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Articulo de referencia

Función Stumpff

En mecánica celeste , las funciones de Stumpff do k ( incógnita ) , {\displaystyle \ c_{k}(x)\ ,} fueron desarrolladas por Karl Stumpff para analizar trayectorias y órbitas ...

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En mecánica celeste , las funciones de Stumpff dok(incógnita) ,{\displaystyle \ c_{k}(x)\ ,}fueron desarrolladas por Karl Stumpff para analizar trayectorias y órbitas utilizando la formulación de variables universales . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Se definen mediante la serie alternada :

 dok(incógnita) ≡ 1 k¡ −incógnita (k+2)¡ + incógnita2 (k+4)¡ −⋯ = ∑norte=0∞  (−1)norte incógnitanorte  (k+2norte)¡   {\displaystyle \ c_{k}(x)~\equiv ~{\frac {1}{\ k!\ }}-{\frac {x}{~\left(k+2\right)!\ }}+{\frac {\ x^{2}}{~\left(k+4\right)!\ }}-\cdots ~=~\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {\ (-1)^{n}\ x^{n}\ }{\ \left(k+2n\right)!\ }}~~}para  k=0,1,2,3, …  .{\displaystyle ~~k=0,1,2,3,\ \ldots ~~.}

Al igual que las funciones seno , coseno y exponencial , las funciones de Stumpff son funciones enteras bien comportadas  : sus series convergen absolutamente para cualquier argumento finito. incógnita .{\displaystyle \ x~.}

Las funciones de Stumpff son útiles para trabajar con trayectorias de lanzamiento desde la superficie y para impulsarse desde órbitas cerradas a trayectorias de escape , ya que las fórmulas para trayectorias de naves espaciales que las utilizan se fusionan suavemente desde órbitas cerradas convencionales (círculos y elipses, excentricidad e : 0 ≤ e < 1 ) a órbitas abiertas (parábolas e hipérbolas, ( e ≥ 1 ), sin singularidades ni números imaginarios que aparezcan en las expresiones a medida que el vehículo de lanzamiento gana velocidad hasta la velocidad de escape y más allá. (La misma ventaja se da a la inversa, cuando una nave espacial desacelera desde una trayectoria de llegada para entrar en una órbita cerrada alrededor de su destino, o desciende a la superficie de un planeta desde una órbita estable). 

Relación con las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas

Al comparar la expansión en serie de Taylor de las funciones trigonométricas seno y coseno con do0(incógnita) {\displaystyle \ c_{0}(x)\ }y do1(incógnita) ,{\displaystyle \ c_{1}(x)\ ,}Se puede encontrar una relación. incógnita>0 :{\displaystyle ~x>0\ :}

do0(incógnita) =  porque⁡incógnita  ,do1(incógnita) =  pecado⁡incógnita  incógnita  .{\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}(x)~&=~~\cos {\sqrt {x\ }}\ ,\\[1ex]c_{1}(x)~&=~{\frac {\ \sin {\sqrt {x\ }}\ }{\sqrt {x\ }}}~.\end{aligned}}}

De manera similar, al comparar con la expansión de las funciones hiperbólicas sinh y cosh encontramos que incógnita<0 :{\displaystyle ~x<0\ :}

do0(incógnita) =  aporrear⁡−incógnita  ,do1(incógnita) =  sinh⁡−incógnita  −incógnita  .{\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}(x)~&=~~\cosh {\sqrt {-x\ }}\ ,\\[1ex]c_{1}(x)~&=~{\frac {\ \sinh {\sqrt {-x\ }}\ }{\sqrt {-x\ }}}~.\end{aligned}}}

Las órbitas circulares y elípticas utilizan las relaciones seno y coseno, mientras que las órbitas hiperbólicas utilizan las relaciones seno hiperbólica y coseno hiperbólico. Las fórmulas para las órbitas parabólicas (órbitas de escape marginales) constituyen un caso intermedio especial.

Tenga en cuenta que pecado⁡(incógnita)/incógnita =desde⁡(incógnita){\displaystyle \ \sin(x)\,/\,x\ =\operatorname {sinc} (x)}, la función cardinal seno ; y de manera similar para sinh como la función cardinal seno hiperbólica, sinhc. Por definición  desde⁡(0)=sinhc⁡(0)=1 {\displaystyle \ \operatorname {sinc} (0)=\operatorname {sinhc} (0)=1\ }.

Por lo tanto: do0(incógnita)={porque⁡incógnita si incógnita≥0,aporrear⁡−incógnita si incógnita<0.do1(incógnita)={desde⁡incógnita si incógnita≥0,sinhc⁡−incógnita si incógnita<0.{\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}(x)&={\begin{cases}\cos {\sqrt {x\ }}\quad &{\text{si }}x\geq 0,\\\cosh {\sqrt {-x\ }}\quad &{\text{si }}x<0.\end{cases}}\\[2ex]c_{1}(x)&={\begin{cases}\operatorname {sinc} {\sqrt {x\ }}\quad &{\text{si }}x\geq 0,\\\operatorname {sinhc} {\sqrt {-x\ }}\quad &{\text{si }}x<0.\end{cases}}\end{aligned}}}

