Elementos orbitales

Los elementos orbitales son los parámetros necesarios para identificar de forma única una órbita específica . En mecánica celeste, estos elementos se consideran en sistemas de dos cuerpos utilizando una órbita de Kepler . Hay muchas formas diferentes de describir matemáticamente la misma órbita, pero ciertos esquemas, cada uno de los cuales consta de un conjunto de seis parámetros, se utilizan comúnmente en astronomía y mecánica orbital .

Una órbita real y sus elementos cambian con el tiempo debido a las perturbaciones gravitacionales de otros objetos y a los efectos de la relatividad general . Una órbita de Kepler es una aproximación matemática idealizada de la órbita en un momento determinado.

Los elementos orbitales tradicionales son los seis elementos keplerianos , según Johannes Kepler y sus leyes del movimiento planetario .

Cuando se observan desde un marco inercial , dos cuerpos en órbita trazan trayectorias distintas. Cada una de estas trayectorias tiene su foco en el centro de masa común . Cuando se observan desde un marco no inercial centrado en uno de los cuerpos, solo es evidente la trayectoria del cuerpo opuesto; los elementos keplerianos describen estas trayectorias no inerciales. Una órbita tiene dos conjuntos de elementos keplerianos según qué cuerpo se use como punto de referencia. El cuerpo de referencia (generalmente el más masivo) se llama primario , el otro cuerpo se llama secundario . El primario no necesariamente posee más masa que el secundario, e incluso cuando los cuerpos tienen la misma masa, los elementos orbitales dependen de la elección del primario.

Dos elementos definen la forma y el tamaño de la elipse:

• Excentricidad ( e ): forma de la elipse, que describe cuánto se alarga en comparación con un círculo (no está marcado en el diagrama).
• Semieje mayor ( a ): la mitad de la distancia entre el apoápside y el periápside . La parte del semieje mayor que se extiende desde el primario en un foco hasta el periápside se muestra como una línea violeta en el diagrama; el resto (desde el primario/foco hasta el centro de la elipse de la órbita) está debajo del plano de referencia y no se muestra.

Dos elementos definen la orientación del plano orbital en el que se encuentra incrustada la elipse:

• Inclinación ( i ): inclinación vertical de la elipse con respecto al plano de referencia, medida en el nodo ascendente (donde la órbita pasa hacia arriba a través del plano de referencia, el ángulo verde i en el diagrama). El ángulo de inclinación se mide perpendicularmente a la línea de intersección entre el plano orbital y el plano de referencia. Tres puntos distintos cualesquiera en una elipse definirán el plano orbital de la elipse. El plano y la elipse son ambos objetos bidimensionales definidos en el espacio tridimensional.
• Longitud del nodo ascendente ( Ω ): orienta horizontalmente el nodo ascendente de la elipse (donde la órbita pasa de sur a norte a través del plano de referencia, simbolizado por ☊ ) con respecto al punto vernal del sistema de referencia (simbolizado por ♈︎). Esto se mide en el plano de referencia y se muestra como el ángulo verde Ω en el diagrama.

Los dos elementos restantes son los siguientes:

• El argumento del periapsis ( ω ) define la orientación de la elipse en el plano orbital, como un ángulo medido desde el nodo ascendente hasta el periapsis (el punto más cercano que el cuerpo satélite llega al cuerpo primario alrededor del cual orbita), el ángulo púrpura ω en el diagrama.
• La anomalía verdadera ( ν , θ o f ) en la época ( t ₀ ) define la posición del cuerpo en órbita a lo largo de la elipse en un momento específico (la "época"), expresada como un ángulo desde el periapsis.

La anomalía media M es un "ángulo" ficticio matemáticamente conveniente que no corresponde a un ángulo geométrico real, sino que varía linealmente con el tiempo, representándose un período orbital completo mediante un "ángulo" de 2 π radianes . Se puede convertir en la anomalía verdadera ν , que representa el ángulo geométrico real en el plano de la elipse, entre el periapsis (el punto de aproximación más cercano al cuerpo central) y la posición del cuerpo en órbita en un momento dado. Por lo tanto, la anomalía verdadera se muestra como el ángulo rojo ν en el diagrama, y ​​la anomalía media no se muestra.

Los ángulos de inclinación, la longitud del nodo ascendente y el argumento del periapsis también pueden describirse como los ángulos de Euler que definen la orientación de la órbita con respecto al sistema de coordenadas de referencia.

