Vector de intervalo

En la teoría de conjuntos musicales , un vector de intervalos es una matriz de números naturales que resume los intervalos presentes en un conjunto de clases de altura . (Es decir, un conjunto de alturas donde se omiten las octavas ). Otros nombres incluyen: vector ic (o vector de clase de intervalo), vector PIC (o vector de intervalo de clase de altura) y vector APIC (o vector de intervalo de clase de altura absoluta, que Michiel Schuijer afirma que es más apropiado). ^{[ 1 ] : 48}

Aunque principalmente son una herramienta analítica, los vectores de intervalos también pueden ser útiles para los compositores, ya que muestran rápidamente las cualidades sonoras que se crean con diferentes conjuntos de clases de altura. Es decir, los conjuntos con altas concentraciones de intervalos convencionalmente disonantes (p. ej., segundas y séptimas) suenan más disonantes, mientras que los conjuntos con mayor número de intervalos convencionalmente consonantes (p. ej., terceras y sextas) suenan más consonantes . Si bien la percepción real de la consonancia y la disonancia implica muchos factores contextuales, como el registro , un vector de intervalos puede ser, no obstante, una herramienta útil.

En el temperamento igual de doce tonos , un vector de intervalos tiene seis dígitos, y cada dígito representa la cantidad de veces que aparece una clase de intervalo en el conjunto. Debido a que se utilizan clases de intervalos, el vector de intervalos para un conjunto dado permanece igual, independientemente de la permutación o la disposición vertical del conjunto. Las clases de intervalos designadas por cada dígito ascienden de izquierda a derecha. Es decir:

1. segundas menores/séptimos mayores (1 u 11 semitonos)
2. segundas mayores/séptimas menores (2 o 10 semitonos)
3. terceras menores/sextas mayores (3 o 9 semitonos)
4. terceras mayores/sextas menores (4 u 8 semitonos)
5. cuartas perfectas/quintas perfectas (5 o 7 semitonos)
6. Tritones (6 semitonos) (El tritono es equivalente a sí mismo por inversión).

Se omite la clase de intervalo 0, que representa los unísonos y las octavas.

En su libro de 1960, The Harmonic Materials of Modern Music , Howard Hanson introdujo un método monomial de notación para este concepto, que denominó contenido interválico : p ^e m ^d n ^c .s ^b d ^a t ^f para lo que ahora se escribiría ⟨ abcdef ⟩ . ^{[ 2 ] [ nota 1 ]} La notación moderna, introducida por Donald Martino en 1961, tiene ventajas considerables y es extensible a cualquier división igual de la octava . ^{[ 3 ]} Allen Forte en su obra de 1973, The Structure of Atonal Music, anotó el vector de intervalo usando corchetes, citando a Martino; ^{[ 4 ] : 15} autores posteriores, por ejemplo John Rahn , usan corchetes angulares. ^{[ 5 ] : 100}

Se dice que una escala cuyo vector de intervalos tiene seis dígitos únicos posee la propiedad de escala profunda . La escala mayor y sus modos poseen esta propiedad.

Como ejemplo práctico, el vector de intervalos para una tríada de Do mayor ( 3-11B ) en la posición fundamental, {CEG} (Jugar^ⓘ ), es ⟨ 001110 ⟩ . Esto significa que el conjunto tiene una tercera mayor o una sexta menor (es decir, de C a E, o de E a C), una tercera menor o una sexta mayor (es decir, de E a G, o de G a E), y una quinta justa o una cuarta justa (es decir, de C a G, o de G a C). Como el vector de intervalo no cambia con la transposición o la inversión, pertenece a laclase de conjunto, lo que significa que ⟨ 001110 ⟩ es el vector de todas las tríadas mayores (y menores). Algunos vectores de intervalo corresponden a más de un conjunto que no se puede transponer o invertir para producir el otro. (Estos se llamanconjuntos relacionados con Z, que se explican más adelante).

Para un conjunto de n clases de tono, la suma de todos los números en el vector de intervalos del conjunto es igual al coeficiente binomial.${\displaystyle {\tbinom {n}{2}}={\tfrac {n(n-1)}{2}}}$, ya que los elementos del vector de intervalo se calculan comparando cada par de clases de tono del conjunto que consta de n elementos. Esto también corresponde al número triangular${\displaystyle T_{n-1}}$.