Recursión

Para las funciones de Stumpff de orden superior necesarias tanto para las trayectorias ordinarias como para la teoría de perturbaciones , se puede utilizar la relación de recurrencia :

 incógnita dok+2(incógnita)=1k¡−dok(incógnita) {\displaystyle \ x\ c_{k+2}(x)={\frac {1}{k!}}-c_{k}(x)~}para k=0,1,2, …  ,{\displaystyle ~k=0,1,2,\ \ldots \ ~,}

o cuando incógnita≠0 {\displaystyle \ x\neq 0\ }

 dok+2(incógnita) =  1 incógnita( 1k¡−dok(incógnita) ) {\displaystyle \ c_{k+2}(x)~=~{\frac {\ 1\ }{x}}\left(\ {\frac {1}{k!}}-c_{k}(x)\ \right)~}para k=0,1,2, …  .{\displaystyle ~k=0,1,2,\ \ldots ~~.}

Utilizando esta recursión, las dos funciones de Stumpff adicionales necesarias para la formulación de la variable universal son: do2(incógnita)={1 − porque⁡incógnita  incógnitasi incógnita>0, 12si incógnita=0,1 − aporrear⁡−incógnita  incógnitasi incógnita<0.do3(incógnita)={1 − desde⁡incógnita  incógnitasi incógnita>0, 16si incógnita=0,1 − sinhc⁡−incógnita  incógnitasi incógnita<0.{\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}(x)&={\begin{cases}{\dfrac {1~-~\cos {\sqrt {x\ }}\ }{x}}\quad &{\text{si }}x>0,\\~{\tfrac {1}{2}}\quad &{\text{si }}x=0,\\{\dfrac {1~-~\cosh {\sqrt {-x\ }}\ }{x}}\quad &{\text{si }}x<0.\end{cases}}\\[2ex]c_{3}(x)&={\begin{cases}{\dfrac {1~-~\operatorname {sinc} {\sqrt {x\ }}\ }{x}}\quad &{\text{si }}x>0,\\~{\tfrac {1}{6}}\quad &{\text{si }}x=0,\\{\dfrac {1~-~\operatorname {sinhc} {\sqrt {-x\ }}\ }{x}}\quad &{\text{si }}x<0.\end{cases}}\end{aligned}}}

Implementación de software

Mediante la aproximación de ángulo pequeño , ambosporque⁡incógnita{\displaystyle \cos {\sqrt {x}}}ydesde⁡incógnita{\displaystyle \operatorname {sinc} {\sqrt {x}}}están cerca de 1 para pequeñosincógnita{\displaystyle x}, al igual que sus contrapartes hiperbólicasaporrear⁡−incógnita{\displaystyle \cosh {\sqrt {-x}}}ysinhc⁡−incógnita{\displaystyle \operatorname {sinhc} {\sqrt {-x}}}; porque⁡incógnita{\displaystyle \cos {\sqrt {x}}}también está cerca de 1 paraincógnita=(4π2)norte2{\displaystyle x=(4\pi ^{2})n^{2}}. Restar estos de 1 es vulnerable a una cancelación catastrófica .

Paraincógnita≤(k+1)(k+2)/2{\displaystyle x\leq (k+1)(k+2)/2}la suma parcial de la serie de potencias dedok(incógnita){\displaystyle c_{k}(x)}puede evaluarse como un polinomio sin una pérdida grave de precisión. Sin embargo, cuanto mayor sea|incógnita|{\displaystyle |x|}cuantos más términos se requieran para lograr una precisión determinada .|incógnita|≤ϵ(k+1)(k+2)/2{\displaystyle |x|\leq \epsilon \,(k+1)(k+2)/2}entonces solo se requiere el término constante del polinomio, dondeϵ{\displaystyle \epsilon }es el épsilon de la máquina .

La resta(1−porque⁡θ){\displaystyle (1-\cos \theta )}se puede calcular sin cancelación como la función versina : versión⁡θ=1−porque⁡θ=2pecado2⁡θ2{\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}} aunque esto solo gana una precisión significativa paraθ≈(2π)norte{\displaystyle \theta \approx (2\pi )n}. Similarmente: 1−aporrear⁡θ=−2sinh2⁡θ2{\displaystyle 1-\cosh \theta =-2\sinh ^{2}{\frac {\theta }{2}}}

Una implementación precisa del software combinará estas técnicas en rangos apropiados basándose en un análisis numérico de la función y la precisión aritmética de la máquina .

Relaciones con otras funciones

Las funciones de Stumpff pueden expresarse en términos de la función de Mittag-Leffler :

 dok(incógnita) = mi2,k+1(−incógnita)  .{\displaystyle \ c_{k}(x)~=~E_{2,k+1}(-x)~~.}

Referencias

  1. ↑ Karl Stumpf (1956). Himmelsmechanik [ Mecánica Celestial ] (en alemán). Deutscher Verlag der Wissenschaften .
  2. ↑ Danby, JMA (1988). Fundamentos de mecánica celeste ( edición revisada). Willman–Bell. ISBN  9780023271403.
  3. ↑ Stiefel, Eduard ; Scheifele, Gerhard (1971). Mecánica celeste lineal y regular: movimiento de dos cuerpos perturbado, métodos numéricos, teoría canónica . Springer-Verlag . ISBN 978-0-38705119-2.