U)}}

\liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L)}}

Si el límite superior (U) se cumple solo para conjuntos compactos (en lugar de cerrados) $F$ , entonces $(\mu _{\delta })_{\delta >0}$ Se dice que satisface el principio de grandes desviaciones débiles (con tasa $1/\delta$ y función de tasa débil $I$ ).

Observaciones

El papel de los conjuntos abiertos y cerrados en el principio de grandes desviaciones es similar a su papel en la convergencia débil de las medidas de probabilidad: recordemos que $(\mu _{\delta })_{\delta >0}$ Se dice que converge débilmente a $\mu$ si, para cada conjunto cerrado $F\subsetequ X$ y cada conjunto abierto $G\subsetequ X$ ,

\limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu (F),

\liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu (G).

Existe cierta variación en la nomenclatura empleada en la literatura: por ejemplo, den Hollander (2000) utiliza simplemente "función de tasa", mientras que este artículo —siguiendo a Dembo y Zeitouni (1998) — emplea "buena función de tasa" y "función de tasa débil". Rassoul-Agha y Seppäläinen (2015) utilizan el término "función de tasa ajustada" en lugar de "buena función de tasa" debido a su relación con la precisión exponencial de una familia de medidas. Independientemente de la nomenclatura utilizada para las funciones de tasa, el análisis de si se supone que la desigualdad del límite superior (U) se cumple para conjuntos cerrados o compactos permite determinar si el principio de grandes desviaciones en uso es fuerte o débil.

Propiedades

Unicidad

Una pregunta natural que cabe plantearse, dado el contexto algo abstracto del marco general anterior, es si la función de tasa es única. Resulta que sí lo es: dada una secuencia de medidas de probabilidad ( μ _δ ) _{δ > 0} en X que satisfacen el principio de grandes desviaciones para dos funciones de tasa I y J , se deduce que I ( x ) = J ( x ) para todo x ∈ X .

estrechez exponencial

Es posible convertir un principio de grandes desviaciones débil en uno fuerte si las medidas convergen con suficiente rapidez. Si el límite superior se cumple para conjuntos compactos _F y la secuencia de medidas ( μδ ) _δ_>₀ es exponencialmente ajustada , entonces el límite superior también se cumple para conjuntos cerrados F. En otras palabras, la rigidez exponencial permite convertir un principio de grandes desviaciones débil en uno fuerte.

Continuidad

Ingenuamente, uno podría intentar reemplazar las dos desigualdades (U) y (L) por el único requisito de que, para todos los conjuntos de Borel S ⊆ X ,

\lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E)}}

La igualdad (E) es demasiado restrictiva, ya que muchos ejemplos interesantes satisfacen (U) y (L) pero no (E). Por ejemplo, la medida μ _δ podría no ser atómica para todo δ , por lo que la igualdad (E) podría cumplirse para S = { x } solo si I fuera idénticamente +∞, lo cual no está permitido en la definición. Sin embargo, las desigualdades (U) y (L) sí implican la igualdad (E) para los llamados conjuntos I -continuos S ⊆ X , aquellos para los cuales

I{\big (}{\stackrel {\circ }{S}}{\big )}=I{\big (}{\bar {S}}{\big )},

dónde ${\stackrel {\circ }{S}}$ y ${\bar {S}}$ denotan el interior y la clausura de S en X respectivamente. En muchos ejemplos, muchos conjuntos/eventos de interés son I -continuos. Por ejemplo, si I es una función continua , entonces todos los conjuntos S tales que

S\subseteq {\bar {\stackrel {\circ }{S}}}

son I -continuos; todos los conjuntos abiertos, por ejemplo, satisfacen esta contención.

Transformación de los principios de grandes desviaciones

Dado un principio de grandes desviaciones en un espacio, suele ser de interés poder construir un principio de grandes desviaciones en otro espacio. Existen varios resultados en este ámbito:

El principio de contracción nos dice cómo un principio de grandes desviaciones en un espacio "empuja hacia adelante" (a través del avance de una medida de probabilidad) a un principio de grandes desviaciones en otro espacio a través de una función continua ;
El teorema de Dawson-Gärtner nos dice cómo una secuencia de principios de grandes desviaciones en una secuencia de espacios pasa al límite proyectivo .
El principio de grandes desviaciones inclinado proporciona un principio de grandes desviaciones para integrales de funcionales exponenciales .
Las medidas exponencialmente equivalentes tienen los mismos principios de grandes desviaciones.

Historia y desarrollo básico

La noción de una función de tasa surgió en la década de 1930 con el estudio del matemático sueco Harald Cramér de una secuencia de variables aleatorias i.i.d. ( Z _i ) _{i∈ $\mathbb {N}$}En concreto, entre algunas consideraciones sobre la escala, Cramér estudió el comportamiento de la distribución de la media. ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ cuando n → ∞. ^{[ 1 ]} Encontró que las colas de la distribución de X _n decaen exponencialmente como e ^{− nλ ( x )} donde el factor λ ( x ) en el exponente es la transformada de Legendre-Fenchel (también conocida como el conjugado convexo ) de la función generadora de cumulantes. $\Psi _{Z}(t)=\log \operatorname {E} e^{tZ}.$ Por esta razón, esta función particular λ ( x ) se denomina a veces función de Cramér . La función de tasa definida anteriormente en este artículo es una generalización amplia de esta noción de Cramér, definida de forma más abstracta en un espacio de probabilidad , en lugar del espacio de estados de una variable aleatoria.

Véase también

teoría de valores extremos

Referencias

^ Cramér, Harald (1938). "Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités". Colloque consacré à la théorie des probabilités, Parte 3, Actualités scientifiques et industrielles (en francés). 731 : 5-23 .

Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Técnicas y aplicaciones de grandes desviaciones . Aplicaciones de las matemáticas (Nueva York) 38 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2.MR 1619036
den Hollander, Frank (2000). Grandes desviaciones . Fields Institute Monographs 14. Providence, RI: American Mathematical Society . p. x+143. ISBN 0-8218-1989-5.MR 1739680
Rassoul-Agha, Firas; Seppäläinen, Timo (2015). Un curso sobre grandes desviaciones con introducción a las medidas de Gibbs . Estudios de Posgrado en Matemáticas 162. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. xiv+318. ISBN 978-0-8218-7578-0.MR 3309619

[1] Cramér, Harald (1938). "Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités". Colloque consacré à la théorie des probabilités, Parte 3, Actualités scientifiques et industrielles (en francés). 731 : 5-23 .

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