órbita de Kepler

Entre 1665 y 1666, Isaac Newton desarrolló varios conceptos relacionados con el movimiento, la gravitación y el cálculo diferencial. Sin embargo, estos conceptos no se publicaron hasta 1687 en los Principia , donde expuso sus leyes del movimiento y su ley de gravitación universal . Su segunda ley del movimiento, de las tres que ha formulado, establece:

La aceleración de un cuerpo es paralela y directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, tiene la misma dirección que la fuerza neta y es inversamente proporcional a la masa del cuerpo:

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$$

Dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {F} }$es el vector de fuerza
• ${\displaystyle m}$es la masa del cuerpo sobre la cual actúa la fuerza.
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$es el vector de aceleración, la segunda derivada temporal del vector de posición${\displaystyle \mathbf {r} }$

En rigor, esta forma de la ecuación solo se aplica a un objeto de masa constante, lo cual es cierto según las suposiciones simplificadoras que se hacen a continuación.

La ley de gravitación de Newton establece:

Cada masa puntual atrae a cualquier otra masa puntual mediante una fuerza que apunta a lo largo de la línea que interseca ambos puntos. Esta fuerza es proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$$

dónde:

• ${\displaystyle F}$es la magnitud de la fuerza gravitatoria entre las dos masas puntuales
• ${\displaystyle G}$es la constante gravitacional
• ${\displaystyle m_{1}}$es la masa de la primera masa puntual
• ${\displaystyle m_{2}}$es la masa de la segunda masa puntual
• ${\displaystyle r}$es la distancia entre las dos masas puntuales

A partir de las leyes del movimiento y la ley de gravitación universal, Newton pudo derivar las leyes de Kepler, específicas para el movimiento orbital en astronomía. Dado que las leyes de Kepler estaban bien respaldadas por datos de observación, esta coherencia proporcionó un sólido respaldo a la validez de la teoría generalizada de Newton y unificó la mecánica celeste y la ordinaria. Estas leyes del movimiento constituyeron la base de la mecánica celeste moderna hasta que Albert Einstein introdujo los conceptos de relatividad especial y general a principios del siglo XX. Para la mayoría de las aplicaciones, el movimiento kepleriano aproxima los movimientos de planetas y satélites con un grado de precisión relativamente alto y se utiliza ampliamente en astronomía y astrodinámica .

Para resolver el movimiento de un objeto en un sistema de dos cuerpos , se pueden hacer dos suposiciones simplificadoras:

1. Los cuerpos presentan simetría esférica y pueden tratarse como masas puntuales.
2. No existen fuerzas externas ni internas que actúen sobre los cuerpos, aparte de su gravedad mutua.

La forma de los grandes cuerpos celestes es similar a la de una esfera. Por simetría, la fuerza gravitatoria neta que atrae un punto de masa hacia una esfera homogénea debe dirigirse hacia su centro. El teorema de la capa esférica (demostrado también por Isaac Newton) establece que la magnitud de esta fuerza es la misma que si toda la masa estuviera concentrada en el centro de la esfera, incluso si la densidad de la esfera varía con la profundidad (como ocurre en la mayoría de los cuerpos celestes). De esto se deduce inmediatamente que la atracción entre dos esferas homogéneas es como si ambas tuvieran su masa concentrada en su centro.

Los objetos más pequeños, como los asteroides o las naves espaciales, suelen tener una forma que se desvía notablemente de la esférica. Sin embargo, las fuerzas gravitatorias producidas por estas irregularidades son generalmente pequeñas en comparación con la gravedad del cuerpo central. La diferencia entre una forma irregular y una esfera perfecta también disminuye con la distancia, y la mayoría de las distancias orbitales son muy grandes en comparación con el diámetro de un cuerpo pequeño en órbita. Por lo tanto, para algunas aplicaciones, la irregularidad de la forma puede despreciarse sin que ello afecte significativamente a la precisión. Este efecto es bastante notorio en los satélites artificiales terrestres, especialmente en aquellos que se encuentran en órbitas bajas.

