Modelado de órbitas

El método de Cowell es un método de perturbación especial; ^{[ 3 ]} matemáticamente, para${\displaystyle n}$cuerpos que interactúan entre sí, fuerzas newtonianas sobre el cuerpo${\displaystyle i}$de los otros cuerpos${\displaystyle j}$se resumen simplemente así,

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}=\sum _{\underset {j\neq i}{j=1}}^{n}{Gm_{j}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}) \over r_{ij}^{3}}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}}$es el vector de aceleración del cuerpo${\displaystyle i}$

${\displaystyle G}$es la constante gravitacional

${\displaystyle m_{j}}$es la masa del cuerpo${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$y${\displaystyle \mathbf {r} _ {j}}$son los vectores de posición de los objetos${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$

${\displaystyle r_{ij}}$es la distancia desde el objeto${\displaystyle i}$oponerse${\displaystyle j}$

con todos los vectores referidos al baricentro del sistema. Esta ecuación se resuelve en componentes en${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$,${\displaystyle z}$Estos se integran numéricamente para formar los nuevos vectores de velocidad y posición a medida que la simulación avanza en el tiempo. La ventaja del método de Cowell es su facilidad de aplicación y programación. Una desventaja es que cuando las perturbaciones se vuelven de gran magnitud (como cuando un objeto se acerca a otro), los errores del método también aumentan. ^{[ 4 ]} Otra desventaja es que en sistemas con un cuerpo central dominante, como el Sol , es necesario utilizar muchas cifras significativas en los cálculos debido a la gran diferencia en las fuerzas del cuerpo central y los cuerpos perturbadores. ^{[ 5 ]}

El método de Encke comienza con la órbita osculadora como referencia e integra numéricamente para calcular la variación respecto a la referencia en función del tiempo. ^{[ 6 ]} Sus ventajas son que las perturbaciones suelen ser de pequeña magnitud, por lo que la integración puede realizarse en pasos mayores (con los consiguientes errores menores), y el método se ve mucho menos afectado por perturbaciones extremas que el método de Cowell. Su desventaja es la complejidad; no puede utilizarse indefinidamente sin actualizar ocasionalmente la órbita osculadora y continuar a partir de ahí, un proceso conocido como rectificación . ^{[ 4 ] [ 7 ]}

Alquiler${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$sea ​​el vector de radio de la órbita osculadora ,${\displaystyle \mathbf {r} }$el vector de radio de la órbita perturbada, y${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$la variación de la órbita osculadora,

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$y${\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {\rho }}}}$son simplemente las ecuaciones de movimiento de${\displaystyle \mathbf {r} }$y${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$,

dónde${\displaystyle \mu =G(M+m)}$es el parámetro gravitacional con${\displaystyle M}$y${\displaystyle m}$las masas del cuerpo central y del cuerpo perturbado,${\displaystyle \mathbf {a} _{\text{per}}}$es la aceleración perturbadora , y${\displaystyle r}$y${\displaystyle \rho }$son las magnitudes de${\displaystyle \mathbf {r} }$y${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$.

Sustituyendo las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ) en la ecuación ( 2 ),

que, en teoría, podría integrarse dos veces para encontrar${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$. Dado que la órbita osculadora se calcula fácilmente mediante métodos de dos cuerpos,${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$y${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$se tienen en cuenta y${\displaystyle \mathbf {r} }$se puede resolver. En la práctica, la cantidad entre paréntesis,${\displaystyle {{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}}$, es la diferencia de dos vectores casi iguales, y es necesaria una manipulación adicional para evitar la necesidad de dígitos significativos adicionales . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