Nótese que también existen trayectorias no elípticas, pero no son cerradas y, por lo tanto, no son órbitas. Si la excentricidad es mayor que uno, la trayectoria es una hipérbola . Si la excentricidad es igual a uno, la trayectoria es una parábola . Independientemente de la excentricidad, la órbita degenera en una trayectoria radial si el momento angular es igual a cero.

Dado un marco de referencia inercial y una época arbitraria (un punto específico en el tiempo), son necesarios exactamente seis parámetros para definir de manera inequívoca una órbita arbitraria y no perturbada.

Esto se debe a que el problema contiene seis grados de libertad . Estos corresponden a las tres dimensiones espaciales que definen la posición ( x , y , z en un sistema de coordenadas cartesianas ), más la velocidad en cada una de estas dimensiones. Estos pueden describirse como vectores de estado orbital , pero esta suele ser una forma incómoda de representar una órbita, por lo que se utilizan comúnmente elementos keplerianos.

A veces se considera que la época es un "séptimo" parámetro orbital, en lugar de parte del marco de referencia.

Si se define la época como el momento en que uno de los elementos es cero, el número de elementos no especificados se reduce a cinco. (El sexto parámetro sigue siendo necesario para definir la órbita; simplemente se establece numéricamente en cero por convención o se "mueve" a la definición de la época con respecto al tiempo del reloj del mundo real).

Los elementos keplerianos se pueden obtener a partir de vectores de estados orbitales (un vector tridimensional para la posición y otro para la velocidad) mediante transformaciones manuales o con software de computadora. ^[1]

Otros parámetros orbitales pueden calcularse a partir de los elementos keplerianos, como el período , la apoapsis y la periapsis . (Al orbitar la Tierra, los dos últimos términos se conocen como apogeo y perigeo). Es común especificar el período en lugar del semieje mayor en los conjuntos de elementos keplerianos, ya que cada uno puede calcularse a partir del otro siempre que se proporcione el parámetro gravitacional estándar , GM , para el cuerpo central.

En lugar de la anomalía media en la época , se podría utilizar la anomalía media M , la longitud media , la anomalía verdadera ν ₀ o (raramente) la anomalía excéntrica .

Si, por ejemplo, se utiliza la "anomalía media" en lugar de la "anomalía media en la época", se debe especificar el momento t como séptimo elemento orbital. A veces se supone que la anomalía media es cero en la época (eligiendo la definición adecuada de la época), dejando solo los otros cinco elementos orbitales por especificar.

Se utilizan diferentes conjuntos de elementos para varios cuerpos astronómicos. La excentricidad, e , y el semieje mayor, a , o la distancia del periapsis, q , se utilizan para especificar la forma y el tamaño de una órbita. La longitud del nodo ascendente, Ω , la inclinación, i , y el argumento del periapsis, ω , o la longitud del periapsis, ϖ , especifican la orientación de la órbita en su plano. La longitud en la época, L ₀ , la anomalía media en la época, M ₀ , o el momento del paso por el perihelio, T ₀ , se utilizan para especificar un punto conocido en la órbita. Las elecciones realizadas dependen de si se utiliza el equinoccio vernal o el nodo como referencia principal. El semieje mayor se conoce si se conocen el movimiento medio y la masa gravitacional . ^{[2] [3]}

También es bastante común ver la anomalía media ( M ) o la longitud media ( L ) expresadas directamente, sin M ₀ ni L ₀ como pasos intermedios, como una función polinómica con respecto al tiempo. Este método de expresión consolidará el movimiento medio ( n ) en el polinomio como uno de los coeficientes. La apariencia será que L o M se expresan de una manera más complicada, pero parecerá que necesitaremos un elemento orbital menos.

El movimiento medio también puede quedar oculto tras las citas del período orbital P. ^{[ aclaración necesaria ]}

Los ángulos Ω , i , ω son los ángulos de Euler (correspondientes a α , β , γ en la notación utilizada en ese artículo) que caracterizan la orientación del sistema de coordenadas.

dónde:

• Î , Ĵ está en el plano ecuatorial del cuerpo central. Î está en la dirección del equinoccio de primavera. Ĵ es perpendicular a Î y con Î define el plano de referencia. K̂ es perpendicular al plano de referencia. Los elementos orbitales de los cuerpos (planetas, cometas, asteroides, ...) en el Sistema Solar suelen tenercomo plano la eclíptica .
• x̂ , ŷ están en el plano orbital y con x̂ en la dirección del pericentro ( periapsis ). ẑ es perpendicular al plano de la órbita. ŷ es mutuamente perpendicular a x̂ y ẑ .

