Interacción (estadística)

Un ejemplo sencillo de interacción es un experimento bifactorial analizado mediante análisis de varianza (ANOVA). Supongamos que tenemos dos factores binarios A y B. Por ejemplo, estos factores podrían indicar si se administró alguno de los dos tratamientos a un paciente, ya sea de forma individual o combinada. Podemos entonces considerar la respuesta promedio al tratamiento (por ejemplo, el nivel de síntomas tras el tratamiento) para cada paciente, en función de la combinación de tratamientos administrada. La siguiente tabla muestra una posible situación:

En este ejemplo, no hay interacción entre los dos tratamientos ; sus efectos son aditivos. Esto se debe a que la diferencia en la respuesta media entre los sujetos que reciben el tratamiento A y los que no lo reciben es de -2, independientemente de si se administra o no el tratamiento B ( -2 = 4 - 6) ( -2 = 5 - 7 ) . Cabe destacar que , por consiguiente, la diferencia en la respuesta media entre los sujetos que reciben el tratamiento B y los que no lo reciben es la misma , independientemente de si se administra o no el tratamiento A (7 - 6 = 5 - 4 ).              

Por el contrario, si se observan las siguientes respuestas promedio

Entonces, existe una interacción entre los tratamientos : sus efectos no son aditivos. Suponiendo que los números más altos corresponden a una mejor respuesta, en esta situación el tratamiento B es útil en promedio si el sujeto no recibe también el tratamiento A , pero es perjudicial en promedio si se administra en combinación con el tratamiento A. El tratamiento A es útil en promedio independientemente de si también se administra el tratamiento B , pero es más útil, tanto en términos absolutos como relativos, si se administra solo, en lugar de en combinación con el tratamiento B. Se hacen observaciones similares para este ejemplo en particular en la siguiente sección.

En muchas aplicaciones, es útil distinguir entre interacciones cualitativas y cuantitativas. ^{[ 4 ]} Una interacción cuantitativa entre A y B es una situación en la que la magnitud del efecto de B depende del valor de A , pero la dirección del efecto de B es constante para todos los valores de A. Una interacción cualitativa entre A y B se refiere a una situación en la que tanto la magnitud como la dirección del efecto de cada variable pueden depender del valor de la otra variable.

La tabla de medias de la izquierda, abajo, muestra una interacción cuantitativa : el tratamiento A es beneficioso tanto cuando se administra B como cuando no se administra, pero el beneficio es mayor cuando no se administra B (es decir, cuando se administra solo A ). La tabla de medias de la derecha muestra una interacción cualitativa: A es perjudicial cuando se administra B , pero es beneficioso cuando no se administra B. Cabe destacar que la misma interpretación sería válida si consideramos el beneficio de B en función de si se administra A.

La distinción entre interacciones cualitativas y cuantitativas depende del orden en que se consideren las variables (en contraste, la propiedad de aditividad es invariante al orden de las variables). En la siguiente tabla, si nos centramos en el efecto del tratamiento A , existe una interacción cuantitativa : administrar el tratamiento A mejorará el resultado en promedio, independientemente de si se está administrando o no el tratamiento B (aunque el beneficio es mayor si se administra solo el tratamiento A ). Sin embargo, si nos centramos en el efecto del tratamiento B , existe una interacción cualitativa : administrar el tratamiento B a un sujeto que ya está recibiendo el tratamiento A empeorará (en promedio) la situación, mientras que administrar el tratamiento B a un sujeto que no está recibiendo el tratamiento A mejorará el resultado en promedio.

En su forma más simple, el supuesto de aditividad de la unidad de tratamiento establece que la respuesta observada y _ij de la unidad experimental i al recibir el tratamiento j puede escribirse como la suma y _ij  = y _i + t _j . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} El supuesto de aditividad de la unidad de tratamiento implica que cada tratamiento tiene exactamente el mismo efecto aditivo en cada unidad experimental. Dado que cualquier unidad experimental dada solo puede someterse a uno de los tratamientos, el supuesto de aditividad de la unidad de tratamiento es una hipótesis que no es directamente falsable, según Cox y Kempthorne.   

Sin embargo, muchas consecuencias de la aditividad de los tratamientos pueden ser refutadas. En un experimento aleatorio, el supuesto de aditividad de los tratamientos implica que la varianza es constante para todos ellos. Por lo tanto, por contraposición, una condición necesaria para la aditividad de los tratamientos es que la varianza sea constante.