En 1991, Victor R. Bond y Michael F. Fraietta crearon un método eficiente y de alta precisión para resolver el problema perturbado de dos cuerpos. ^{[ 10 ]} Este método utiliza las ecuaciones diferenciales de movimiento linealizadas y regularizadas derivadas por Hans Sperling y una teoría de perturbación basada en estas ecuaciones desarrollada por C. A. Burdet en 1864. En 1973, Bond y Hanssen mejoraron el conjunto de ecuaciones diferenciales de Burdet utilizando la energía total del sistema perturbado como parámetro en lugar de la energía de dos cuerpos y reduciendo el número de elementos a 13. En 1989, Bond y Gottlieb incorporaron la integral jacobiana, que es una constante cuando la función potencial depende explícitamente del tiempo y de la posición en las ecuaciones newtonianas. La constante jacobiana se utilizó como un elemento para reemplazar la energía total en una reformulación de las ecuaciones diferenciales de movimiento. En este proceso, se introduce otro elemento que es proporcional a un componente del momento angular. Esto hizo que el número total de elementos volviera a ser 14. En 1991, Bond y Fraietta realizaron nuevas revisiones reemplazando el vector de Laplace con otra integral vectorial, así como con otra integral escalar que eliminó pequeños términos seculares que aparecían en las ecuaciones diferenciales para algunos de los elementos. ^{[ 11 ]}

El método Sperling-Burdet se ejecuta en un proceso de 5 pasos como sigue: ^{[ 11 ]}

Paso 1: Inicialización

Dada una posición inicial,${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$, una velocidad inicial,${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$y un tiempo inicial,${\displaystyle t_{0}}$Se inicializan las siguientes variables:

${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle r_{0}=(\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {r} _{0})^{1/2}}$

${\displaystyle a=r_{0}}$

${\displaystyle b=\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {v} _{0}}$

${\displaystyle \tau =t_{0}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=\mathbf {r} _{0}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=a\mathbf {v} _{0}}$

Perturbaciones debidas a masas perturbadoras, definidas como${\displaystyle V_{0}}$y${\displaystyle {\Bigg [}{\partial {V} \over {\partial {\mathbf {r} }}}{\Bigg ]}_{0}}$, son evaluados

Perturbaciones debidas a otras aceleraciones, definidas como${\displaystyle \mathbf {P} _{0}}$, son evaluados

${\displaystyle \alpha _{J}={\frac {2\mu }{r_{0}}}-\mathbf {v} _{0}\cdot \mathbf {v} _{0}-2V_{0}}$

${\displaystyle \gamma =\mu -\alpha _{J}a}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}=-(\mathbf {v} _{0}\cdot \mathbf {v} _{0})\mathbf {r} _{0}+(\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {v} _{0})\mathbf {v} _{0}+{\frac {\mu }{r_{0}}}\mathbf {r} _{0}-\alpha _{J}\mathbf {r} _{0}}$

${\displaystyle \sigma =0}$

Paso 2: Transformar elementos en coordenadas

${\displaystyle \mathbf {r} ={\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }}sc_{1}+{\boldsymbol {\delta }}s^{2}c_{2}}$

${\displaystyle \mathbf {r'} ={\boldsymbol {\beta }}c_{0}+{\boldsymbol {\delta }}sc_{1}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}=\alpha _{J}({\boldsymbol {\alpha }}-\mathbf {r} )+{\boldsymbol {\delta }}}$

${\displaystyle \gamma =\mu -\alpha _{J}a}$

${\displaystyle r=a+bsc_{1}+\gamma s^{2}c_{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {r'} /r}$

${\displaystyle r'=bc_{0}+\gamma sc_{1}}$

${\displaystyle t=\tau +as+bs^{2}c_{2}+\gamma s^{3}c_{3}}$

dónde${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}}$son funciones de Stumpff

Paso 3: Evaluar las ecuaciones diferenciales para los elementos.