Entonces, la transformación del marco de coordenadas Î , Ĵ , K̂ al marco x̂ , ŷ , ẑ con los ángulos de Euler Ω , i , ω es: donde $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\cos \Omega \cdot \cos \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega \ ;\\x_{2}&=\sin \Omega \cdot \cos \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega \ ;\\x_{3}&=\sin i\cdot \sin \omega ;\\\,\\y_{1}&=-\cos \Omega \cdot \sin \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega \ ;\\y_{2}&=-\sin \Omega \cdot \sin \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega \ ;\\y_{3}&=\sin i\cdot \cos \omega \ ;\\\,\\z_{1}&=\sin i\cdot \sin \Omega \ ;\\z_{2}&=-\sin i\cdot \cos \Omega \ ;\\z_{3}&=\cos i\ ;\\\end{alineado}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \omega &\sin \omega &0\\-\sin \omega &\cos \omega &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos i&\sin i\\0&-\sin i&\cos i\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}\cos \Omega &\sin \Omega &0\\-\sin \Omega &\cos \Omega &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,;}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {x}} &=x_{1}\mathbf {\hat {I}} +x_{2}\mathbf {\hat {J}} +x_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {y}} &=y_{1}\mathbf {\hat {I}} +y_{2}\mathbf {\hat {J}} +y_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {z}} &=z_{1}\mathbf {\hat {I}} +z_{2}\mathbf {\hat {J}} +z_{3}\mathbf {\hat {K}} ~.\\\end{aligned}}}$$

La transformación inversa, que calcula las 3 coordenadas del sistema IJK dadas las 3 (o 2) coordenadas del sistema xyz, se representa mediante la matriz inversa. Según las reglas del álgebra matricial , la matriz inversa del producto de las 3 matrices de rotación se obtiene invirtiendo el orden de las tres matrices e intercambiando los signos de los tres ángulos de Euler.

Eso es,

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}i_{1}&i_{2}&i_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{3}\\k_{1}&k_{2}&k_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \Omega &-\sin \Omega &0\\\sin \Omega &\cos \Omega &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos i&-\sin i\\0&\sin i&\cos i\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}\cos \omega &-\sin \omega &0\\\sin \omega &\cos \omega &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,;}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {I}} &=i_{1}\mathbf {\hat {x}} +i_{2}\mathbf {\hat {y}} +i_{3}\mathbf {\hat {z}} ~;\\\mathbf {\hat {J}} &=j_{1}\mathbf {\hat {x}} +j_{2}\mathbf {\hat {y}} +j_{3}\mathbf {\hat {z}} ~;\\\mathbf {\hat {K}} &=k_{1}\mathbf {\hat {x}} +k_{2}\mathbf {\hat {y}} +k_{3}\mathbf {\hat {z}} ~.\\\end{aligned}}}$$

La transformación de x̂ , ŷ , ẑ a ángulos de Euler Ω , i , ω es: donde arg( x , y ) significa el argumento polar que se puede calcular con la función estándar atan2(y,x) disponible en muchos lenguajes de programación. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\operatorname {arg} \left(-z_{2},z_{1}\right)\\i&=\operatorname {arg} \left(z_{3},{\sqrt {{z_{1}}^{2}+{z_{2}}^{2}}}\right)\\\omega &=\operatorname {arg} \left(y_{3},x_{3}\right)\\\end{aligned}}}$$

En condiciones ideales de un cuerpo central perfectamente esférico, perturbaciones cero y efectos relativistas despreciables, todos los elementos orbitales excepto la anomalía media son constantes. La anomalía media cambia linealmente con el tiempo, escalada por el movimiento medio , ^[2] donde μ es el parámetro gravitacional estándar . Por lo tanto, si en cualquier instante t ₀ los parámetros orbitales son ( e ₀ , a ₀ , i ₀ , Ω ₀ , ω ₀ , M ₀ ) , entonces los elementos en el tiempo t = t ₀ + δt están dados por ( e ₀ , a ₀ , i ₀ , Ω ₀ , ω ₀ , M ₀ + n δt ) . $${\displaystyle n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}.}$$

Las órbitas newtonianas de dos cuerpos no perturbadas son siempre secciones cónicas , por lo que los elementos keplerianos definen una elipse , una parábola o una hipérbola . Las órbitas reales tienen perturbaciones, por lo que un conjunto dado de elementos keplerianos describe con precisión una órbita solo en la época. La evolución de los elementos orbitales se produce debido a la atracción gravitatoria de cuerpos distintos del primario, la no esfericidad del primario, el arrastre atmosférico , los efectos relativistas , la presión de radiación , las fuerzas electromagnéticas , etc.