Los planetas giran a velocidades variables y, por lo tanto, pueden adoptar una forma ligeramente achatada debido a la fuerza centrífuga. Con esta forma achatada, la atracción gravitatoria se desvía ligeramente de la de una esfera homogénea. A mayores distancias, el efecto de este achatamiento se vuelve insignificante. Los movimientos planetarios en el Sistema Solar pueden calcularse con suficiente precisión si se tratan como masas puntuales.

Dos objetos de masa puntual con masas${\displaystyle m_{1}}$y${\displaystyle m_{2}}$y vectores de posición${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$En relación con algún marco de referencia inercial, se experimentan fuerzas gravitatorias:

$${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$$$${\displaystyle m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$$

dónde${\displaystyle \mathbf {r} }$es el vector de posición relativa de la masa 1 con respecto a la masa 2, expresado como:

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$$

y${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$es el vector unitario en esa dirección y${\displaystyle r}$es la longitud de ese vector.

Dividiendo por sus respectivas masas y restando la segunda ecuación de la primera, se obtiene la ecuación de movimiento para la aceleración del primer objeto con respecto al segundo:

dónde${\displaystyle \alpha }$es el parámetro gravitacional y es igual a

$${\displaystyle \alpha =G(m_{1}+m_{2})}$$

En muchas aplicaciones, se puede hacer una tercera suposición simplificadora:

En comparación con el cuerpo central, la masa del cuerpo en órbita es insignificante. Matemáticamente, m ₁ >> m ₂ , por lo que α = G ( m ₁ + m ₂ ) ≈ Gm ₁ . Tales parámetros gravitacionales estándar , a menudo denotados como${\displaystyle \mu =G\,M}$, están ampliamente disponibles para el Sol, los planetas principales y la Luna, que tienen masas mucho mayores.${\displaystyle M}$que sus satélites en órbita.

Esta suposición no es necesaria para resolver el problema simplificado de dos cuerpos, pero simplifica los cálculos, particularmente con satélites que orbitan la Tierra y planetas que orbitan el Sol. Incluso la masa de Júpiter es menor que la del Sol por un factor de 1047, ^{[ 3 ]} lo que constituiría un error de 0,096% en el valor de α . Las excepciones notables incluyen el sistema Tierra-Luna (relación de masas de 81,3), el sistema Plutón-Caronte (relación de masas de 8,9) y los sistemas estelares binarios. Bajo estas suposiciones la ecuación diferencial para el caso de dos cuerpos puede resolverse completamente matemáticamente y la órbita resultante que sigue las leyes de Kepler del movimiento planetario se llama una "órbita de Kepler". Las órbitas de todos los planetas son, con alta precisión, órbitas de Kepler alrededor del Sol. Las pequeñas desviaciones se deben a las atracciones gravitatorias mucho más débiles entre los planetas y, en el caso de Mercurio , a la relatividad general . Las órbitas de los satélites artificiales alrededor de la Tierra son, con una buena aproximación, órbitas de Kepler con pequeñas perturbaciones debidas a la atracción gravitatoria del Sol, la Luna y el achatamiento de la Tierra. En aplicaciones de alta precisión, donde la ecuación de movimiento debe integrarse numéricamente teniendo en cuenta todas las fuerzas gravitatorias y no gravitatorias (como la presión de la radiación solar y la resistencia atmosférica ), los conceptos de órbita de Kepler son de suma importancia y se utilizan ampliamente.

Cualquier trayectoria kepleriana puede definirse mediante seis parámetros. El movimiento de un objeto en el espacio tridimensional se caracteriza por un vector de posición y un vector de velocidad. Cada vector tiene tres componentes, por lo que el número total de valores necesarios para definir una trayectoria en el espacio es seis. Una órbita se define generalmente mediante seis elementos (conocidos como elementos keplerianos ) que se pueden calcular a partir de la posición y la velocidad, tres de los cuales ya se han mencionado. Estos elementos son convenientes porque, de los seis, cinco permanecen constantes para una órbita sin perturbaciones (en marcado contraste con dos vectores que cambian constantemente). La ubicación futura de un objeto dentro de su órbita se puede predecir y su nueva posición y velocidad se pueden obtener fácilmente a partir de los elementos orbitales.

