método de residuos mínimos

El método de residuos mínimos o MINRES es un método de subespacio de Krylov para la solución iterativa de sistemas de ecuaciones lineales simétricas . Fue propuesto por los matemáticos Christopher Conway Paige y Michael Alan Saunders en 1975. ^{[ 1 ]}

A diferencia del popular método CG , el método MINRES no presupone que la matriz sea semidefinida positiva ; solo es obligatorio que la matriz sea simétrica .

El método GMRES es esencialmente una generalización de MINRES para matrices arbitrarias. Ambos minimizan la norma 2 del residuo y realizan los mismos cálculos en aritmética exacta cuando la matriz es simétrica. MINRES es un método de recurrencia corta con un requerimiento de memoria constante, mientras que GMRES requiere almacenar todo el espacio de Krylov, por lo que su requerimiento de memoria es aproximadamente proporcional al número de iteraciones. Por otro lado, GMRES tiende a sufrir menos pérdida de ortogonalidad. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El método MINRES calcula iterativamente una solución aproximada de un sistema lineal de ecuaciones de la forma $${\displaystyle Ax=b,}$$ dónde${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$es una matriz simétrica y${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$un vector .

Para ello, la norma del residuo${\displaystyle r(x):=b-Ax}$en un${\displaystyle k}$subespacio de Krylov de dimensión -$${\displaystyle V_{k}=x_{0}+\operatorname {span} \{r_{0},Ar_{0}\ldots ,A^{k-1}r_{0}\}}$$ se minimiza. Aquí${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$es un valor inicial (a menudo cero) y${\displaystyle r_{0}:=r(x_{0})}$.

Más precisamente, definimos las soluciones aproximadas.${\displaystyle x_{k}}$a través de $${\displaystyle x_{k}:=\mathrm {argmin} _{x\in V_{k}}\|r(x)\|,}$$ dónde${\displaystyle \|\cdot \|}$es la norma euclidiana estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Debido a la simetría de${\displaystyle A}$A diferencia del método GMRES , es posible realizar este proceso de minimización de forma recursiva, almacenando solo los dos pasos anteriores (recurrencia corta). Esto ahorra memoria.

Nota: El método MINRES es más complicado que el método de residuo conjugado algebraicamente equivalente. Por lo tanto, el método de residuo conjugado (CR) se presentó a continuación como sustituto. Se diferencia de MINRES en que, en MINRES, las columnas de una base del espacio de Krylov (denotado a continuación por${\displaystyle p_{k}}$) pueden ser ortogonalizados, mientras que en CR sus imágenes (abajo etiquetadas con${\displaystyle s_{k}}$) se puede ortogonalizar mediante la recursión de Lanczos. Existen variantes más eficientes y precondicionadas con menos AXPY. Compárese con el artículo.

Primero eliges${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$arbitrario y computar $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{0}&=b-Ax_{0}\\p_{0}&=r_{0}\\s_{0}&=Ap_{0}\end{aligned}}}$$

Luego iteramos para${\displaystyle k=1,2,\dots }$siguiendo los siguientes pasos:

En el caso de matrices definidas positivas, la tasa de convergencia del método MINRES puede estimarse de forma similar a la del método CG. ^{[ 3 ]} Sin embargo, a diferencia del método CG, la estimación no se aplica a los errores de las iteraciones, sino al residuo. Se aplica lo siguiente:

$${\displaystyle \|r_{k}\|\leq 2\left({\frac {{\sqrt {\kappa (A)}}-1}{{\sqrt {\kappa (A)}}+1}}\right)^{k}\|r_{0}\|,}$$

dónde${\displaystyle \kappa (A)}$es el número de condición de la matriz${\displaystyle A}$. Porque${\displaystyle A}$es normal, tenemos $${\displaystyle \kappa (A)={\frac {\left|\lambda _{\text{max}}(A)\right|}{\left|\lambda _{\text{min}}(A)\right|}},}$$ dónde${\displaystyle \lambda _{\text{max}}(A)}$y${\displaystyle \lambda _{\text{min}}(A)}$son los valores propios máximos y mínimos de${\displaystyle A}$, respectivamente.

• Método de residuo mínimo , Wolfram MathWorld, 26 de julio de 2022.