Conjunto (música)

${ \override Score.TimeSignature #'stencil = ##f \override Score.SpacingSpanner.strict-note-spacing = ##t \set Score.proportionalNotationDuration = #(ly:make-moment 3/2) \relative c'' { \time 5/1 \set Score.tempoHideNote = ##t \tempo 1 = 60 e1 es c cis d } }$

Forma principal de un conjunto de cinco clases de alturas de In memoriam Dylan Thomas de Igor Stravinsky ^[¹^]

Conjunto de seis elementos de valores rítmicos utilizados en *Variazioni canoniche* de Luigi Nono ^{[ 2 ]}

En teoría musical , al igual que en matemáticas (véase conjunto ) y en el lenguaje común, un conjunto ( conjunto de alturas , conjunto de clases de alturas , clase de conjunto , forma de conjunto , género de conjunto , colección de alturas ) es una colección de objetos. En la teoría musical de conjuntos , el término conjunto se aplica tradicionalmente con mayor frecuencia a colecciones de alturas o clases de alturas , pero los teóricos han extendido su uso a otros tipos de entidades musicales, de modo que también se puede hablar de conjuntos de duraciones o timbres , por ejemplo. ^{[ 3 ]}

Un conjunto por sí solo no necesariamente posee ninguna estructura adicional, como un ordenamiento o una permutación . Sin embargo, musicalmente suele ser importante considerar conjuntos que están dotados de una relación de orden (llamados segmentos ); en tales contextos, los conjuntos desnudos a menudo se denominan no ordenados , para mayor énfasis. ^{[ 4 ]}

Un conjunto de puntos de tiempo es un conjunto de duración donde la distancia en unidades de tiempo entre puntos de ataque, o puntos de tiempo, es la distancia en semitonos entre clases de tono. ^{[ 5 ]}

Nombres

Los conjuntos de dos elementos se denominan díadas , mientras que los conjuntos de tres elementos se denominan tricordios (ocasionalmente tríadas , aunque esto se confunde fácilmente con el significado tradicional de la palabra ). Los conjuntos de cardinalidades superiores se denominan tetracordios , pentacordios , hexacordios , heptacordios , octacordios , nonacordios , decacordios , undecacordios y dodecacordios . También se denominan tétradas , pentadas , hexadas , heptadas (o a veces, mezclando raíces latinas y griegas, septacordios ), ^{[ 6 ]} octadas , nonadas y decadas .

De serie

En la teoría de la música serial , sin embargo, algunos autores (en particular Milton Babbitt ^[⁷^] ) utilizan el término «conjunto» donde otros usarían «serie » o «serie» , es decir, para denotar una colección ordenada (como una serie dodecafónica ) que se utiliza para estructurar una obra. Estos autores hablan de conjuntos dodecafónicos , conjuntos de puntos temporales , conjuntos derivados , etc. (véase más adelante). Este es un uso distinto del término « conjunto» al descrito anteriormente (y al que se hace referencia en el término « teoría de conjuntos »).

Para estos autores, una forma de conjunto (o forma de fila ) es una disposición particular de un conjunto ordenado: la forma prima (orden original), inversa (al revés), retrógrada (hacia atrás) e inversa retrógrada (hacia atrás y al revés). ^[³^]

Un conjunto derivado es aquel que se genera o deriva de operaciones consistentes en un subconjunto, por ejemplo el Concierto de Webern , Op. 24, en el que los últimos tres subconjuntos se derivan del primero: ^[⁸^]

${ \override Score.TimeSignature #'stencil = ##f \override Score.SpacingSpanner.strict-note-spacing = ##t \set Score.proportionalNotationDuration = #(ly:make-moment 1/1) \relative c'' { \time 3/1 \set Score.tempoHideNote = ##t \tempo 1 = 60 b1 bes d es, g fis aes ef c' cis a } }$

La escala de doce tonos se puede representar numéricamente mediante los números enteros del 0 al 11, sujetos a la aritmética modular :

${\begin{array}{c}{\rm {B}}&{\rm {C}}&{\rm {C\sharp }}&{\rm {D}}&{\rm {E\flat }}&{\rm {E}}&{\rm {F}}&{\rm {F\sharp }}&{\rm {G}}&{\rm {G\sharp }}&{\rm {A}}&{\rm {B\flat }}\\0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\end{array}}$

Por lo tanto, el concierto puede representarse numéricamente:

${\begin{array}{c}{\rm {B}}&{\rm {B\flat }}&{\rm {D}}&|&{\rm {E\flat }}&{\rm {G}}&{\rm {F\sharp }}&|&{\rm {G\sharp }}&{\rm {E}}&{\rm {F}}&|&{\rm {C}}&{\rm {C\sharp }}&{\rm {A}}\\0&11&3&|&4&8&7&|&9&5&6&|&1&2&10\end{array}}$