La propiedad de aditividad de tratamiento unitario no es invariante ante un cambio de escala, por lo que los estadísticos suelen utilizar transformaciones para lograrla. Si se espera que la variable de respuesta siga una familia paramétrica de distribuciones de probabilidad, el estadístico puede especificar (en el protocolo del experimento o estudio observacional) que las respuestas se transformen para estabilizar la varianza. ^{[ 8 ]} En muchos casos, un estadístico puede especificar que se apliquen transformaciones logarítmicas a las respuestas, que se cree que siguen un modelo multiplicativo. ^{[ 6 ] [ 9 ]}

El supuesto de aditividad de los tratamientos unitarios fue enunciado en el diseño experimental por Kempthorne y Cox . El uso que hizo Kempthorne de la aditividad de los tratamientos unitarios y la aleatorización es similar al análisis basado en el diseño del muestreo de encuestas de población finita.

En los últimos años, se ha vuelto común usar la terminología de Donald Rubin, que emplea contrafactuales. Supongamos que comparamos dos grupos de personas con respecto a algún atributo y . Por ejemplo, el primer grupo podría estar formado por personas que reciben un tratamiento estándar para una afección médica, mientras que el segundo grupo podría estar formado por personas que reciben un nuevo tratamiento con un efecto desconocido. Desde una perspectiva contrafactual, podemos considerar un individuo cuyo atributo tiene el valor y si pertenece al primer grupo, y cuyo atributo tiene el valor τ ( y ) si pertenece al segundo grupo. El supuesto de "aditividad de tratamiento unitaria" es que τ ( y ) = τ , es decir, el "efecto del tratamiento" no depende de y . Dado que no podemos observar tanto y como τ( y ) para un individuo dado, esto no se puede comprobar a nivel individual. Sin embargo, la aditividad del tratamiento unitario implica que las funciones de distribución acumulativa F ₁ y F ₂ para los dos grupos satisfacen F ₂ ( y ) = F ₁ ( y − τ ), siempre que la asignación de individuos a los grupos 1 y 2 sea independiente de todos los demás factores que influyen en y (es decir, no hay factores de confusión ). La falta de aditividad del tratamiento unitario puede verse como una forma de interacción entre la asignación del tratamiento (por ejemplo, a los grupos 1 o 2) y el valor basal o no tratado de y .      

En ocasiones, las variables que interactúan son variables categóricas en lugar de números reales, y el estudio podría abordarse como un problema de análisis de varianza . Por ejemplo, los miembros de una población pueden clasificarse por religión y ocupación. Si se desea predecir la estatura de una persona basándose únicamente en su religión y ocupación, un modelo aditivo simple , es decir, un modelo sin interacción, añadiría a la estatura promedio general un ajuste para una religión en particular y otro para una ocupación en particular. Un modelo con interacción, a diferencia de un modelo aditivo , podría añadir un ajuste adicional para la "interacción" entre esa religión y esa ocupación. Este ejemplo podría llevar a sospechar que el término " interacción " es, en cierto modo, un término inapropiado.

Estadísticamente, la presencia de una interacción entre variables categóricas generalmente se prueba mediante un análisis de varianza (ANOVA). Sin embargo, si una o más variables son continuas, se suele probar mediante regresión múltiple moderada. ^{[ 10 ]} Esto se denomina así porque una variable moderadora afecta la fuerza de la relación entre otras dos variables.

Genichi Taguchi sostuvo ^{[ 11 ]} que las interacciones podían eliminarse de un sistema mediante la elección adecuada de la variable de respuesta y la transformación. Sin embargo, George Box y otros han argumentado que esto no es así en general. ^{[ 12 ]}

Dados n predictores, el número de términos en un modelo lineal que incluye una constante, cada predictor y cada interacción posible es${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}+\cdots +{\tbinom {n}{n}}=2^{n}}$Dado que esta cantidad crece exponencialmente, se vuelve fácilmente impracticablemente grande. Un método para limitar el tamaño del modelo es limitar el orden de las interacciones. Por ejemplo, si solo se permiten interacciones de dos vías, el número de términos se convierte en${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}=1+{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{2}}n^{2}}$La siguiente tabla muestra el número de términos para cada número de predictores y el orden máximo de interacción.