Dos definen el tamaño y la forma de la trayectoria:

• Semieje mayor (${\displaystyle a}$)
• Excentricidad (${\displaystyle e}$)

Tres definen la orientación del plano orbital :

• Inclinación (${\displaystyle i}$) define el ángulo entre el plano orbital y el plano de referencia.
• Longitud del nodo ascendente (${\displaystyle \Omega }$) define el ángulo entre la dirección de referencia y el cruce ascendente de la órbita en el plano de referencia (el nodo ascendente).
• Argumento de periapsis (${\displaystyle \omega }$) define el ángulo entre el nodo ascendente y el periapsis.

Y finalmente:

• Anomalía verdadera (${\displaystyle \nu }$) define la posición del cuerpo en órbita a lo largo de la trayectoria, medida desde el periapsis. Se pueden utilizar varios valores alternativos en lugar de la anomalía verdadera, siendo el más común${\displaystyle M}$la anomalía media y${\displaystyle T}$, el tiempo transcurrido desde el periapsis.

Porque${\displaystyle i}$,${\displaystyle \Omega }$y${\displaystyle \omega }$Las medidas angulares son simplemente mediciones que definen la orientación de la trayectoria en el sistema de referencia, pero no son estrictamente necesarias al analizar el movimiento del objeto dentro del plano orbital. Se mencionan aquí a modo de aclaración, pero no son imprescindibles para las demostraciones que se presentan a continuación.

Para el movimiento bajo cualquier fuerza central, es decir, una fuerza paralela a r , el momento angular relativo específico$${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$$permanece constante: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }$$

Dado que el producto vectorial del vector de posición y su velocidad permanece constante, deben estar en el mismo plano, ortogonal a${\displaystyle \mathbf {H} }$Esto implica que la función vectorial es una curva plana .

Debido a que la ecuación tiene simetría alrededor de su origen, es más fácil resolverla en coordenadas polares. Sin embargo, la ecuación ( 1 ) se refiere a la aceleración lineal.${\displaystyle \left({\ddot {\mathbf {r} }}\right),}$en contraposición a angular${\displaystyle \left({\ddot {\theta }}\right)}$o radial${\displaystyle \left({\ddot {r}}\right)}$aceleración. Por lo tanto, hay que tener cuidado al transformar la ecuación. Introduciendo un sistema de coordenadas cartesianas${\displaystyle ({\sombrero {\mathbf {x} }},{\sombrero {\mathbf {y} }})}$y vectores unitarios polares${\displaystyle ({\sombrero {\mathbf {r} }},{\sombrero {\mathbf {q} }})}$en el plano ortogonal a${\displaystyle \mathbf {H} }$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\\{\hat {\mathbf {q} }}&=-\sin {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\cos {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$

La función vectorial${\displaystyle \mathbf {r} }$y sus derivados ahora se pueden reescribir como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r\left(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }}\right)=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {q} }}\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}\end{aligned}}}$$

(véase " Cálculo vectorial "). Sustituyendo estos valores en ( 1 ) se obtiene: $${\displaystyle \left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\mathbf {q} }}}$$

Esto da como resultado la ecuación diferencial ordinaria en las dos variables.${\displaystyle r}$y${\displaystyle \theta }$:

Para resolver esta ecuación, deben eliminarse todas las derivadas temporales. Esto nos lleva a: $${\displaystyle H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=\left|{\begin{pmatrix}r\cos(\theta )\\r\sin(\theta )\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }}\\{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }}\\0\end{pmatrix}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}0\\0\\r^{2}{\dot {\theta }}\end{pmatrix}}\right|=r^{2}{\dot {\theta }}}$$