El primer subconjunto (BB ♭ D) y su intervalo de tono :

$(0\quad 11\quad 3)\qquad \langle -1\ \ +4\rangle$

El segundo subconjunto (E ♭ GF ♯ ) es el inverso retrógrado del primero, transpuesto un semitono hacia arriba:

${\begin{array}{rccc}{\text{Forma prima:}}&(0&11&3)&\ \langle -1&+4\rangle \\\downarrow \ \quad \\{\text{Retrógrada:}}&(3&11&0)&\ \langle -4&+1\rangle \\\downarrow \ \quad \\{\text{Inversa:}}&(3&7&6)&\ \langle +4&-1\rangle \\\downarrow \ \quad \\{\text{Transpuesta +1:}}&\mathbf {(4} &\mathbf {8} &\mathbf {7)} &\ \langle +4&-1\rangle \end{array}}$

El tercer subconjunto (G ♯ EF) es el retrógrado del primero, transportado seis semitonos hacia arriba (o hacia abajo):

${\begin{array}{rccc}{\text{Prime form:}}&(0&11&3)&\ \langle -1&+4\rangle \\\downarrow \ \quad \\{\text{Retrograde:}}&(3&11&0)&\ \langle -4&+1\rangle \\\downarrow \ \quad \\{\text{+6 transpose:}}&\mathbf {(9} &\mathbf {5} &\mathbf {6)} &\ \langle -4&+1\rangle \end{array}}$

Y el cuarto subconjunto (CC ♯ A) es el inverso del primero, transportado un semitono hacia arriba:

${\begin{array}{rccc}{\text{Prime form:}}&(0&11&3)&\ \langle -1&+4\rangle \\\downarrow \ \quad \\{\text{Inverse:}}&(0&1&9)&\ \langle +1&-4\rangle \\\downarrow \ \quad \\{\text{+1 transpose:}}&\mathbf {(1} &\mathbf {2} &\mathbf {10)} &\ \langle +1&-4\rangle \end{array}}$

Cada uno de los cuatro tricordios (conjuntos de 3 notas) muestra así una relación que puede hacerse evidente mediante cualquiera de las cuatro operaciones de fila en serie, y por lo tanto crea ciertas invariantes .

No serial

${ \override Score.TimeSignature #'stencil = ##f \relative c' { \time 4/4 \set Score.tempoHideNote = ##t \tempo 1 = 60 <c d>1 <c bes'> <bes' c> } }$

Conjuntos (0,2), (0,10) y (10,0)

El concepto fundamental de un conjunto no serial es que es una colección no ordenada de clases de alturas . ^{[ 9 ]} La forma normal de un conjunto es el ordenamiento más compacto de las alturas en un conjunto. ^{[ 10 ]} Tomlin define el ordenamiento "más compacto" como aquel en el que "el mayor de los intervalos entre dos alturas consecutivas cualesquiera está entre la primera y la última altura listada". ^{[ 10 ]} Por ejemplo, el conjunto (0,2) (una segunda mayor ) está en forma normal, mientras que el conjunto (0,10) (una séptima menor , la inversión de una segunda mayor) no lo está; su forma normal es (10,0).

En lugar de la forma original (sin transponer, sin invertir) del conjunto, la forma prima puede considerarse como la forma normal del conjunto o la forma normal de su inversión, la que esté más compacta. ^{[ 11 ]} Forte (1973) y Rahn (1980) enumeran las formas primas de un conjunto como la versión más compacta por la izquierda posible del conjunto. Forte compacta desde la izquierda y Rahn compacta desde la derecha ("haciendo los números pequeños más pequeños", frente a haciendo "los números más grandes... más pequeños" ^{[ 12 ]} ). Durante muchos años, se aceptó que solo había cinco casos en los que los dos algoritmos difieren. ^{[ 13 ]} Sin embargo, en 2017, el teórico musical Ian Ring descubrió que hay una sexta clase de conjuntos donde los algoritmos de Forte y Rahn llegan a diferentes formas primas. ^{[ 14 ]} Ian Ring también estableció un algoritmo mucho más simple para calcular la forma prima de un conjunto, ^{[ 14 ]} que produce los mismos resultados que el algoritmo más complicado publicado anteriormente por John Rahn.

