Método iterativo

Los métodos iterativos estacionarios resuelven un sistema lineal con un operador que aproxima el original; y, basándose en una medición del error en el resultado ( el residuo ), forman una "ecuación de corrección" para la cual se repite este proceso. Si bien estos métodos son sencillos de derivar, implementar y analizar, la convergencia solo está garantizada para una clase limitada de matrices.

Un método iterativo se define por $${\displaystyle \mathbf {x} ^{k+1}:=\Psi (\mathbf {x} ^{k}),\quad k\geq 0}$$ y para un sistema lineal dado${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$con solución exacta${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$el error por $${\displaystyle \mathbf {e} ^{k}:=\mathbf {x} ^{k}-\mathbf {x} ^{*},\quad k\geq 0.}$$ Un método iterativo se denomina lineal si existe una matriz${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$de tal manera que $${\displaystyle \mathbf {e} ^{k+1}=C\mathbf {e} ^{k}\quad \forall k\geq 0}$$ y esta matriz se llama matriz de iteración . Un método iterativo con una matriz de iteración dada.${\displaystyle C}$Se dice que es convergente si se cumple lo siguiente. $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }C^{k}=0.}$$

Un teorema importante establece que para un método iterativo dado y su matriz de iteración${\displaystyle C}$es convergente si y solo si su radio espectral${\displaystyle \rho (C)}$ es menor que la unidad, es decir, $${\displaystyle \rho (C)<1.}$$

Los métodos iterativos básicos funcionan dividiendo la matriz.${\displaystyle A}$en $${\displaystyle A=MN}$$ y aquí la matriz${\displaystyle M}$debería ser fácilmente invertible . Los métodos iterativos ahora se definen como $${\displaystyle M\mathbf {x} ^{k+1}=N\mathbf {x} ^{k}+\mathbf {b} ,\quad k\geq 0,}$$ o, equivalentemente, $${\displaystyle \mathbf {x} ^{k+1}=\mathbf {x} ^{k}+M^{-1}\left(\mathbf {b} -A\mathbf {x} ^{k}\right),\quad k\geq 0.}$$ De esto se deduce que la matriz de iteración viene dada por $${\displaystyle C=IM^{-1}A=M^{-1}N.}$$

Ejemplos básicos de métodos iterativos estacionarios utilizan una división de la matriz.${\displaystyle A}$como $${\displaystyle A=D+L+U\,,\quad D:=\operatorname {diag} ((a_{ii})_{i})}$$ dónde${\displaystyle D}$es solo la parte diagonal de${\displaystyle A}$, y${\displaystyle L}$es la parte triangular inferior estricta de${\displaystyle A}$. Respectivamente,${\displaystyle U}$es la parte triangular superior estricta de${\displaystyle A}$.

• Método Richardson :$${\displaystyle M:={\frac {1}{\omega }}I\quad (\omega \neq 0)}$$
• Método Jacobi :$${\displaystyle M:=D}$$
• Método de Jacobi amortiguado :$${\displaystyle M:={\frac {1}{\omega }}D\quad (\omega \neq 0)}$$
• Método de Gauss-Seidel :$${\displaystyle M:=D+L}$$
• Método de sobrerrelajación sucesiva (SOR):$${\displaystyle M:={\frac {1}{\omega }}D+L\quad (\omega \neq 0)}$$
• Sobrerrelajación sucesiva simétrica (SSOR):$${\displaystyle M:={\frac {1}{\omega \left(2-\omega \right)}}\left(D+\omega L\right)D^{-1}\left(D+\omega U\right)\quad (\omega \not \in \{0,2\})}$$

Los métodos iterativos estacionarios lineales también se denominan métodos de relajación .

Dado que estos métodos constituyen la base, es evidente que convergen en N iteraciones, donde N es el tamaño del sistema. Sin embargo, en presencia de errores de redondeo, esta afirmación no se cumple; además, en la práctica N puede ser muy grande, y el proceso iterativo alcanza la precisión suficiente mucho antes. El análisis de estos métodos es complejo, ya que depende de una función intrincada del espectro del operador.