Al tomar la derivada temporal de ( 3 ) se obtiene

Las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ) se pueden utilizar para eliminar las derivadas temporales de${\displaystyle \theta }$. Para eliminar las derivadas temporales de${\displaystyle r}$La regla de la cadena se utiliza para encontrar sustituciones adecuadas:

Utilizando estas cuatro sustituciones, se pueden eliminar todas las derivadas temporales en ( 2 ), obteniendo una ecuación diferencial ordinaria para${\displaystyle r}$como función de${\displaystyle \theta .}$$${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$

La ecuación diferencial ( 7 ) puede resolverse analíticamente mediante la sustitución de variables.

Utilizando la regla de la cadena para la diferenciación se obtiene:

Utilizando las expresiones ( 10 ) y ( 9 ) para${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$y${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}}$obtiene

con la solución general

donde e y${\displaystyle \theta _{0}}$son constantes de integración que dependen de los valores iniciales de s y${\displaystyle {\tfrac {ds}{d\theta }}.}$

En lugar de utilizar la constante de integración${\displaystyle \theta _{0}}$Se introduce explícitamente la convención de que los vectores unitarios${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$Los sistemas de coordenadas que definen el plano orbital se seleccionan de tal manera que${\displaystyle \theta _{0}}$toma el valor cero y e es positivo. Esto significa entonces que${\displaystyle \theta }$es cero en el punto donde${\displaystyle s}$es máximo y por lo tanto${\displaystyle r={\tfrac {1}{s}}}$es mínimo. Definiendo el parámetro p como${\displaystyle {\tfrac {H^{2}}{\alpha }}}$uno tiene eso

$${\displaystyle r={\frac {1}{s}}={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}$$

Para${\displaystyle e=0}$Este es un círculo con radio p .

Para${\displaystyle 0<e<1,}$esta es una elipse con

Para${\displaystyle e=1}$Esta es una parábola con distancia focal${\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}$

Para${\displaystyle e>1}$esta es una hipérbola con

La siguiente imagen ilustra un círculo (gris), una elipse (rojo), una parábola (verde) y una hipérbola (azul).

El punto en la línea horizontal que sale hacia la derecha desde el punto focal es el punto con${\displaystyle \theta =0}$para la cual la distancia al foco toma el valor mínimo${\displaystyle {\tfrac {p}{1+e}},}$el pericentro. Para la elipse también existe un apocentro para el cual la distancia al foco toma el valor máximo.${\displaystyle {\tfrac {p}{1-e}}.}$Para la hipérbola el rango para${\displaystyle \theta }$es $${\displaystyle -\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)}$$ y para una parábola el rango es $${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$$

Utilizando la regla de la cadena para la diferenciación ( 5 ), la ecuación ( 2 ) y la definición de p como${\displaystyle {\frac {H^{2}}{\alpha }}}$uno obtiene que el componente de velocidad radial es

y que la componente tangencial (componente de velocidad perpendicular a${\displaystyle V_{r}}$) es

La conexión entre el argumento polar${\displaystyle \theta }$y el tiempo t es ligeramente diferente para las órbitas elípticas e hiperbólicas.

Para una órbita elíptica se pasa a la " anomalía excéntrica " ​​E para la cual

y, en consecuencia,

y el momento angular H es

Integrando con respecto al tiempo t se obtiene

bajo el supuesto de que el tiempo${\displaystyle t=0}$se selecciona de tal manera que la constante de integración sea cero.

Como por definición de p uno tiene

Esto se puede escribir

Para una órbita hiperbólica se utilizan las funciones hiperbólicas para la parametrización.

para lo cual uno tiene

y el momento angular H es

Integrando con respecto al tiempo t se obtiene

es decir

Para encontrar qué tiempo, t, corresponde a una determinada anomalía verdadera.${\displaystyle \theta }$Es necesario calcular el parámetro E correspondiente conectado al tiempo con la relación ( 27 ) para una órbita elíptica y con la relación ( 34 ) para una órbita hiperbólica.