En la teoría de la transformación también se utiliza una forma ampliada del vector de intervalos , tal como se expone en el libro de David Lewin , Generalized Musical Intervals and Transformations .

En la teoría de conjuntos musicales, una relación Z , también llamada relación isomérica , es una relación entre dos conjuntos de clases de altura en la que los dos conjuntos tienen el mismo contenido interválico (y por lo tanto el mismo vector de intervalo) pero no están relacionados transposicionalmente (son de diferente tipo T _n ) ni inversamente (son de diferente tipo T _n /T _{n I).} ^{[ 1 ] : 99} Por ejemplo, los dos conjuntos 4-z15A {0,1,4,6} y 4-z29A {0,1,3,7} tienen el mismo vector de intervalo ⟨ 111111 ⟩ pero no se puede transponer y/o invertir un conjunto sobre el otro.

En el caso de los hexacordos , cada uno puede denominarse hexacordo Z. Cualquier hexacordo que no sea del tipo "Z" es su propio complemento , mientras que el complemento de un hexacordo Z es su correspondiente Z, por ejemplo, 6-Z3 y 6-Z36. ^{[ 4 ] : 79} Véase: 6-Z44 , 6-Z17 , 6-Z11 , y número de Forte .

El símbolo "Z", que significa " cigótico " (del griego, que significa emparejado o yugo , como la fusión de dos células reproductivas), ^{[ 1 ] : 98} se originó con Allen Forte en 1964, pero la noción parece haber sido considerada por primera vez por Howard Hanson. Hanson llamó a esto la relación isomérica y definió dos de tales conjuntos como isoméricos . ^{[ 2 ] : 22} Véase: isómero .

Según Michiel Schuijer (2008), el teorema del hexacordo , que establece que dos hexacordos complementarios de clase de altura cualesquiera tienen el mismo vector de intervalo, incluso si no son equivalentes bajo transposición e inversión, fue propuesto por primera vez por Milton Babbitt , y "el descubrimiento de la relación" fue "informado" por David Lewin en 1960 como un ejemplo del teorema del complemento : que la diferencia entre intervalos de clase de altura en dos conjuntos de clase de altura complementarios es igual a la diferencia entre el número cardinal de los conjuntos (dados dos hexacordos, esta diferencia es 0). ^{[ 1 ] : 96–7 [ 6 ]} Las demostraciones matemáticas del teorema del hexacordo fueron publicadas por Kassler (1961), Regener (1974) y Wilcox (1983). ^{[ 1 ] : 96–7}

Aunque se suele observar que los conjuntos relacionados con Z siempre aparecen en pares, David Lewin señaló que esto se debe al temperamento igual de doce tonos (12-ET). En el temperamento igual de dieciséis tonos (16-ET), los conjuntos relacionados con Z se presentan como tresillos. Jonathan Wild, alumno de Lewin, continuó este trabajo con otros sistemas de afinación, encontrando grupos de tresillos relacionados con Z de hasta dieciséis miembros en sistemas ET superiores.

La relación de equivalencia de «tener el mismo contenido de intervalo», que permite el caso isométrico trivial, se estudió inicialmente en cristalografía y se conoce como homometría . Por ejemplo, el teorema del complemento es conocido por los físicos como el principio de Babinet . Para una revisión reciente, véase ^{[ 7 ] .}

Straus argumenta que "[los conjuntos] en la relación Z sonarán similares porque tienen el mismo contenido de intervalo", ^{[ 8 ] [ 1 ] : 125} lo que ha llevado a ciertos compositores a explotar la relación Z en su obra. Por ejemplo, el juego entre {0,1,4,6} y {0,1,3,7} es claro en el Segundo Cuarteto de Cuerdas de Elliott Carter .

• Ciclo de intervalos
• Intervalo de tono

• Conjunto de clases y contenido de clases de intervalo
• Introducción al análisis musical postfuncional: terminología de la teoría postfuncional, por Robert T. Kelley
• Teoría del tono en el siglo XX: algunos términos y técnicas útiles