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {P} -{\partial {V} \over \partial {\mathbf {r} }}}$

${\displaystyle \mathbf {Q} =r^{2}\mathbf {F} +2\mathbf {r} (-V+\sigma )}$

${\displaystyle \alpha '_{J}=2(-\mathbf {r'} +r{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\cdot \mathbf {P} }$

${\displaystyle \mu {\boldsymbol {\epsilon }}'=2(\mathbf {r'} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {r'} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r'} )\mathbf {F} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}'=-\mathbf {Q} sc_{1}-\mu {\boldsymbol {\epsilon }}'s^{2}c_{2}-\alpha '_{J}{\big [}{\boldsymbol {\alpha }}s^{2}c_{2}+2{\boldsymbol {\beta }}s^{3}{\bar {c}}_{3}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\delta }}s^{4}c_{2}^{2}{\big ]}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}'=\mathbf {Q} c_{0}+\mu {\boldsymbol {\epsilon }}'sc_{1}+\alpha '_{J}{\big [}{\boldsymbol {\alpha }}sc_{1}+{\boldsymbol {\beta }}s^{2}{\bar {c}}_{2}-{\boldsymbol {\delta }}s^{3}(2{\bar {c}}_{3}-c_{1}c_{2}){\big ]}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}'=\mathbf {Q} \alpha _{J}sc_{1}-\mu {\boldsymbol {\epsilon }}'c_{0}+\alpha '_{J}{\big [}-{\boldsymbol {\alpha }}c_{0}+2\alpha _{J}{\boldsymbol {\beta }}s^{3}{\bar {c}}_{3}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\delta }}\alpha _{J}s^{4}c_{2}^{2}{\big ]}}$

${\displaystyle \sigma '=r{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} \times \mathbf {F} }$

${\displaystyle a'=-{\frac {1}{r}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {Q} sc_{1}-\alpha _{J}'{\big [}as^{2}c_{2}+2bs^{3}{\bar {c}}_{3}+{\frac {1}{2}}\gamma s^{4}c_{2}^{2}{\big ]}}$

${\displaystyle b'={\frac {1}{r}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {Q} c_{0}+\alpha _{J}'{\big [}asc_{1}+bs^{2}{\bar {c}}_{2}-\gamma s^{3}(2{\bar {c}}_{3}-c_{1}c_{2}){\big ]}}$

${\displaystyle \gamma '=-{\frac {1}{r}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {Q} \alpha _{J}sc_{1}+\alpha _{J}'{\big [}-ac_{0}+2b\alpha _{J}s^{3}{\bar {c}}_{3}+{\frac {1}{2}}\gamma \alpha _{J}s^{4}c_{2}^{2}{\big ]}}$

${\displaystyle \tau '={\frac {1}{r}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {Q} s^{2}c_{2}+\alpha _{J}'{\big [}as^{3}c_{3}+{\frac {1}{2}}bs^{4}c_{2}^{2}-2\gamma s^{5}(c_{5}-4{\bar {c}}_{5}){\big ]}}$

Paso 4: Integración

Aquí las ecuaciones diferenciales se integran durante un período${\displaystyle \Delta s}$para obtener el valor del elemento en${\displaystyle s+\Delta s}$

Paso 5: Avanzar

Colocar${\displaystyle s=s+\Delta s}$y volver al paso 2 hasta que se cumplan las condiciones de parada de la simulación.

La Tierra no es una esfera perfecta ni su masa está distribuida uniformemente en su interior. Esto provoca que el modelo de gravedad de masa puntual sea inexacto para las órbitas alrededor de la Tierra, en particular para las órbitas terrestres bajas . Para tener en cuenta las variaciones en el potencial gravitatorio alrededor de la superficie terrestre, el campo gravitatorio de la Tierra se modela con armónicos esféricos ^{[ 12 ],} que se expresan mediante la ecuación:

${\displaystyle {\mathbf {f} }=-{\frac {\mu }{R^{2}}}\mathbf {\hat {r}} +\sum _{n=2}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}{\mathbf {f} }_{n,m}}$

dónde

${\displaystyle {\mu }}$es el parámetro gravitacional definido como el producto de G, la constante gravitacional universal , y la masa del cuerpo primario.

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$es el vector unitario que define la distancia entre los cuerpos primario y secundario, con${\displaystyle {R}}$siendo la magnitud de la distancia.