El enfoque más general para modelar los efectos de interacción implica la regresión, partiendo de la versión elemental dada anteriormente:

${\displaystyle Y=c+ax_{1}+bx_{2}+d(x_{1}\times x_{2})+{\text{error}}\,}$

donde el término de interacción${\displaystyle (x_{1}\times x_{2})}$Podría formarse explícitamente multiplicando dos (o más) variables, o implícitamente utilizando la notación factorial en paquetes estadísticos modernos como Stata . Los componentes x ₁ y x ₂ podrían ser mediciones o variables ficticias {0,1} en cualquier combinación. Las interacciones que involucran una variable ficticia multiplicada por una variable de medición se denominan variables ficticias de pendiente , ^{[ 13 ]} porque estiman y prueban la diferencia en pendientes entre los grupos 0 y 1.

Cuando se emplean variables de medición en interacciones, suele ser conveniente trabajar con versiones centradas, donde la media de la variable (o algún otro valor razonablemente central) se establece en cero. El centrado puede hacer que los efectos principales en los modelos de interacción sean más interpretables, ya que reduce la multicolinealidad entre el término de interacción y los efectos principales. ^{[ 14 ]} El coeficiente a en la ecuación anterior, por ejemplo, representa el efecto de x ₁ cuando x ₂ es igual a cero.

Los enfoques de regresión para el modelado de interacciones son muy generales porque pueden incorporar predictores adicionales y muchas especificaciones o estrategias de estimación alternativas más allá de los mínimos cuadrados ordinarios . Entre las posibilidades se encuentran los modelos robustos , de cuantiles y de efectos mixtos ( multinivel ), así como el modelado lineal generalizado que abarca una amplia gama de variables dependientes categóricas, ordenadas, contadas o de otro tipo. El gráfico muestra una interacción entre educación y política, a partir de un análisis de regresión logística ponderada por probabilidad de datos de encuestas. ^{[ 15 ]}

Consideremos un estudio de la temperatura corporal de diferentes especies a distintas temperaturas del aire, expresada en grados Fahrenheit. Los datos se muestran en la tabla siguiente.

El gráfico de interacción puede utilizar la temperatura del aire o la especie como eje x. El segundo factor se representa mediante líneas en el gráfico de interacción.

Existe una interacción entre los dos factores (temperatura del aire y especie) en su efecto sobre la respuesta (temperatura corporal), ya que el efecto de la temperatura del aire depende de la especie. Esta interacción se evidencia en el gráfico debido a que las líneas no son paralelas.

Como segundo ejemplo, consideremos un ensayo clínico sobre la interacción entre la gravedad del accidente cerebrovascular y la eficacia de un fármaco en la supervivencia del paciente. Los datos se muestran en la tabla a continuación.

En el gráfico de interacción, las líneas correspondientes a los grupos de ictus leve y moderado son paralelas, lo que indica que el fármaco tiene el mismo efecto en ambos grupos y, por lo tanto, no hay interacción. La línea correspondiente al grupo de ictus grave no es paralela a las demás, lo que indica que existe una interacción entre la gravedad del ictus y el efecto del fármaco sobre la supervivencia. La línea correspondiente al grupo de ictus grave es plana, lo que indica que, entre estos pacientes, no hay diferencia en la supervivencia entre el tratamiento con el fármaco y el placebo. Por el contrario, las líneas correspondientes a los grupos de ictus leve y moderado tienen una pendiente descendente hacia la derecha, lo que indica que, entre estos pacientes, el grupo placebo tiene una menor supervivencia que el grupo tratado con el fármaco.

¿Influye la temperatura y el tiempo de horneado en el rendimiento de las galletas? La tabla muestra datos de 8 lotes de galletas.

Los datos muestran que el mejor resultado para obtener buenas galletas se obtiene cuando (i) la temperatura es alta y el tiempo de horneado es corto, o (ii) la temperatura es baja y el tiempo de horneado es prolongado. Si las galletas se dejan en el horno durante mucho tiempo a alta temperatura, se queman y el resultado es bajo.

A partir del gráfico y los datos, es evidente que las líneas no son paralelas, lo que indica la existencia de una interacción. Esto puede comprobarse mediante un análisis de varianza (ANOVA). El primer modelo ANOVA no incluye el término de interacción; es decir, ignora la posible interacción. El segundo modelo ANOVA sí incluye el término de interacción; es decir, realiza explícitamente una prueba de hipótesis para detectar la interacción.