Nótese que las relaciones ( 27 ) y ( 34 ) definen una correspondencia entre los rangos. $${\displaystyle \left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$$

Este es el " problema de valor inicial " para la ecuación diferencial ( 1 ), que es una ecuación de primer orden para el "vector de estado" de 6 dimensiones.${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$cuando se escribe como

Para cualquier valor del "vector de estado" inicial${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$La órbita de Kepler correspondiente a la solución de este problema de valor inicial se puede encontrar con el siguiente algoritmo:

Definir los vectores unitarios ortogonales${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}$a través de

con${\displaystyle r>0}$y${\displaystyle V_{t}>0}$

De ( 13 ), ( 18 ) y ( 19 ) se deduce que al establecer

y definiendo${\displaystyle e\geq 0}$y${\displaystyle \theta }$de tal manera que

dónde

uno obtiene una órbita de Kepler que para verdadera anomalía${\displaystyle \theta }$tiene la misma r ,${\displaystyle V_{r}}$y${\displaystyle V_{t}}$valores como los definidos por ( 50 ) y ( 51 ).

Si esta órbita de Kepler también tiene la misma${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}$vectores para esta verdadera anomalía${\displaystyle \theta }$como los definidos por ( 50 ) y ( 51 ) el vector de estado${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$La órbita de Kepler toma los valores deseados${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$para anomalía verdadera${\displaystyle \theta }$.

El sistema de coordenadas fijo inercial estándar${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}$en el plano orbital (con${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$dirigida desde el centro de la esfera homogénea hacia el pericentro) que define la orientación de la sección cónica (elipse, parábola o hipérbola) se puede determinar entonces con la relación

Nótese que las relaciones ( 53 ) y ( 54 ) tienen una singularidad cuando${\displaystyle V_{r}=0}$y $${\displaystyle V_{t}=V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}}}$$ es decir

lo cual es el caso de que se trata de una órbita circular que se ajusta al estado inicial.${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$

Para cualquier vector de estado${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$La órbita de Kepler correspondiente a este estado se puede calcular con el algoritmo definido anteriormente. Primero los parámetros${\displaystyle p,e,\theta }$se determinan a partir de${\displaystyle r,V_{r},V_{t}}$y luego los vectores unitarios ortogonales en el plano orbital${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$utilizando las relaciones ( 56 ) y ( 57 ).

Si ahora la ecuación de movimiento es

dónde $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$ es una función distinta de $${\displaystyle -\alpha {\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}}$$ los parámetros resultantes${\displaystyle p}$,${\displaystyle e}$,${\displaystyle \theta }$,${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$,${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$definido por${\displaystyle \mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}}$todo variará con el tiempo a diferencia del caso de una órbita de Kepler para la cual solo el parámetro${\displaystyle \theta }$variará.

Se dice que la órbita de Kepler calculada de esta manera que tiene el mismo "vector de estado" que la solución de la "ecuación de movimiento" ( 59 ) en el tiempo t es "osculante" en este momento.

Este concepto es útil, por ejemplo, en caso $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=-\alpha {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}+\mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$ dónde $${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$

Se trata de una pequeña "fuerza perturbadora" debida, por ejemplo, a una débil atracción gravitatoria de otros cuerpos celestes. Los parámetros de la órbita osculadora de Kepler cambiarán entonces lentamente, y dicha órbita constituye una buena aproximación a la órbita real durante un periodo considerable antes y después del momento de la osculación.

Este concepto también puede ser útil para un cohete durante el vuelo propulsado, ya que indica en qué órbita de Kepler continuaría el cohete en caso de que se apagara el empuje.

Para una órbita "casi circular", el concepto de " vector de excentricidad " se define como${\displaystyle \mathbf {e} =e{\hat {\mathbf {x} }}}$es útil. De ( 53 ), ( 54 ) y ( 56 ) se deduce que

es decir${\displaystyle \mathbf {e} }$es una función suave y diferenciable del vector de estado${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$también si este estado corresponde a una órbita circular.