${\displaystyle {\mathbf {f} }_{n,m}}$representa la contribución a${\displaystyle {\mathbf {f} }}$del armónico esférico de grado n y orden m , que se define como: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} _{n,m}&={\frac {\mu R_{O}^{2}}{R^{n+m+1}}}\left({\frac {C_{n,m}{\mathcal {C}}_{m}+S_{n,m}{\mathcal {S}}_{m}}{R}}(A_{n,m+1}\mathbf {\hat {e}} _{3}-\left(s_{\lambda }A_{n,m+1}+(n+m+1)A_{n,m}\right)\mathbf {\hat {r}} \right)\\[10pt]&{}\quad {}+mA_{n,m}((C_{n,m}{\mathcal {C}}_{m-1}+S_{n,m}{\mathcal {S}}_{m-1})\mathbf {\hat {e}} _{1}+(S_{n,m}{\mathcal {C}}_{m-1}-C_{n,m}{\mathcal {S}}_{m-1})\mathbf {\hat {e}} _{2}))\end{aligned}}}$

dónde:

${\displaystyle R_{O}}$es el radio ecuatorial medio del cuerpo principal.

${\displaystyle R}$es la magnitud del vector de posición desde el centro del cuerpo primario hasta el centro del cuerpo secundario.

${\displaystyle C_{n,m}}$y${\displaystyle S_{n,m}}$son coeficientes gravitacionales de grado n y orden m . Estos se obtienen típicamente mediante mediciones gravimétricas .

Los vectores unitarios${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}}$definir un sistema de coordenadas fijo en el cuerpo principal. Para la Tierra,${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1}}$se encuentra en el plano ecuatorial paralelo a una línea que interseca el centro geométrico de la Tierra y el meridiano de Greenwich ,${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{3}}$apunta en la dirección del eje polar norte, y${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{2}=\mathbf {\hat {e}} _{3}\times \mathbf {\hat {e}} _{1}}$

${\displaystyle A_{n,m}}$Se denomina polinomio de Legendre derivado de grado n y orden m . Se resuelven mediante la relación de recurrencia :${\displaystyle A_{n,m}(u)={\frac {1}{n-m}}((2n-1)uA_{n-1,m}(u)-(n+m-1)A_{n-2,m}(u))}$

${\displaystyle s_{\lambda }}$es el seno de la latitud geográfica del cuerpo secundario, que es${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {\hat {e}} _{3}}$.

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{m},{\mathcal {S}}_{m}}$se definen con la siguiente relación de recurrencia y condiciones iniciales:${\displaystyle {\mathcal {C}}_{m}={\mathcal {C}}_{1}{\mathcal {C}}_{m-1}-{\mathcal {S}}_{1}{\mathcal {S}}_{m-1},{\mathcal {S}}_{m}={\mathcal {S}}_{1}{\mathcal {C}}_{m-1}+{\mathcal {C}}_{1}{\mathcal {S}}_{m-1},{\mathcal {S}}_{0}=0,{\mathcal {S}}_{1}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {\hat {e}} _{2},{\mathcal {C}}_{0}=1,{\mathcal {C}}_{1}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {\hat {e}} _{1}}$

Al modelar perturbaciones de una órbita alrededor de un cuerpo primario, solo la suma de las${\displaystyle {\mathbf {f} }_{n,m}}$Los términos deben incluirse en la perturbación ya que el modelo de gravedad de masa puntual se tiene en cuenta en el${\displaystyle -{\frac {\mu }{R^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$término

Las fuerzas gravitatorias de terceros cuerpos pueden causar perturbaciones en una órbita. Por ejemplo, el Sol y la Luna causan perturbaciones en las órbitas alrededor de la Tierra. ^{[ 13 ]} Estas fuerzas se modelan de la misma manera que se modela la gravedad para el cuerpo primario mediante simulaciones gravitatorias directas de N cuerpos . Típicamente, solo se utiliza un modelo de gravedad de masa puntual esférica para modelar los efectos de estos terceros cuerpos. ^{[ 14 ]} Algunos casos especiales de perturbaciones de terceros cuerpos tienen soluciones analíticas aproximadas. Por ejemplo, las perturbaciones para la ascensión recta del nodo ascendente y el argumento del perigeo para una órbita circular de la Tierra son: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\dot {\Omega }}_{\mathrm {MOON} }=-0.00338(\cos(i))/n}$

${\displaystyle {\dot {\omega }}_{\mathrm {MOON} }=-0.00169(4-5\sin ^{2}(i))/n}$

dónde:

${\displaystyle {\dot {\Omega }}}$es el cambio en la ascensión recta del nodo ascendente en grados por día.

