Medidas exponencialmente equivalentes

En matemáticas , la equivalencia exponencial de medidas es cómo dos secuencias o familias de medidas de probabilidad son "iguales" desde el punto de vista de la teoría de grandes desviaciones .

Dejar${\displaystyle (M,d)}$Sea un espacio métrico y consideremos dos familias uniparamétricas de medidas de probabilidad en${\displaystyle M}$, decir${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$y${\displaystyle (\nu _ {\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$Se dice que estas dos familias son exponencialmente equivalentes si existen

• una familia de espacios de probabilidad de un parámetro${\displaystyle (\Omega ,\Sigma _{\varepsilon },P_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$,
• dos familias de${\displaystyle M}$variables aleatorias con valor -${\displaystyle (Y_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$y${\displaystyle (Z_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$,

de tal manera que

• para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$, el${\ Displaystyle P _ {\ varepsilon}}$-ley (es decir, la medida de impulso ) de${\displaystyle Y_{\varepsilon }}$es${\displaystyle \mu _{\varepsilon }}$y el${\ Displaystyle P _ {\ varepsilon}}$-ley de${\displaystyle Z_{\varepsilon }}$es${\displaystyle \nu _{\varepsilon }}$,
• para cada${\displaystyle \delta >0}$, "${\displaystyle Y_{\varepsilon }}$y${\displaystyle Z_{\varepsilon }}$están más lejos que${\displaystyle \delta }$aparte" es un${\displaystyle \Sigma _{\varepsilon }}$- evento medible , es decir

${\displaystyle {\big \{}\omega \in \Omega {\big |}d(Y_{\varepsilon }(\omega ),Z_{\varepsilon }(\omega ))>\delta {\big \}}\in \Sigma _{\varepsilon },}$

• para cada${\displaystyle \delta >0}$,

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \downarrow 0}\,\varepsilon \log P_{\varepsilon }{\big (}d(Y_{\varepsilon },Z_{\varepsilon })>\delta {\big )}=-\infty .}$

Las dos familias de variables aleatorias${\displaystyle (Y_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$y${\displaystyle (Z_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$También se dice que son exponencialmente equivalentes .

El principal uso de la equivalencia exponencial es que, en lo que respecta a los principios de grandes desviaciones, las familias de medidas exponencialmente equivalentes son indistinguibles. Más precisamente, si se cumple un principio de grandes desviaciones para${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$con buena función de tasa${\displaystyle I}$, y${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$y${\displaystyle (\nu _ {\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$son exponencialmente equivalentes, entonces el mismo principio de grandes desviaciones se aplica a${\displaystyle (\nu _ {\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$con la misma buena función de tasa${\displaystyle I}$.

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Técnicas y aplicaciones de grandes desviaciones . Aplicaciones de las matemáticas (Nueva York) 38 (Segunda  ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pp.  xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. MR 1619036 . (Véase la sección 4.2.2)