Diseño de bloques aleatorios generalizados

En experimentos estadísticos aleatorios , se utilizan diseños de bloques aleatorios generalizados ( GRBD , por sus siglas en inglés) para estudiar la interacción entre bloques y tratamientos. Para un GRBD, cada tratamiento se replica al menos dos veces en cada bloque; esta replicación permite la estimación y prueba de un término de interacción en el modelo lineal (sin hacer suposiciones paramétricas sobre una distribución normal para el error ). ^[1]

Al igual que un diseño de bloques completos aleatorizados (RCBD), un GRBD es aleatorizado. Dentro de cada bloque, los tratamientos se asignan aleatoriamente a las unidades experimentales : esta aleatorización también es independiente entre bloques. Sin embargo, en un RCBD (clásico), no hay replicación de tratamientos dentro de los bloques. ^[2]

El diseño experimental guía la formulación de un modelo lineal apropiado . Sin réplicas, el RCBD (clásico) tiene un modelo lineal de dos vías con efectos de tratamiento y de bloque pero sin una interacción de bloque-tratamiento . Sin réplicas, este modelo lineal de dos vías puede estimarse y probarse sin hacer suposiciones paramétricas (usando la distribución de aleatorización, sin usar una distribución normal para el error). ^[3] En el RCBD, la interacción de bloque-tratamiento no puede estimarse usando la distribución de aleatorización; a fortiori no existe una prueba "válida" (es decir, basada en la aleatorización) para la interacción de bloque-tratamiento en el análisis de varianza (anova) del RCBD. ^[4]

Algunos autores han ignorado la distinción entre RCBD y GRBD, y la ignorancia sobre el GRCBD ha sido criticada por estadísticos como Oscar Kempthorne y Sidney Addelman. ^[5] El GRBD tiene la ventaja de que la replicación permite estudiar la interacción bloque-tratamiento. ^[6]

Sin embargo, si se sabe que la interacción bloque-tratamiento es insignificante, entonces el protocolo experimental puede especificar que se suponga que los términos de interacción son cero y que sus grados de libertad se utilizan para el término de error. ^[7] Los diseños GRBD para modelos sin términos de interacción ofrecen más grados de libertad para probar los efectos del tratamiento que los RCB con más bloques: un experimentador que desee aumentar la potencia puede utilizar un GRBD en lugar de un RCB con bloques adicionales, cuando los efectos de bloques adicionales carecerían de interés genuino.

El GRBD tiene una respuesta en números reales. Para las respuestas vectoriales, el análisis multivariado considera modelos de dos vías similares con efectos principales y con interacciones o errores. Sin réplicas, los términos de error se confunden con la interacción y solo se estima el error. Con réplicas, la interacción se puede probar con el análisis multivariado de varianza y los coeficientes en el modelo lineal se pueden estimar sin sesgo y con varianza mínima (utilizando el método de mínimos cuadrados ). ^{[8] [9]}

Los experimentos no replicados son utilizados por experimentadores expertos cuando las réplicas tienen costos prohibitivos . Cuando el diseño de bloques carece de réplicas, se han modelado interacciones. Por ejemplo, la prueba F de Tukey para interacción (no aditividad) ha sido motivada por el modelo multiplicativo de Mandel (1961); este modelo supone que todas las interacciones de tratamiento-bloque son proporcionales al producto del efecto medio del tratamiento y el efecto medio del bloque, donde la constante de proporcionalidad es idéntica para todas las combinaciones de tratamiento-bloque. La prueba de Tukey es válida cuando se cumple el modelo multiplicativo de Mandel y cuando los errores siguen independientemente una distribución normal.

La estadística F de Tukey para probar la interacción tiene una distribución basada en la asignación aleatoria de tratamientos a unidades experimentales. Cuando se cumple el modelo multiplicativo de Mandel, la distribución aleatoria de la estadística F se aproxima mucho a la distribución de la estadística F suponiendo una distribución normal para el error, según el artículo de Robinson de 1975. ^[10]

El rechazo de la interacción multiplicativa no implica necesariamente el rechazo de la interacción no multiplicativa, porque hay muchas formas de interacción. ^{[11] [12]}

Los modelos generales anteriores para la prueba de Tukey son el modelo de “haz de líneas rectas” de Mandel (1959) ^[13] y el modelo funcional de Milliken y Graybill (1970), que supone que la interacción es una función conocida de los efectos principales del bloque y del tratamiento. Otros métodos y heurísticas para la interacción del bloque y el tratamiento en estudios no replicados se examinan en la monografía Milliken & Johnson (1989).

• Diseño de bloques
• Diseño de bloque completo
• Diseño de bloque incompleto
• Diseño de bloques aleatorios
• Aleatorización
• Experimento aleatorio

• Addelman, Sidney (octubre de 1969). "El diseño de bloques aleatorios generalizados". The American Statistician . 23 (4): 35–36. doi :10.2307/2681737. JSTOR  2681737.
• Addelman, Sidney (septiembre de 1970). "Variabilidad de tratamientos y unidades experimentales en el diseño y análisis de experimentos". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 65 (331): 1095–1108. doi :10.2307/2284277. JSTOR  2284277.
• Gates, Charles E. (noviembre de 1995). "¿Qué es realmente el error experimental en los diseños de bloques?". The American Statistician . 49 (4): 362–363. doi :10.2307/2684574. JSTOR  2684574.
• Hinkelmann, Klaus; Kempthorne, Oscar (2008). Diseño y análisis de experimentos, volumen I: Introducción al diseño experimental (segunda edición). Wiley. ISBN 978-0-471-72756-9.Señor 2363107  .
• Johnson, Richard A.; Wichern, Dean W. (2002). "6 Comparación de varias medias multivariadas". Análisis estadístico multivariado aplicado (quinta edición). Prentice Hall. págs. 272–353. ISBN 0-13-121973-1.
• Lentner, Marvin; Bishop, Thomas (1993). "El diseño RCB generalizado (Capítulo 6.13)". Diseño y análisis experimental (Segunda edición). Blacksburg, VA: Valley Book Company. págs. 225–226. ISBN 0-9616255-2-X.
• Mardia, KV ; Kent, JT; Bibby, JM (1979). "12 Análisis multivariado de varianza". Análisis multivariado . Academic Press. ISBN 0-12-471250-9.
• Milliken, George A. ; Johnson, Dallas E. (1989). Experimentos no replicados: experimentos diseñados . Análisis de datos desordenados. Vol. 2. Nueva York: Van Nostrand Reinhold.
• Wilk, MB (junio de 1955). "El análisis de aleatorización de un diseño de bloques aleatorios generalizado". Biometrika . 42 (1–2): 70–79. doi :10.2307/2333423. JSTOR  2333423. MR  0068800.
• Zyskind, George (diciembre de 1963). "Algunas consecuencias de la aleatorización en una generalización del diseño de bloques incompletos balanceados". Anales de estadística matemática . 34 (4): 1569–1581. doi : 10.1214/aoms/1177703889 . JSTOR  2238364. MR  0157448.