${\displaystyle {\dot {\omega }}}$es el cambio al argumento del perigeo en grados por día.

${\displaystyle i}$es la inclinación orbital .

${\displaystyle n}$es el número de revoluciones orbitales por día.

La presión de la radiación solar provoca perturbaciones en las órbitas. La magnitud de la aceleración que imparte a una nave espacial en órbita terrestre se modela mediante la siguiente ecuación: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle a_{R}\approx -4.5\times 10^{-6}(1+r)A/m}$

dónde:

${\displaystyle a_{R}}$es la magnitud de la aceleración en metros por segundo al cuadrado.

${\displaystyle A}$es el área de la sección transversal expuesta al Sol en metros cuadrados.

${\displaystyle m}$es la masa de la nave espacial en kilogramos .

${\displaystyle r}$es el factor de reflexión que depende de las propiedades del material.${\displaystyle r=0}$para absorción,${\displaystyle r=1}$para reflexión especular y${\displaystyle r\approx 0.4}$para reflexión difusa .

Para las órbitas alrededor de la Tierra, la presión de la radiación solar se convierte en una fuerza más fuerte que la resistencia por encima de los 800 km (500 millas) de altitud. ^{[ 13 ]}  

Existen muchos tipos diferentes de propulsión para naves espaciales. Los motores de cohete son uno de los más utilizados. La fuerza de un motor de cohete se modela mediante la ecuación: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle F_{n}={\dot {m}}\;v_{\text{e}}={\dot {m}}\;v_{\text{e-act}}+A_{\text{e}}(p_{\text{e}}-p_{\text{amb}})}$

Otro método posible es la vela solar . Las velas solares utilizan la presión de radiación para lograr la fuerza propulsora deseada. ^{[ 16 ]} El modelo de perturbación debido al viento solar puede utilizarse como modelo de la fuerza propulsora de una vela solar.

La principal fuerza no gravitatoria que actúa sobre los satélites en órbita terrestre baja es la resistencia atmosférica. ^{[ 13 ]} La resistencia actúa en oposición a la dirección de la velocidad y extrae energía de la órbita. La fuerza debida a la resistencia se modela mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{d}\,A,}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {F} _{D}}$es la fuerza de arrastre,

${\displaystyle \mathbf {} \rho }$es la densidad del fluido, ^{[ a ]}

${\displaystyle \mathbf {} v}$es la velocidad del objeto con respecto al fluido,

${\displaystyle \mathbf {} C_{d}}$es el coeficiente de arrastre (un parámetro adimensional , por ejemplo, de 2 a 4 para la mayoría de los satélites ^{[ 13 ]} )

${\displaystyle \mathbf {} A}$es el área de referencia .

Las órbitas con una altitud inferior a 120 km (75 mi) generalmente tienen una resistencia tan alta que decaen demasiado rápido como para que un satélite tenga una vida útil suficiente para cumplir cualquier misión práctica. Por otro lado, las órbitas con una altitud superior a 600 km (370 mi) tienen una resistencia relativamente baja, por lo que decaen lo suficientemente lento como para no tener un impacto real en el satélite durante su vida útil. ^{[ 13 ]} La densidad del aire puede variar significativamente en la termosfera, donde residen la mayoría de los satélites en órbita terrestre baja. Esta variación se debe principalmente a la actividad solar, por lo que dicha actividad puede influir enormemente en la fuerza de resistencia sobre una nave espacial y complicar la simulación de órbitas a largo plazo. ^{[ 13 ]}    

Los campos magnéticos pueden desempeñar un papel importante como fuente de perturbación orbital, como se observó en la Instalación de Exposición de Larga Duración . ^{[ 12 ]} Al igual que la gravedad, el campo magnético de la Tierra puede expresarse mediante armónicos esféricos, como se muestra a continuación: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\mathbf {B} }=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}{\mathbf {B} }_{n,m}}$

dónde

${\displaystyle {\mathbf {B} }}$es el vector del campo magnético en un punto situado sobre la superficie terrestre.