Los elementos keplerianos se pueden utilizar a menudo para producir predicciones útiles en momentos cercanos a la época. Alternativamente, las trayectorias reales se pueden modelar como una secuencia de órbitas keplerianas que oscilan ("besan" o tocan) la trayectoria real. También se pueden describir mediante las llamadas ecuaciones planetarias, ecuaciones diferenciales que vienen en diferentes formas desarrolladas por Lagrange , Gauss , Delaunay , Poincaré o Hill .

Los parámetros de los elementos keplerianos se pueden codificar como texto en varios formatos. El más común de ellos es el formato de elementos de dos líneas (TLE) de la NASA / NORAD , ^[4] diseñado originalmente para su uso con tarjetas perforadas de 80 columnas, pero que todavía se utiliza porque es el formato más común y las bases de datos modernas pueden manejar registros ASCII de 80 caracteres de manera eficiente.

Dependiendo de la aplicación y la órbita del objeto, los datos derivados de TLE con más de 30 días de antigüedad pueden resultar poco fiables. Las posiciones orbitales se pueden calcular a partir de TLE mediante modelos de perturbación simplificados ( SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8). ^[5]

Ejemplo de un elemento de dos líneas: ^[6]

1 27651U 03004A 07083.49636287 .00000119 00000-0 30706-4 0 2692
2 27651 039.9951 132.2059 0025931 073.4582 286.9047 14.81909376225249

Los elementos orbitales de Delaunay fueron introducidos por Charles-Eugène Delaunay durante su estudio del movimiento de la Luna . ^[7] Comúnmente llamadas variables de Delaunay , son un conjunto de variables canónicas , que son coordenadas de acción-ángulo . Los ángulos son sumas simples de algunos de los ángulos keplerianos:

• la longitud media : ,${\displaystyle \ell =M+\omega +\Omega }$
• la longitud del periapsis : , y${\displaystyle g=\omega +\Omega }$
• la longitud del nodo ascendente :${\displaystyle h=\Omega }$

junto con sus respectivos momentos conjugados , L , G y H. ^[8] Los momentos L , G y H son las variables de acción y son combinaciones más elaboradas de los elementos keplerianos a , e e i .

Las variables de Delaunay se utilizan para simplificar los cálculos perturbativos en mecánica celeste, por ejemplo, al investigar las oscilaciones de Kozai-Lidov en sistemas triples jerárquicos. ^[8] La ventaja de las variables de Delaunay es que permanecen bien definidas y no singulares (excepto h , que puede tolerarse) cuando e y/o i son muy pequeñas: Cuando la órbita de la partícula de prueba es casi circular ( ), o casi "plana" ( ). ${\displaystyle e\approx 0}$${\displaystyle i\approx 0}$

• Longitud aparente
• Familia de asteroides , asteroides que comparten elementos orbitales propios similares
• Angulo beta
• Efemérides
• Modelo geopotencial
• Inclinación orbital
• Vectores de estados orbitales
• Elementos orbitales propios
• Órbita osculante

• Gurfil, Pini (2005). "Parámetros de Euler como elementos orbitales no singulares en órbitas casi ecuatoriales". Journal of Guidance, Control, and Dynamics . 28 (5): 1079–1084. Bibcode :2005JGCD...28.1079G. doi :10.2514/1.14760.

• "Tutorial". AMSAT . Elementos keplerianos. Archivado desde el original el 14 de octubre de 2002.

• "Tutorial de órbitas". marine.rutgers.edu . Archivado desde el original el 19 de abril de 2021 . Consultado el 30 de julio de 2019 .

• "Visualizador de elementos orbitales". orbitalmechanics.info .

• Informe nº 3 (PDF) . celestrak (Informe). Spacetrack. Mando de Defensa Aeroespacial de América del Norte (NORAD). Archivado (PDF) desde el original el 3 de septiembre de 2000.– un tratamiento serio de los elementos orbitales

• "Preguntas frecuentes". Celestrak . Elementos de dos líneas. Archivado desde el original el 26 de marzo de 2016.

• "Las efemérides en línea del JPL HORIZONS".– también proporciona elementos orbitales para un gran número de objetos del sistema solar

• "Parámetros orbitales medios". ssd.jpl.nasa.gov . Satélites planetarios. JPL / NASA.

• "Introducción a la exportación". ssd.jpl.nasa.gov . Efemérides planetarias y lunares del JPL. JPL / NASA.

• "Vectores de estado: VEC2TLE". MindSpring (software). Archivado desde el original el 3 de marzo de 2016.– acceso al software VEC2TLE

• "Función 'iauPlan94'" ( fuente de software C ). Biblioteca C IAU SOFA.– elementos orbitales de los planetas principales