Vectores

Véase también

Referencias

↑ Whittall (2008), pág. 127.
↑ Whittall, Arnold (2008). The Cambridge Introduction to Serialism , p. 165. Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-68200-8(pbk).
1 2 Wittlich, Gary (1975). «Sets and Ordering Procedures in Twentieth-Century Music», Aspects of Twentieth-Century Music , p. 475. Wittlich, Gary (ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-049346-5.
↑ Morris, Robert (1987). Composición con clases de tono: una teoría del diseño compositivo , p. 27. Yale University Press. ISBN 0-300-03684-1.
↑ Wittlich (1975), pág. 476.
↑ Por ejemplo, Rahn (1980), 140.
↑ Véase cualquiera de sus escritos sobre el sistema dodecafónico, prácticamente todos reimpresos en The Collected Essays of Milton Babbitt , S. Peles et al., eds. Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-08966-3.
↑ Wittlich (1975), pág. 474.
↑ John Rahn , Teoría atonal básica (Nueva York: Longman; Londres y Toronto: Prentice Hall International, 1980), págs. 27-28. ISBN 0-582-28117-2(Longman); ISBN 0-02-873160-3(Prentice Hall International). Reimpreso en 1987 (Nueva York: Schirmer Books; Londres: Collier Macmillan, 1980), pág. 27. ISBN 0-02-873160-3.
1 2 Tomlin, Jay. "Todo sobre la teoría de conjuntos: ¿Qué es la forma normal?" , JayTomlin.com .
↑ Tomlin, Jay. "Todo sobre la teoría de conjuntos: ¿Qué es la forma prima?" , JayTomlin.com .
↑ Nelson, Paul (2004). "Dos algoritmos para calcular la forma prima" . ComposerTools.com . Archivado del original el 23 de diciembre de 2017.
↑ Tsao, Ming (2007). Abstract Musical Intervals: Group Theory for Composition and Analysis , p.99, n.32. ISBN 9781430308355. Algoritmos dados en Morris, Robert (1991). Apuntes de clase para teoría musical atonal , pág. 103. Frog Peak Music.
1 2 "Un estudio de escalas musicales por Ian Ring" .

Lecturas adicionales

Schuijer, Michiel (2008). Análisis de la música atonal: teoría de conjuntos de clases de altura y sus contextos . ISBN 978-1-58046-270-9.

Enlaces externos

Calculadora de teoría de conjuntos , JayTomlin.com . Calcula la forma normal, la forma prima, el número de Forte y el vector de clase de intervalo para un conjunto dado, y viceversa.
" Calculadora de conjuntos de PC ", MtA.Ca .

[1] Whittall (2008), pág. 127.

[2] Whittall, Arnold (2008). The Cambridge Introduction to Serialism , p. 165. Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-68200-8(pbk).

[Wittlich-3] 1 2 Wittlich, Gary (1975). «Sets and Ordering Procedures in Twentieth-Century Music», Aspects of Twentieth-Century Music , p. 475. Wittlich, Gary (ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-049346-5.

[4] Morris, Robert (1987). Composición con clases de tono: una teoría del diseño compositivo , p. 27. Yale University Press. ISBN 0-300-03684-1.

[Wittlich_476-5] Wittlich (1975), pág. 476.

[6] Por ejemplo, Rahn (1980), 140.

[7] Véase cualquiera de sus escritos sobre el sistema dodecafónico, prácticamente todos reimpresos en The Collected Essays of Milton Babbitt , S. Peles et al., eds. Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-08966-3.

[Wittlich_474-8] Wittlich (1975), pág. 474.

[9] John Rahn , Teoría atonal básica (Nueva York: Longman; Londres y Toronto: Prentice Hall International, 1980), págs. 27-28. ISBN 0-582-28117-2(Longman); ISBN 0-02-873160-3(Prentice Hall International). Reimpreso en 1987 (Nueva York: Schirmer Books; Londres: Collier Macmillan, 1980), pág. 27. ISBN 0-02-873160-3.

[NF-10] 1 2 Tomlin, Jay. "Todo sobre la teoría de conjuntos: ¿Qué es la forma normal?" , JayTomlin.com .

[11] Tomlin, Jay. "Todo sobre la teoría de conjuntos: ¿Qué es la forma prima?" , JayTomlin.com .

[Tools-12] Nelson, Paul (2004). "Dos algoritmos para calcular la forma prima" . ComposerTools.com . Archivado del original el 23 de diciembre de 2017.

[13] Tsao, Ming (2007). Abstract Musical Intervals: Group Theory for Composition and Analysis , p.99, n.32. ISBN 9781430308355. Algoritmos dados en Morris, Robert (1991). Apuntes de clase para teoría musical atonal , pág. 103. Frog Peak Music.

[RingScales-14] 1 2 "Un estudio de escalas musicales por Ian Ring" .

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]