${\displaystyle {\mathbf {B} }_{n,m}}$representa la contribución a${\displaystyle {\mathbf {B} }}$del armónico esférico de grado n y orden m , definido como: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} _{n,m}={}&{\frac {K_{n,m}a^{n+2}}{R^{n+m+1}}}\left[{\frac {g_{n,m}{\mathcal {C}}_{m}+h_{n,m}{\mathcal {S}}_{m}}{R}}((s_{\lambda }A_{n,m+1}+(n+m+1)A_{n,m})\mathbf {\hat {r}} )-A_{n,m+1}\mathbf {\hat {e}} _{3}\right]\\[10pt]&{}-mA_{n,m}((g_{n,m}{\mathcal {C}}_{m-1}+h_{n,m}{\mathcal {S}}_{m-1})\mathbf {\hat {e}} _{1}+(h_{n,m}{\mathcal {C}}_{m-1}-g_{n,m}{\mathcal {S}}_{m-1})\mathbf {\hat {e}} _{2}))\end{aligned}}}$

dónde:

${\displaystyle a}$es el radio ecuatorial medio del cuerpo principal.

${\displaystyle R}$es la magnitud del vector de posición desde el centro del cuerpo primario hasta el centro del cuerpo secundario.

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$es un vector unitario en la dirección del cuerpo secundario con su origen en el centro del cuerpo primario.

${\displaystyle g_{n,m}}$y${\displaystyle h_{n,m}}$son coeficientes de Gauss de grado n y orden m . Estos se obtienen normalmente mediante mediciones de campos magnéticos .

Los vectores unitarios${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}}$definir un sistema de coordenadas fijo en el cuerpo principal. Para la Tierra,${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1}}$se encuentra en el plano ecuatorial paralelo a una línea que interseca el centro geométrico de la Tierra y el meridiano de Greenwich ,${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{3}}$apunta en la dirección del eje polar norte, y${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{2}=\mathbf {\hat {e}} _{3}\times \mathbf {\hat {e}} _{1}}$

${\displaystyle A_{n,m}}$Se denomina polinomio de Legendre derivado de grado n y orden m . Se resuelven mediante la relación de recurrencia:${\displaystyle A_{n,m}(u)={\frac {1}{n-m}}((2n-1)uA_{n-1,m}(u)-(n+m-1)A_{n-2,m}(u))}$

${\displaystyle K_{n,m}}$se define como: 1 si m  =  0,${\displaystyle {\big [}{\frac {n-m}{n+m}}{\big ]}^{0.5}K_{n-1,m}}$para${\displaystyle n\geq (m+1)}$y${\displaystyle m=[1\ldots \infty ]}$, y${\displaystyle [(n+m)(n-m+1)]^{-0.5}K_{n,m-1}}$para${\displaystyle n\geq m}$y${\displaystyle m=[2\ldots \infty ]}$

${\displaystyle s_{\lambda }}$es el seno de la latitud geográfica del cuerpo secundario, que es${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {\hat {e}} _{3}}$.

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{m},{\mathcal {S}}_{m}}$se definen con la siguiente relación de recurrencia y condiciones iniciales:${\displaystyle {\mathcal {C}}_{m}={\mathcal {C}}_{1}{\mathcal {C}}_{m-1}-{\mathcal {S}}_{1}{\mathcal {S}}_{m-1},{\mathcal {S}}_{m}={\mathcal {S}}_{1}{\mathcal {C}}_{m-1}+{\mathcal {C}}_{1}{\mathcal {S}}_{m-1},{\mathcal {S}}_{0}=0,{\mathcal {S}}_{1}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {\hat {e}} _{2},{\mathcal {C}}_{0}=1,{\mathcal {C}}_{1}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {\hat {e}} _{1}}$